1、第二章第二章 點、直線、平面之間的位置關系點、直線、平面之間的位置關系章末歸納總結章末歸納總結1知識結構 2.規律方法總結(1)證點共線：常證明點在兩個平面的交線上(2)證點線共面：常先據公理二及其推論確定一個平面，再證其它元素都在這個平面內(3)證線線平行：常用公理4、線面平行的性質、面面平行的性質、兩直線與同一平面垂直(4)證線面平行：常用線面平行的判定定理，線面平行的定義(5)證面面平行：常用判定定理、定義、推論或證兩平面和同一條直線垂直，有時也用兩平面與同一平面平行(6)證線線垂直：常用兩直線所成的角是直角、線面垂直的性質、面面垂直的性質(7)證線面垂直：常用判定定理、定義(8)證面面

2、垂直：常用判定定理、定義(9)求二面角、直線與直線所成角：常先作出角然后組成三角形，并通過解三角形求角3空間中的垂直關系、平行關系的判定方法歸納如下：表1直線與直線平行 文字語言圖形符號語言直線與直線平行定義：在同一個平面內，沒有公共點的兩條直線平行.直線與平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和已知平面相交，那么這條直線和交線平行.文字語言圖形符號語言直線與直線平行公理4：平行于同一直線的兩直線平行(平行線的傳遞性)直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行.兩平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線

3、平行.表2直線與平面平行 文字語言圖形符號語言直線與平面平行定義：若一條直線和一個平面沒有公共點，則這條直線與這個平面平行.直線a與平面無公共點a直線與平面平行的判定定理：如果不在平面內的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行.兩個平面平行，其中一個平面內的直線平行于另一個平面.表3兩平面平行 文字語言圖形符號語言平面與平面平行定義：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面平行. 平面與平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.文字語言圖形符號語言平面與平面平行推論：如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一平面內的兩條直線，

4、則這兩個平面平行.平行于同一平面的兩個平面平行(平行平面的傳遞性)表4直線與平面垂直 文字語言圖形符號語言直線與平面垂直定義：若一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.文字語言圖形符號語言直線與平面垂直推論：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.平面與平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.表5平面與平面垂直 文字語言圖形符號語言平面與平面垂直定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就

5、稱這兩個平面互相垂直.平面與平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直4.本章所涉及的一些思想方法：(1)數學研究的對象有兩大塊數量關系和空間形式其中“空間形式”主要是由幾何研究的立體幾何是訓練邏輯推理能力和空間想像能力的好素材在訓練發展思維能力和空間想象能力上，具有其它內容不可替代的作用第一章從對空間幾何體的整體觀察入手，遵循從整體到局部、具體到抽象的原則，通過直觀感知認識空間圖形本章在第一章直觀感知的基礎上進行系統的理論研究以四個公理為基礎，通過定義定理的形式，構建立體幾何的大廈通過學習逐步形成和發展幾何直觀能力和空間想象能力，以及運用幾何語言、圖形語

6、言進行交流的能力立體幾何在中學數學中的重要地位還表現在它與平面幾何、集合、函數、方程的聯系上貫穿于立體幾何中的化歸思想、分類討論思想、數形結合思想以及立體幾何特有的平移法、正投影法、體積法、展開法、翻折法、割補法等都極大地豐富了中學數學的思想和方法(2)深刻體會轉化思想立體幾何中最重要的最常用的思想就是化歸與轉化思想點面距、線面距、面面距、點線距等它們之間也可相互轉化，例如求點面距時，可沿平行線平移，點面距線面距點面距；或沿平面的斜線轉移，例如求A到平面的距離，AB與相交于點B，P為AB中點，就可轉化為求P到平面的距離等等通過將幾何體補形或分割為常見的基本幾何體，通過等體積變換，使問題變為可求

7、的轉化策略通過添加輔助線面，將空間問題化為平面幾何問題的降維轉化策略(3)逐步體會、掌握立體幾何特有的方法平移，沿平行線轉移，沿平面的斜線轉移，沿平面轉移等平行投影與中心投影，特別是正投影等積變換與割補展開、卷起、折疊、旋轉數學思想與方法不是孤立的，不能截然分離開來，在數學思想指導下研究解決具體問題的方法，而研究解決問題的方法過程中又豐富了數學思想(4)類比的方法，類比平面幾何的一些結論，可猜想立體幾何的一些結論，從而提供思維的方向一、轉化的思想例1如圖所示，AB為 O的直徑，C為 O上一點，AD面ABC，AEBD于E，AFCD于F.求證：BD平面AEF.分析要證BD平面AEF，已知BDAE，

8、可證BDEF或AF；由已知條件可知BC平面ADC，從而BCAF，故關鍵環節就是證AF平面BDC，由AFDC即可獲證解析AB為 O直徑，C為 O上一點，BCAC，點評證明線面垂直可轉化為證線線垂直，而要證線線垂直又轉化為證線面垂直，本題就是通過多次轉化而獲得證明的，這是證垂直問題的一個基本規律，須熟悉其轉化關系例2四棱錐PABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面垂直，又底面ABCD為矩形，E是PD中點(1)求證：PB平面ACE；(2)若PBAC，且PA2，求三棱錐EPBC的體積解析(1)設矩形ABCD對角線AC與BD交點為O，則O為BD中點，又E為PD中點，EOPB，PB 平面ACE，EO平面

