1、第一節(jié) 數(shù)學期望第二節(jié) 方差第三節(jié) 協(xié)方差與相關系數(shù)第一節(jié) 數(shù)學期望68246108928471X43214103928172X20610208920282047引例引例 甲、乙兩射手的成績如下甲、乙兩射手的成績如下, ,如何進行評價如何進行評價? ?甲甲(X(X1 1) )環(huán)數(shù)環(huán)數(shù) 7 8 9 10 7 8 9 10 乙乙(X(X2 2) )環(huán)數(shù)環(huán)數(shù) 7 8 9 107 8 9 10射中次數(shù)射中次數(shù) 4 2 8 6 4 2 8 6 射中次數(shù)射中次數(shù) 1 2 3 41 2 3 4一一 數(shù)學期望的概念數(shù)學期望的概念)(8 . 83 . 0104 . 091 . 082 . 07環(huán)10410103

2、910281017)(94 . 0103 . 092 . 081 . 07環(huán) 定義定義(P95) (P95) 設離散型隨機變量設離散型隨機變量X X的概率分布為的概率分布為1()kkkE Xx p(1, 2, ,)kkP Xxpkn數(shù)學期望數(shù)學期望描述隨機變量取值的平均特征描述隨機變量取值的平均特征如果無窮級數(shù)如果無窮級數(shù) 絕對收斂絕對收斂, ,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù) 的和為離散型隨機變量的和為離散型隨機變量X X的數(shù)學期望或均值的數(shù)學期望或均值, ,記作記作E(X),E(X),即即1kkkx p1kkkx p(P96)(P96)設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為

3、f(x),f(x),如果廣義積分如果廣義積分 絕對收斂絕對收斂, ,則稱廣義積分則稱廣義積分 的值的值為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量X X的數(shù)學期望或均值的數(shù)學期望或均值, ,記作記作E(X),E(X),即即dxxxfXE)()( )xf x dx連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X X的數(shù)學期望是離散型的推廣。的數(shù)學期望是離散型的推廣。( )xf x dx例1 設隨機變量X的概率密度為othersxxxxxf, 010,101,1)(求數(shù)學期望E(X) dxxxfXE)()(解：110011)()()()(dxxxfdxxxfdxxxfdxxxf1100110)1 ()1 (0dxxdxxxdx

4、xxdxx031213121103102013012xxxx10)(xf0 xxf1)(1xxf1)(0)(xf到積分范圍從x例2 假設有10只同種電器元件,其中有兩只廢品,裝配儀器時,從這批元件中任取一件,如果是廢品,則扔掉重新再取一件,如果還是廢品,則繼續(xù)再取一件.求在取到正品之前,已取出的次品數(shù)X的數(shù)學期望.)(121AAPXP)(2321AAAPXP4511818191111012CCCCCC,0,1, 2 ;(1,2 ,3).kXAkk 解設取到正品之前已取出的次品數(shù)取值為第 次取得的是正品)(01APXP31)(iiixXPxXE故458191811012CCCC8 . 0/110

5、18CC)/()(121AAPAP)/()/()(123121AAAPAAPAP.92451245818 . 00幾個重要隨機變量的數(shù)學期望幾個重要隨機變量的數(shù)學期望1.1. 01 分布的數(shù)學期望分布的數(shù)學期望ppxXPXi1102. 2. 二項分布二項分布B(n, p)B(n, p)nkkkxXPxXE1)(1)0,1,.kkn knP XkC ppkn)(2211xXPxxXPxXEnkknkknppCk1)1 (nkknkppknknk1)1 (!)( !ppp1)1 (0knknkppknkn)1 ()!()!1(!1) 1(111)1 ()!()!1()!1(knknkppknknn

6、pnpppnpn1)1 (tntntpptntnnpkt)1(10)1 (! )1(!)1(1令tntnttnppCnp1101)1 (., 2, 1, 0,!kekkXPXk泊松分布的概率分布為0)(kiixXPxXE3. 3. 泊松分布泊松分布0!kkekk11)!1(kkke.ee01!tttkte令entntt!2!11!2104. 4. 均勻分布均勻分布U(a, b)U(a, b), 0,1)(其他的密度函數(shù)為隨機變量bxaabxfXdxxfxXE)()(abbadxxfxdxxfxdxxfx)()()(bbaadxxdxabxdxx010badxabx12ba212()baxbax

