1、第3講圓周運動第四章 曲線運動 萬有引力與航天內容索引基礎知識梳理命題點一圓周運動的分析命題點二水平面內圓周運動的臨界問題命題點三豎直面內的圓周運動盤查拓展點課時作業基礎知識梳理1一、勻速圓周運動、角速度、線速度、向心加速度一、勻速圓周運動、角速度、線速度、向心加速度1.勻速圓周運動(1)定義：做圓周運動的物體，若在相等的時間內通過的圓弧長 ，就是勻速圓周運動.(2)特點：加速度大小不變，方向始終指向 ，是變加速運動.(3)條件：合外力大小不變、方向始終與 方向垂直且指向圓心.相等圓心速度2.描述勻速圓周運動的物理量描述勻速圓周運動的物理量定義、意義公式、單位線速度描述做圓周運動的物體運動 的

2、物理量(v)(1)v _(2)單位：角速度描述物體繞圓心 的物理量()(1) _(2)單位：_快慢快慢轉動m/srad/s周期物體沿圓周運動 的時間(T)(1)T ，單位：_ (2)f ，單位：Hz向心加速度(1)描述速度 變化快慢的物理量(an)(2)方向指向_ (1)an (2)單位： 一圈方向圓心sr2m/s2如圖所示為一輛自行車傳動裝置的結構圖.答案(1)同一齒輪上到轉軸距離不同的各點的線速度、角速度是否相同？線速度不同，角速度相同.深度思考深度思考答案(2)兩個齒輪相比較，其邊緣的線速度是否相同？角速度是否相同，轉速是否相同？線速度相同，角速度、轉速不同.二、勻速圓周運動的向心力二、

3、勻速圓周運動的向心力1.作用效果向心力產生向心加速度，只改變速度的 ，不改變速度的 .2.大小Fmmrmv42mf2r.3.方向始終沿半徑方向指向 ，時刻在改變，即向心力是一個變力.4.來源向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的 提供，還可以由一個力的 提供.mr2分力圓心方向大小合力三、離心現象三、離心現象1.定義：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需 的情況下，就做逐漸遠離圓心的運動.2.本質：做圓周運動的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周 飛出去的趨勢.向心力切線方向3.受力特點(如圖)當F時，物體做勻速圓周運動；當F0時，物體沿 方向飛出；當F時，物體逐漸遠

4、離圓心.mr2切線mr21.判斷下列說法是否正確.(1)勻速圓周運動是勻變速曲線運動.()(2)做圓周運動的物體，一定受到向心力的作用，所以分析做圓周運動物體的受力時，除了分析其受到的其他力，還必須指出它受到向心力的作用.()(3)做圓周運動的物體所受合外力突然消失，物體將沿圓周的半徑方向飛出.()(4)火車轉彎速率小于規定的數值時，內軌受到的壓力會增大.()(5)飛機在空中沿半徑為R的水平圓周盤旋時，飛機機翼一定處于傾斜狀態.() 基礎題組自測基礎題組自測2.(人教版必修2P25第3題改編)如圖所示，小物體A與水平圓盤保持相對靜止，跟著圓盤一起做勻速圓周運動，則A受力情況是A.重力、支持力B

5、.重力、向心力C.重力、支持力、指向圓心的摩擦力D.重力、支持力、向心力、摩擦力答案3.(人教版必修2P19第4題改編)圖是自行車傳動裝置的示意圖，其中是半徑為r1的大齒輪，是半徑為r2的小齒輪，是半徑為r3的后輪，假設腳踏板的轉速為n r/s，則自行車前進的速度為答案4.(人教版必修2P25第2題改編)如圖所示，一個內壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質量相等的小球A和B緊貼著內壁分別在圖中所示的水平面內做勻速圓周運動，則以下說法中正確的是A.A球的角速度等于B球的角速度B.A球的線速度大于B球的線速度C.A球的運動周期小于B球的運動周期D.A球對筒壁的壓力大于B球對

6、筒壁的壓力答案解析先對小球受力分析，如圖所示，由圖可知，兩球的向心力都來源于重力mg和支持力FN的合力，建立如圖所示的坐標系，則有：FNsin mgFNcos mr2由得FN ，小球A和B受到的支持力FN相等，由牛頓第三定律知，選項D錯誤.由于支持力FN相等，結合式知，A球運動的半徑大于B球運動的半徑，故A球的角速度小于B球的角速度，A球的運動周期大于B球的運動周期，選項A、C錯誤.又根據FNcos m可知：A球的線速度大于B球的線速度，選項B正確.2命題點一 圓周運動的分析1.圓周運動中的運動學分析(1)對公式vr的理解當r一定時，v與成正比；當一定時，v與r成正比；當v一定時，與r成反比.