9、ACE，PB平面ACE.(2)作PF平面ABCD，垂足為F，則F在AD上，又PAPD，F為AD中點，連BF交AC于M，PF平面ABCD，AC平面ABCD，ACPF，又ACPB，PBPFP，AC平面PBF，ACBF，ADPA2，AFFD1，BC2，例3正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長均為4，M，N分別是BC，CC1的中點(1)求證：BN平面AMB1；(2)求三棱錐BAB1N的體積分析線面垂直與線線垂直轉化，立幾問題向平幾轉化，等積變換解析(1)M為BC中點，ABC為正三角形，AMBC，又側面BCC1B1底面ABC，AM平面BCC1B1，又BN平面BCC1B1，AMBN，在正方形BCC1B1中

10、，M，N分別為BC，CC1中點，B1MBN(想一想為什么？)，BN平面AMB1.二、展開與折疊、旋轉例4如圖將無蓋正方體紙盒展開，直線AB，CD在原正方體中的位置關系是()A平行B相交且垂直C不相交也不平行D相交成60解析本題是展開與折疊問題，考查空間想象能力，如圖折起后，B與D點重合，AB與CD成ABC60，選D.答案D例5已知RtBAC中，ABACa，AD為斜邊BC上的高，以AD為折痕使BDC折成直角(如圖所示)求證：平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC.例6已知三角形ABC的邊長分別是AC3，BC4，AB5.以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，求所得幾何體的體積解析旋轉問題，以

11、AB為軸旋轉得到兩個同底的圓錐組合體易求體積為三、反證法例7求證：不在同一平面的兩兩相交的三條直線必共點分析要證三線共點，只需證其中兩線相交于某一點，然后再證明另一條直線也通過這一點，或通過反證法得出解析方法1：如圖，a，b，c兩兩相交；設a，b確定平面，b，c確定平面，a，c確定平面，且abO，Oa，O，Ob，O，O，Oc(公理1)，a，b，c交于一點方法2：(反證法)設abO，a，b確定平面，若c不過O點，設acO，bcO，則O，O，則c，此與a，b，c不在同一平面矛盾，a，b，c交于一點點評證三線共點，先證兩直線交于一點，再證另一條直線也過這一點，是常規思路，而反證法也是立體幾何中經常使

12、用的數學方法，一般步驟為：反設，作出與結論相反的假設；歸謬，由所作假設連同已知條件出發，通過邏輯推理導出矛盾(與假設或已知條件、公理、定理矛盾)；判斷，矛盾的產生由假設錯誤引起，故原結論正確以上三步驟缺一不可解析本題是等積變換問題，考察三棱柱體積和分析解決問題能力，解決時，可特殊化，取正三棱柱考察，一般處理時，可做垂直于一條側棱的截面答案B例9如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF ，EF與面ABCD的距離為2，求該多面體的體積例10已知四個面都是直角三角形的三棱錐，其中三個面展開后構成一直角梯形ABCD，如圖所示，ADAB，ADDC，AB2a，BC

13、 a，CDa.(1)請在圖中設計一種虛線，沿虛線翻折可成原來的三棱錐(指三棱錐的三個面)；(2)求這個三棱錐外接球的體積解析展開與折疊問題(1)如圖所示，取AD中點E，連結EC，EB，沿EC，EB折起，使點A與點D重合下面證明以上述方法所得的四面體每個面都是直角三角形所以BEC為直角三角形，且ECB90，即ECBC，又因為AEAC，AEAB，所以AE平面ABC，所以AC是EC在平面ABC內的正投射，ACBC，所以ABC也是直角三角形，故四面體ABCE四個面都是直角三角形五、側面積與表面積例11已知：正三棱錐SABC的底面邊長為a，各側面的頂角為30，D為側棱SC的中點，截面DEF過D且平行于A

14、B，當DEF周長最小時，求截得的三棱錐SDEF的側面積解析本題是側面展開問題，如圖所示，將正三棱錐側面展開，可得三個頂角均為30，底邊長為a的等腰三角形，D為SC的中點，DD的連線長即為最短距離DDCCAB，E、F即為相應的E、F.下面求DD的長在SCB中，BCa，CSB30，則SCSB(2)在平面幾何里，有勾股定理：“設ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2AC2BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面積與底面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐ABCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，設ABC，ACD，ADB，BCD的面積分別為S1，S2，S3，

15、S，則有_”(3)在平面幾何里，一個斜三角形ABC，A到BC的距離為d，BC的邊長為l，則SABC ld，類比這一結論，在立體幾何里，一個斜三棱柱ABCA1B1C1一條側棱AA1到側面BB1C1C的距離為d，側面BB1C1C的面積為S，則斜三棱柱的體積為_(4)在平面幾何里，梯形ABCD上底ABa，下底CDb，則中位線EF (ab)，類比這一結論，在空間中臺體上底面積S上，下底面積S下，中截面面積S中有_(5)在平面幾何里，有“平行于同一條直線的兩條直線相互平行”的結論，類比它可以得出空間中關于平面的命題：_.答案平行于同一平面的兩個平面相互平行*七、距離問題*例13三棱臺ABCA1B1C1中，側棱CC1底面ABC，ACB90，ACB1C1a，BC2a，AB1與CC1成45角，D為BC中點，(1)B1D與平面ABC的位置關系如何？(2)求三棱臺的體積(3)求A1C1與平面AB1C的距離