7、a0)(xf到積分范圍從b)/(1)(abxf0)(xf()/ 2()ab正好為區(qū)間的中點 平均值0( )00 xexXf xx隨機變量 的密度函數(shù)為dxxxfXE)()(00 xxxeedx 5. 5. 指數(shù)分布指數(shù)分布dxxxfdxxxf00)()(000 xxdxx edx0()xxd e0110 xe二項分布二項分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布記記 號號數(shù)學期望數(shù)學期望常見分布的數(shù)學期望常見分布的數(shù)學期望E(X)E(X)npXE)(),(pnBX)(PX)(XE,baUX2)(baXE)(eX1()E X6 6 一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布 N( N( , , 2 2)

8、 )xexfXx,21)(222)(dxexdxxxfXEx222)(2)()(dtetxtt222標準正態(tài)分標準正態(tài)分布布 N( N(0 0, , 1 1) )xexfXx,21)(22)(02)()(22奇函數(shù)dxexdxxxfXEx二 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望定理(P97) 設隨機變量Y是隨機變量X的函數(shù):Y=g(X),其中g是一元連續(xù)函數(shù).(1)若X是離散型隨機變量,其概率分布為(1, 2, ,)kkP Xxpkn如果無窮級數(shù) 絕對收斂,則隨機變量Y的數(shù)學期望為1kkkx p1()()()kkkE YE g Xg xp(2)若X是連續(xù)型隨機變量,其概率密度函數(shù)為f(x),如果廣義積分 絕

9、對收斂,則隨機變量Y的數(shù)學期望為( ) ( )g x f x dx()( ) ( )E Xg x f x dx根據這一定理求隨機變量Y=g(X)的數(shù)學期望時,只需要知道X的分布,無需求Y的分布,這給求解題目提供了極大的方便.例3 設隨機變量X的分布律為解解求隨機變量Y=X2的數(shù)學期望X XP Pk k-1 0 1313131222221112( )()( 1)013333iiiE YE Xx P Xx 例4 設隨機變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布,求隨機變量函數(shù)Y=X2的數(shù)學期望.2221212)()()(dxxfxdxxfxdxxfx.,0;21,3/1)(othersxxfXX的密度函數(shù)

10、為由題設知隨機變量)()(2XEYE于是dxxfx)(222212120310dxxdxxdxx. 1) 18(9191213xx到從積分范圍x10)(xfX23/ 1)(xfX0)(xfX解:例5 設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N(0,1),其密度函數(shù)為求隨機變量的數(shù)學期望.)0( abXaY221( )e();2xXfxx .21)()()()(22bdxebaxdxxfbaxYExX定理(P100) 設Z是隨機變量X和Y的函數(shù):Z=g(X,Y),其中g是二元連續(xù)函數(shù).如果(X,Y)是二維離散型隨機變量,其概率分布為, 2 , 1,jipyYxXPijji則隨機變量Z=g(X,Y)的數(shù)學期望

11、為11( ) (, )( ,),1,2,ijijijE ZE g X Yg x ypi j這里要求上式右邊的無窮級數(shù)絕對收斂.如果(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量,其概率密度為f(x,y),則隨機變量Z=g(X,Y)的數(shù)學期望為 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(這里要求上式的廣義積分絕對收斂.例6 設隨機變量(X,Y)的分布律如下，95. 025. 0) 21 (45. 0) 11 (15. 0) 20(15. 0) 10()(),()(ijijjiijijjipyxpyxgXYE解X. )(,)(:YXEXYE求Y2115. 015. 025. 045. 0101 . 2

12、25. 0) 21 (45. 0) 11 (15. 0) 20(15. 0) 10()(),()(ijijjiijijjipyxpyxgYXE例7 設隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為)() 3( ; )()2( ;)() 1 ( :.,0,)(1),(22YXEXYEYXEothersdycbxacdabyxf求解(2)()() ( , )1()()()()()4dbcaE XYxy f x y dxdyab cdxydxdyba dc 2222222222221(3)()() ( , )()()()()()()()1()3bdacbdbdacacE XYxyf x y dxdyxydxdy

13、ba dcxydxdydxdyba dcba dcbabadcdc 2),()(),()()() 1 (dcbadxdyyxfyxdxdyyxfyxYXEdcba 1. E(C)=C, C1. E(C)=C, C為常數(shù)為常數(shù); ;三 數(shù)學期望的性質證明證明: :()( )( )()E CXCxf x dxCxf x dxCE X則( ),Xf x設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)11,()()nnkkkkkkEC XCE X一般地 有4. 4. 若若X X與與Y Y獨立獨立, ,則則E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E