7、(2)對a 2rv的理解在v一定時，a與r成反比；在一定時，a與r成正比.2.圓周運動中的動力學分析(1)向心力的來源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個向心力.(2)向心力的確定確定圓周運動的軌道所在的平面，確定圓心的位置.分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力. (多選)(2016浙江理綜20)如圖所示為賽車場的一個水平“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑R90 m的大圓弧和r40 m的小圓弧，直道與彎道相切.大、小圓弧圓心O、O距離L100 m.賽車沿彎道路線行駛時

8、，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍，假設賽車在直道上做勻變速直線運動，在彎道上做勻速圓周運動，要使賽車不打滑，繞賽道一圈時間最短(發動機功率足夠大，重力加速度g10 m/s2，3.14)，則賽車A.在繞過小圓弧彎道后加速 B.在大圓弧彎道上的速率為45 m/sC.在直道上的加速度大小為5.63 m/s2 D.通過小圓弧彎道的時間為5.58 s【例1】答案解析分析題眼kmgm，vmR m/s45 m/s，vmr m/s30 m/s，直道的長度為x 50 m在直道上的加速度大小為a m/s26.50 m/s2小圓弧軌道的長度為 ，通過小圓弧彎道的時間為t s2.80 s題組階梯突

9、破題組階梯突破1.如圖所示，“旋轉秋千”中的兩個座椅A、B質量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉圓盤上.不考慮空氣阻力的影響，當旋轉圓盤繞豎直的中心軸勻速轉動時，下列說法正確的是A.A的速度比B的大B.A與B的向心加速度大小相等C.懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等D.懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小答案解析題眼 分析根據題意可知，座椅A和B的角速度相等，A的轉動半徑小于B的轉動半徑，由vr可知，座椅A的線速度比B的小，選項A錯誤；由ar2可知，座椅A的向心加速度比B的小，選項B錯誤；座椅受力如圖所示，由牛頓第二定律得mgtan mr2，tan ，因座椅A的運動半徑較小，故懸掛A的纜繩與豎

10、直方向的夾角小，選項C錯誤；拉力FT ，可判斷懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小，選項D正確.2.(多選)如圖所示，兩個質量不同的小球用長度不等的細線拴在同一點，并在同一水平面內做勻速圓周運動，則它們的A.周期相同B.線速度的大小相等C.角速度的大小相等D.向心加速度的大小相等答案分析題眼解析r=htan 對小球受力分析如圖所示，受自身重力mg、繩子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圓心，設細線和豎直方向夾角為，小球到懸點的距離為h，則有mgtan manm2htan ，可得向心加速度angtan ，所以向心加速度大小不相等，選項D錯；角速度 ，所以角速度大小相等，選項C對；由于水平面內圓周運

11、動的半徑不同，線速度vhtan ，所以線速度大小不同，選項B錯；周期T ，角速度相等，所以周期相等，選項A對.3命題點二 水平面內圓周運動的臨界問題 如圖所示，用一根長為l1 m的細線，一端系一質量為m1 kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角37，當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為時，細線的張力為FT.(g取10 m/s2，結果可用根式表示)求：(1)若要小球剛好離開錐面，則小球的角速度0至少為多大？(2)若細線與豎直方向的夾角為60，則小球的角速度為多大？【例2】答案解析分析答案題眼題眼FN=0(1)mgtan m02lsin 解得：02

12、即0 rad/s.(2)同理，當細線與豎直方向成60角時，mgtan m2lsin 解得：2 ，即 2 rad/s.水平面內圓周運動臨界問題的分析技巧水平面內圓周運動臨界問題的分析技巧1.在水平面內做圓周運動的物體，當角速度變化時，物體有遠離或向著圓心運動的趨勢.這時要根據物體的受力情況，判斷某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪(特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等).方法感悟方法感悟2.三種臨界情況(1)接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離，臨界條件是：彈力FN0.(2)相對滑動的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對靜止時，常存在著靜摩擦力，則相對滑動的臨界條件是：靜摩擦力達到最大值.

13、(3)繩子斷裂與松馳的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的，繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛的臨界條件是：FT0.題組階梯突破題組階梯突破3.(多選)如圖所示，兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為質點)放在水平圓盤上，a與轉軸OO的距離為l，b與轉軸的距離為2l，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是A.b一定比a先開始滑動B.a、b所受的摩擦力始終相等C. 是b開始滑動的臨界角速度D.當 時，a所受摩擦力的大小為kmg答案分析題眼解析最大靜摩擦力相等小

14、木塊a、b做圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，即fm2R.當角速度增加時，靜摩擦力增大，當增大到最大靜摩擦力時，發生相對滑動，對木塊a：faml，當fakmg時，kmgma2l，a ；對木塊b：fbmb22l，當fbkmg時，kmgmb22l，b ，所以b先達到最大靜摩擦力，選項A正確；兩木塊滑動前轉動的角速度相同，則fam2l，fbm22l，fafb，選項B錯誤；當 時b剛要開始滑動，選項C正確；當 時，a沒有滑動，則fam2l kmg，選項D錯誤.4命題點三 豎直面內的圓周運動1.豎直面內圓周運動兩類模型一是無支撐(如球與繩連接、沿內軌道運動的過山車等)，稱為“繩(環)約束模型”，二是有支

