1、數字圖像處理曲線和曲面曲線和曲面2. B 樣條曲線2.1: B樣條曲線的定義2.2: B樣條曲線基函數性質2.3: B樣條曲線的性質2.4: 二次B樣條曲線2.5: 三次B樣條曲線2.6: 二、三次B樣條曲線的應用2.7: 非均勻B樣條曲線1. 樣條函數的概念1.1: 一般樣條函數的定義1.2: 三次樣條函數1.3: 二次樣條函數數字圖像處理1. 1. 樣條函數概念樣條函數概念 樣條函數的概念是美國數學家I.J.Schoenberg在1946年首先提出的，他定義了一種B樣條函數。盡管有10年的時間未受到重視，但從60年代開始，隨著電子計算機技術的飛速發展和數據擬合以及函數逼近在生產實驗中的廣泛

2、應用，樣條函數的理論和應用已迅速發展成了一門成熟的學科。由于樣條(Spline)函數發展的開始，就具有廣泛而又深刻的實用背景，因此，樣條函數及其參數表示形式的曲線和曲面方法是自由曲線與曲面設計的基礎。 數字圖像處理1.1 一般樣條函數的定義一般樣條函數的定義 給定一組平面上頂點 (xi,yi) (i=0，1，n)，并設在區間a,b上的：a=x0 x1xn-1xn=b,那么在a,b上的一個函數 S(x) 稱為K階連續樣條函數，如果它滿足下面兩個條件： (1)在每個小區間xi-1,xi(i=1，2，n)內，S(x) 是具有K階或K階以上連續函數。 (2)在xi(i=1，2，n-1)處成立 即S(x

3、)在拼接點處xi(i1，2，n-1)也具有K階連續， 這也就是S(x)在整個區間a,b上具有K階連續。 若S(x)滿足 ，則稱S(x)為插值樣條函數。,.,1 , 0),0()0()()(KkxSxSikiknixSyii.1 , 0)(數字圖像處理1.2 三次樣條函數三次樣條函數 假設在區間a，b上給定一個分割 ： a=x0 x1xn-1xn=b, 在a,b上的一個函數S(x)稱為插值三次樣條函數， 如果滿足下列條件: (1)在每一小區間xi-1,xi(i=1，2，n)內S(x)分別 是三次多項式函數； (2)在節點xi(i1，2，n-1)處成立 :SxSxkkiki()()()(), ,

4、,000 1 2即小區間上的三次多項式函數，在拼接點處xi 具有二階連續拼接。 (3)滿足插值條件yi =S(xi),i=0，1，n. 數字圖像處理1.3 二次樣條函數二次樣條函數設定區間a,b上一個分割： a=x0 x1xn-1xn=b,在a,b上的一個函數S(x)稱為插值二次樣條函數，如果滿足下列條件： (1)在每個小區間 內，S(x)是二次多項式函數，這里， nixxii,.,1 , 0,2121xxxin xxxxiiinn12112012212(, ,., ),稱為半節點； (2)在半節點 (i=1，2，n)處成立 , 1 , 0),0()0(21)(21)(kxSxSikik21i

5、x(3)滿足插值條件 .,.,1 ,0),(nixSyii數字圖像處理2. B 樣條曲線樣條曲線 以Bernstein基函數構造的Bezier曲線或曲面有許多優越性，但有兩點不足：其一是Bezier曲線或曲面不能作局部修改，控制多邊形的一個頂點發生了變化，整條Bezier曲線的形狀便發生變化；其二是Bezier曲線或曲面的拼接比較復雜。因此，1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部優點的同時，克服了Bezier方法的弱點。2.1 B 樣條曲線的定義樣條曲線的定義給定m+n+1個平面或空間頂點 Pi (i=0，1，m+n)，稱n次參數曲線段

6、：ninikinkttGPtP0, 1 , 0),()(為第k段n次B樣條曲線段 (k=0，1，m)，這些曲線段的全體稱為n次B樣條曲線，其頂點Pi(i=0，1，n+m)所組成的多邊形稱為B樣條曲線的特征多邊形。 其中，基函數 定義為：nitjintCntGinjnjnjni,.,1 ,0,1 ,0)()1(!1)(01,)(,tGni數字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲線示例二次二次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲線示例二次二次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲線示例三次三次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲

7、線示例三次三次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲線示例四次四次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數字圖像處理B 樣條曲線示例樣條曲線示例五次五次B 樣條曲線示例樣條曲線示例數字圖像處理2.2 B 樣條曲線基函數的性質樣條曲線基函數的性質 B樣條函數基函數為：nitjintCntGinjnjnjni,.,1 ,0,1 ,0)()1(!1)(01,具有如下性質： 1）有界正性：當 時， 2）權性： 即 3）對稱性：當 時， 4）遞推性： 1 , 0t),.,1 , 0(, 1)(0,nitGni 1 , 0, 1)(0,ttGnini 1 , 0t),.,1 , 0(),1

8、()(,nitGtGninni1;,.,1 , 0,1 , 0)()(1)()1(1)(1, 11,nnittGtinntGtintGninini數字圖像處理B 樣條曲線的基函數樣條曲線的基函數一次一次B 樣條曲線的基函數樣條曲線的基函數二次二次B 樣條曲線的基函數樣條曲線的基函數數字圖像處理B 樣條曲線的基函數樣條曲線的基函數三次三次B 樣條曲線的基函數樣條曲線的基函數四次四次B 樣條曲線的基函數樣條曲線的基函數數字圖像處理2.3 B 樣條曲線的性質樣條曲線的性質1. 局部性局部性 根據定義式可知，第 k 段n次B樣條曲線只與 n+1 個 頂點Pi(i=0，1，n)有關，因此，當改動其中一個