14、(X)E(Y) 這一性質要求隨機變量這一性質要求隨機變量X X與與Y Y獨立的條件過強了獨立的條件過強了, ,其實只其實只要要X X與與Y Y不相關即可得到上述結論不相關即可得到上述結論. .2. E(CX)=CE(X), C2. E(CX)=CE(X), C為常數(shù)為常數(shù); ;例例8 8 設隨機變量設隨機變量X Xe e(1/2),(1/2),Y Y U(0,1),U(0,1),Z Z B(5,0.2),B(5,0.2),且且X,Y,ZX,Y,Z獨獨立立, ,求隨機變量求隨機變量U=U=（2X+3Y)(4Z-1)2X+3Y)(4Z-1)的數(shù)學期望的數(shù)學期望. .例例9 9 設有隨機變量設有隨機

15、變量.,.,1nXXiiXE)(且求隨機變量求隨機變量niiXnX11的數(shù)學期望的數(shù)學期望. .()1/2 ,( )()/21/2( )5 0.21E XE YabE Znp解 依題設條件得)14)(32()(ZYXEUE故)31228(YYZXXZE)3()12()2()8(YEYZEXEZXE)(3)()(12)(2)()(8YEZEYEXEZEXE2/27)2/1 (31)2/1 (122212811()()niiE XEXn解11()niiEXn11()niiE Xn11niin例10 一商店經銷某種商品,每周的進貨量X與顧客對該商品的需求量Y是相互獨立的,且都服從區(qū)間10,20上的均

16、勻分布.商店每銷售一單位該商品可獲利1000元;若供不應求,商店可從外部調劑供應,此時每銷售一單位商品商店可獲利500元,試計算商店經銷該種商品每周所獲利潤的期望值.解 設 Z表示商店所獲利潤,則Z與需求量Y和進貨量X有關,因需求量Y和進貨量X都是隨機變化的量,故利潤Z是關于X與Y的二維隨機變量的函數(shù).1000,();(, )500(),().YYXZg X YXYYX供過于求供不應求.,0;20,10,100/1),(),(othersyxyxfYX的聯(lián)合密度函數(shù)202020101010( ) (, )( , ) ( , )111000500()14166.67().100100yyE ZE

17、 g X Yg x y f x y dxdydyydxdyxy dx于是元例11 對于兩個隨機變量X和Y,設E(X2)和E(Y2)都存在,證明E(XY)2E(X2)E(Y2)這一等式稱為柯西-許瓦茲不等式.證明 對于任意實數(shù) t ,令 g (t)=E(X+tY)2,則由數(shù)學期望的性質有E(X+tY)2= E(X2 +2tXY+Y2t2 ) =E(X2)+2tE(XY)+E(Y2)t2因此 g(t)= E(X2)+2tE(XY)+E(Y2)t2由于g(t) 0,可知關于 t 的二次三項式g(t)的判別式小于或等于零,即 =4E(XY)2 4E(X2)E(Y2) 0從而 E(XY)2E(X2)E(

18、Y2)()D X定義定義(P104) (P104) 設設 X X 是一個隨機變量是一個隨機變量, ,如果如果EX-E(X)2存在存在, 則稱之為隨機變量則稱之為隨機變量 X X 的方差的方差, ,記作記作D(X),D(X),即即D(X)=EX-E(X)D(X)=EX-E(X)2 2 212(),()()( ),kkkxE XP XxD XxE Xf x dx離散型情形連續(xù)型情形)()(XDX 稱稱為隨機變量為隨機變量 X X 的標準差或均方差的標準差或均方差, ,記作記作(X),(X),即即可見可見方差是衡量隨機變量取值方差是衡量隨機變量取值波動程度波動程度的一個數(shù)字特征的一個數(shù)字特征.或者說

19、或者說, ,方方差反映了隨機變量取值的偏離中間的程度差反映了隨機變量取值的偏離中間的程度( (所有取值偏離平均值所有取值偏離平均值的差平方的差平方).).常用的方差公式為常用的方差公式為:D(X)=E(X:D(X)=E(X2 2)-E(X)-E(X)2 2()()XD X例例1 1 設隨機變量設隨機變量X X的概率密度為的概率密度為10,101,1)(xxxxxf00)1 ()1 (0)()()()()()() 1 (110011110011dxxdxxxdxxxdxxdxxxfdxxxfdxxxfdxxxfdxxxfXE解：6/1)1 ()1 ()()(10201222dxxxdxxxdxx