15、撐(如球與桿連接、在彎管內的運動等)，稱為“桿(管)約束模型”.2.豎直平面內圓周運動的兩種模型特點及求解方法輕繩模型輕桿模型實例如球與繩連接、沿內軌道運動的球等如球與桿連接、球在內壁光滑的圓管內運動等圖示最高點無支撐最高點有支撐最高點受力特征重力、彈力，彈力方向向下或等于零重力、彈力，彈力方向向下、等于零或向上受力示意圖力學特征mgFNmmgFNm最高點臨界特征FN0，vmin豎直向上的FNmg，v0過最高點條件vv0速度和彈力關系討論分析能過最高點時，v ，FNmgm，繩、軌道對球產生彈力FN不能過最高點時，v ，在到達最高點前小球已經脫離了圓軌道做斜拋運動當v0時，FNmg，FN為支持力

16、，沿半徑背離圓心當0v 時，FNmgm，FN指向圓心并隨v的增大而增大 小球P和Q用不可伸長的輕繩懸掛在天花板上，P球的質量大于Q球的質量，懸掛P球的繩比懸掛Q球的繩短.將兩球拉起，使兩繩均被水平拉直，如圖所示.將兩球由靜止釋放.在各自軌跡的最低點A.P球的速度一定大于Q球的速度B.P球的動能一定小于Q球的動能C.P球所受繩的拉力一定大于Q球所受繩的拉力D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度【例3】答案解析分析題眼題眼題眼小球從水平位置擺動至最低點，mgL mv2，解得v ，因LPLQ，故vPmQ，LP 時，小球一定能通過最高點PD.當v0 時整體會發生滑動D.當 時整體會發生滑動，故A

17、錯誤，B、C正確；12345678910當 時，C所受摩擦力沿著半徑向里，且沒有出現滑動，故在增大的過程中，由于向心力FFTFf不斷增大，故B、C間的拉力不斷增大，故D正確.123456789105.如圖所示，水平桿固定在豎直桿上，兩者互相垂直，水平桿上O、A兩點連接有兩輕繩，兩繩的另一端都系在質量為m的小球上，OAOBAB，現通過轉動豎直桿，使水平桿在水平面內做勻速圓周運動，三角形OAB始終在豎直平面內，若轉動過程中OB、AB兩繩始終處于拉直狀態，則下列說法正確的是A.OB繩的拉力范圍為0 mgB.OB繩的拉力范圍為 mg mgC.AB繩的拉力范圍為 mg mgD.AB繩的拉力范圍為0 mg

18、答案解析12345678910當轉動的角速度為零時，OB繩的拉力最小，AB繩的拉力最大，這時兩者的值相同，設為F1，則2F1cos 30mg，F1 mg，增大轉動的角速度，當AB繩的拉力剛好等于零時，OB繩的拉力最大，設這時OB繩的拉力為F2，則F2cos 30mg，F2 mg，因此OB繩的拉力范圍為 mg mg，AB繩的拉力范圍為0 mg，B項正確.123456789106.如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO重合.轉臺以一定角速度勻速旋轉，一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和

19、O點的連線與OO之間的夾角為60，重力加速度大小為g.(1)若0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求0；答案解析12345678910對小物塊受力分析可知：FN cos 60mgFN sin 60mR02R R s i n 6 0 聯立解得：012345678910(2)若(1k)0，且0k1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向.答案解析當(1k)0時，Ff沿罐壁切線向下，大小為 mg當(1k)0時，Ff沿罐壁切線向上，大小為 mg12345678910由于0k1，當(1k)0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向下.由受力分析可知：FNcos 60mgFfcos 30 FNsin 60Ffsin 30mR

20、2聯立解得：Ff mg12345678910當(1k)0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向上.由受力分析和幾何關系知：FNcos 60Ffsin 60mgFNsin 60Ffcos 60mR2 聯立解得Ff mg.123456789107.如圖所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L.重力加速度大小為g.現使小球在豎直平面內以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時，每根繩的拉力大小為A. mg B. mgC.3mg D.2 mg答案解析12345678910設小球在豎

21、直面內做圓周運動的半徑為r，小球運動到最高點時輕繩與圓周運動軌道平面的夾角為30，則有rLcos L.根據題述小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，有mgm；小球在最高點速率為2v時，設每根繩的拉力大小為F，則有2Fcos mgm，聯立解得F mg，選項A正確.123456789108.(多選)如圖所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r0.4 m，最低點處有一小球(半徑比r小很多)，現給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運動，v0應當滿足(取g10 m/s2)A.v00 B.v04 m/sC.v02 m/s D.v02 m/s答案解析12345678910當v0較大時，小球能夠通過最高點，這時小球在最高點處需要滿足的條件是mg ，又根據機械能守恒定律有 mv22mgr mv02，得v02 m/s，C正確.當v0較小時，小球不能通過最高點，這時對應的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處時速度恰好減為零，根據機械能守恒定律有mgr mv02，得v02 m/s，D正確.123456789109.如圖所示，兩個四分之三豎直圓弧軌道固定在同一水平地面上，半徑R相