9、 控制頂點時，只會對相鄰的n+1段產生影響，不會對 整條曲線(當 m n)產生影響。這就為設計曲線時修改某一局部的形狀帶來了很大的方便。 如左圖所示，六個控制頂點控制的三次B樣條曲線由三段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由四個頂點控制。數字圖像處理B 樣條曲線的性質樣條曲線的性質2.幾何不變性 由于定義式所表示的B樣條曲線是參數形式，因此，和Bezier曲線一樣，B樣條曲線的形狀和位置與坐標系選擇無關。3. 連續性 當給定的m+n+1個控制頂點Pi (i=0，1，m+n)互不相重，則所控制的整條B樣條曲線具有n-1階幾何連續 (G n-1)。當給定的控制頂點相鄰最大重頂點數為h（即h 個控

10、制頂點重合在一起），則整條B樣條曲線具有n-h-1階幾何連續(G n-h-1)。 數字圖像處理B 樣條曲線的性質樣條曲線的性質4. 對稱性 根據B樣條曲線的基函數的對稱性可推導nininkininikinkttGPtGPtP0,0,)1 ,0()()1()1(它表明了B樣條曲線段的起點和終點的幾何性質完全相同。 數字圖像處理B 樣條曲線的性質樣條曲線的性質5.遞推性 n次B樣條曲線段的遞推曲線表示形式：nllnittilnlnttilntmknltPttPtlPtPliliilkliilklikiilk,.,2 , 1;,.,1 , 0;1 , 0);(11)();1(11)(,.,1 , 0

11、,.,2 , 1),()()()(0)(,11,1,其中：數字圖像處理B 樣條曲線的性質樣條曲線的性質6. 保凸性 B樣條曲線和Bezier曲線一樣，也具有保凸性。即當所有的控制頂點形成一個平面凸的閉多邊形時， Pk,n(t) 是一條平面凸曲線。數字圖像處理B 樣條曲線的性質樣條曲線的性質7. 凸包性當t0，1時，有0Gi,n(t)1 (i=0，1，n)和 ，因此，根據凸包定義可知，對任何t0，1，Pk,n(t) 必定在控制頂點構成的凸包之中。ninitG0,1)( 如左圖所示，六個控制頂點控制的三次B樣條曲線由三段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由四個頂點控制且包含在四個頂點構成的凸包之

12、中。數字圖像處理B 樣條曲線的性質樣條曲線的性質8.變差縮減性數字圖像處理2.4 二次二次B樣條曲線樣條曲線 取n=2，則有二次B樣條曲線的基函數如下 ： 1 , 0,21)() 122(21)() 1(21)(22, 222, 121 , 0tttGtttGttG二次B樣條曲線段 是一段拋物線。 202,2,0)()(iiitGPtP數字圖像處理二次二次B 樣條曲線樣條曲線二次B樣條曲線的矩陣表示為： 1 , 01210220111 21)(21022,0tPPPtttP它具有如下性質：1. 端點位置：)(21) 1 (),(21)0(122, 0102, 0PPPPPP2. 端點切矢： 1

13、22,0012,0) 1 (,)0(PPPPPP數字圖像處理二次二次B 樣條曲線樣條曲線 如左圖所示，六個控制頂點控制的二次B樣條曲線由四段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由相鄰的三個頂點控制。曲線段的起點和終點同控制頂點的連接邊相切于連接邊的終點位置。數字圖像處理二次二次B 樣條曲線樣條曲線3. 當P0，P1，P2三頂點共線時，P0,2(t)(t0，1) 即蛻化為一段直線。4. 當給定一組頂點P0，P1，Pm(m2)，若存在 Pi=Pi+1(0im-2)，則二次B樣條曲線經過頂點Pi， 且在此處是尖點。 三點共線的情況三點共線的情況 尖點的情況尖點的情況數字圖像處理2.5 三次三次B樣條

14、曲線樣條曲線取n=3，則有三次B樣條曲線的基函數如下： GttttGtttGttttGttt0 3321 3322 3323 3316331163641633311601,( )(),( )(),( )(),( ),三次B樣條曲線段 為：1, 0,1331036303030141161)(3210323 , 0tPPPPttttP)(3,0tP數字圖像處理三次三次B樣條曲線樣條曲線性質1：端點位置PPPPPPPPPPPPPP0 30120210 3123132016413223116413223,( )(),( )(),性質2：端點切矢及二階導數,2)1(,2)0(),(21)1( ),(21

15、)0( 1233,00123,0133,0023,0PPPPPPPPPPPPPP數字圖像處理三次三次B樣條曲線樣條曲線P0P3P2P1三次B樣條曲線的頂點位置和頂點切矢數字圖像處理2.6 二、三次二、三次B樣條曲線的應用樣條曲線的應用 在曲線擬合設計中，B樣條曲線主要可用于實驗數據平滑和要求局部交互式修改的自由曲線設計。當然，二、三次B樣條曲線及其變型，幾乎可以應用到所有的要求具有一次或二次幾何連續的曲線造型場合。(1)要求過插值端點；(2)封閉的二、三次B樣條曲線； (3)插值二、三次B樣條曲線；數字圖像處理2.7 非均勻非均勻 B 樣條曲線樣條曲線 前面介紹的B樣條曲線實際上稱為均勻(或等距節點)B樣條曲線。B樣條曲線是由B樣條函數演化而來的。關于B樣條函數的理論十分的豐富，現在簡單的給出B樣條基函數的遞推公式：給定參數 t 軸上的一個分割， 由下列遞推關系所定義的 稱為T 的 k階(或k-1次)B樣條基函數： ,.)1,0,(1itttTiiii)(,t