20、fxXE6/ 106/ 1)()()(22XEXEXD. )()2;)() 12XDXD求求2242)()()()2(XEXEXD15/ 1)1 ()1 ()()(10401444dxxxdxxxdxxfxXE180/7)6/1 (15/1)()()(22242XEXEXD例例2 2 設隨機變量設隨機變量X X的分布律如下的分布律如下, ,kxXPX)(XD求212/1014/112/16/16/13/1()( 1) (1/3)0 (1/6)(1/2) (1/6) 1 (1/12)2 (1/4)1/3kkkE Xx P Xx 解24/25)4/ 1 (2)12/ 1 (1)6/ 1 ()2/

21、1 ()6/ 1 (0) 3/ 1 () 1()(2222222kkkxXPxXE7267912425)()()(22XEXEXD故1. 1. 二項分布二項分布B(n, p)B(n, p)：nkppCkXPknkkn,.,1 , 0)1 (,)(npXEnkknkppknknkXE122)1 (! )( !)(幾個重要分布的方差幾個重要分布的方差nkknkppknkkn1)1 ()!()!1(!nppnn2) 1()1 () 1()(222pnppnnppnnXD2. 2. 泊松分布泊松分布P( ( ) )：,0,1, 2,.!kXXkekk0122)!1(!)(kkkkkekekkXE)(X

22、E由于由于1)!1()(kkkeXE兩邊對兩邊對 求導得求導得ekkkk)1 ()!1(11或或ekkk1)!1(或或)1 ()!1(1kkkek)(XD3. 3. 均勻分布均勻分布U(a, b):U(a, b):.12)()(2abXD21()D X4.4.指數(shù)分布指數(shù)分布: :例例3 3 已知隨機變量已知隨機變量X X1 1,X,X2 2,X,Xn n相互獨立相互獨立, ,且每個且每個X Xi i的的期望都是期望都是0,0,方差都是方差都是1,1,令令Y= XY= X1 1+X+X2 2+X+Xn n, ,求求E(YE(Y2 2) )00)()()(111niniiniiXEXEYE證nX

23、DXDYDniniinii1111)()()(nnYEYDYEYEYEYD0)()()()()()(2222由5 5 一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布N(N( , , 2) )22)()()(dxxfxXDxexfXx,21)(222)(121)()()()(22222dxexdxxfXExXEXEXDx標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布 N(N(0 0, , 1 1) )xexfXx,21)(22二二 方差的性質方差的性質證明證明: :222()() ()D aXE a XE aX222()()a E XaE X222 () ( ) a E XE X2()a D X(1)( )0,( )0,1,()D CD

24、CCP XCCE X反之 若則存在常數(shù) 使且2(2)()(),.D aXa D Xa其中 常數(shù)(3) D(X+C)=D(X)證明: D(X+C)=E(X+C)-E(X+C)2 =EX+C-E(X)-C2 =EX-E(X)2 =D(X)(4) (4) 若若 X,Y X,Y 獨立獨立, ,則則 D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y); 若若 X,Y X,Y 獨立獨立, ,則則 D(X-Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y);證明證明: :22()() ()D XYEXYE XY22222222()( )()2()( )()()2()( )( ) E

25、XXYYE XE YE XE X E YE YE XE XE YE Y()()2()2()()D XD YE XYE X E Y()()( )XYE XYE X E Y與 獨立()()( )D XYD XD Y21211,.,()()nnniiiiiiXXXDC XC D X若相互獨立 則以上兩式要求以上兩式要求X X與與Y Y相互獨立的條件過強相互獨立的條件過強, ,后續(xù)內容將后續(xù)內容將要學習到要學習到, ,只要只要X X與與Y Y不相關即可不相關即可. .隨機變量的標準化 設隨機變量X具有數(shù)學期望E(X)=及方差D(X)=20,則稱*XX為X的標準化隨機變量.例如,若 XN(,2),則*(

26、0,1)XXNCOV(X,Y)=EXCOV(X,Y)=EX E(X)YE(X)Y E(Y)E(Y)易得易得 COV(X,Y)=E(XY)COV(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)E(X)E(Y)2.2.協(xié)方差性質協(xié)方差性質(1) COV(X,Y)=COV(Y,X); (1) COV(X,Y)=COV(Y,X); (6) E(XY)=E(X)E(Y) (6) E(XY)=E(X)E(Y) 的充要條件是的充要條件是COV(X,Y)=0; COV(X,Y)=0; (2) COV(aX,bY)=abCOV(X,Y), (2) COV(aX,bY)=abCOV(X,Y), 其中其中a, ba, b為常

27、數(shù)為常數(shù); ;(3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z); (3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z); (5) D(X(5) D(XY)=D(X)+D(Y) Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y). 2COV(X, Y).(7) D(X(7) D(XY)=D(X)+D(Y);Y)=D(X)+D(Y);的充要條件是的充要條件是 COV(X,Y)=0COV(X,Y)=0(4) COV(X,X)=D(X); (4) COV(X,X)=D(X); COV(X,c)=0COV(X,c)=0例1 設隨機變量XB(12,0.5),Y N(0,1), CO

28、V(X,Y)=-1,V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y,求: D(V)、 D(W)、 COV(V,W) .35 . 05 . 012)(, 65 . 012)(,) 5 . 0,12(npqXDnpXEBX得由解)134()(YXDVD)42()(YXDWD2(0,1), ( )0,( )1YNE YD Y由得)34(YXD)3 ,4(2)3()4(YXCovYDXD),(24)(9)(16YXCovYDXD.33)1(241931644),(16)(16)(4YXCoVYDXD( ,)(431, 24 )COV V WCOVXYXY(43 , 24 )(1, 24 )COVXYXYCOVX

29、Y(43 , 24 )0COVXYXY(4, 2)(4,4 )(3 , 2)(3 ,4 )COVXXCOVXYCOVYXCOVYY8(,) 16(, )6( ,) 12( , )COV X XCOV X YCOV Y XCOV Y Y )(12),(10)(8YDYXCoVXD22112) 1(1038(P110)定義定義 若隨機變量若隨機變量X X，Y Y的方差都存在且不等于的方差都存在且不等于零零, ,協(xié)方差協(xié)方差Cov(X,Y)Cov(X,Y)存在存在, , 則稱則稱DYDXYXXY),cov(稱為稱為 X X與與 Y Y的相關系數(shù)的相關系數(shù). .當當XYXY=0=0時時, ,稱稱X X

30、和和Y Y不相關不相關. . 注：若記注：若記DXXEXX)(*稱為稱為X X的標準化的標準化,易知E(X*)=0，D(X*)=1.且*cov(,)().X YX YE X Y如果 ，我們稱X和Y正相關，此時隨著X的增大，Y也有增大的趨勢；如果 ，則稱X和Y負相關，此時隨著X的增大，Y有減小的趨勢。0XY0XY2(, ):01,.XYX YDxyx例設隨機向量在區(qū)域內服從均勻分布 求;0),()(dyyxfxfXxdydyyxfxfxxxX21),()(,10時當xyxy 1.,0;,10, 1),(),(othersxyxyxfYX的聯(lián)合密度函數(shù)為由題設知解0),(,1,0, )() 1yx

31、fxxXE時或當先求3/22)()(10dxxxdxxxfXEX0),(,1, 1, )()2yxfyyYE時或當再求dyyyfYEY)()(dxdyyxxyfXYE),()()32(, )()() ( )0003COV X YE XYE X E Y于是;0),()(dxyxfyfYdxyxfyfyY),()(,01時當dxyxfyfyY),()(,10時當111ydxy 111ydxy 0)1 ()1 (1001dyyydyyy0110dyxydxxx.不相關與隨機變量故YX.),()(),(不獨立與因此但由于YXyfxfyxfYX0XY于是相關系數(shù)的性質相關系數(shù)的性質 例例3 3 設設(X

32、,Y)(X,Y)服從區(qū)域服從區(qū)域D:0 x1,0yxD:0 x1,0yx上的均勻分布上的均勻分布, ,求求X X與與Y Y的相關系數(shù)的相關系數(shù)D D1 1x=yx=yothersDyxyxf0),(2),(解解(1) |(1) | XYXY| | 1 1；(2) |(2) | XYXY|=|=1 1存在存在常數(shù)常數(shù)a, b a, b 使使PY= aX+b=1PY= aX+b=1；(3) X(3) X與與Y Y不相關不相關 XYXY=0;=0;322)(100 xdyxdxXE312)(101ydxydyYE181)32(2)(21002xdydxxXD181)31(2)(21012ydydxyYD361)()()(),(YEXEXYEYXCOV21)()(),(YDXDYXCOVXY412)(100 xxydydxXYE224 1)(0,1),2( 1,1),XYXYXUYXXUYX例求）求解解1)1)454)(,121)(,41)(,31)(,21)(YDXDXYEYEXE968. 0454121/121XY2)2)0)(, 0)(XYEXE0XY5()1, ( )0