1、一、 函數的定義域與求法例題：1、 求下列函數的定義域3、已知函數y=lg(mx2-4mx+m+3)的定義域為R，數m的取值圍解析：利用復合函數的定義域進行分類討論    當m=0時，則mx2-4mx+m+3=3， 原函數的定義域為R；    當m0時，則 mx2-4mx+m+30，         m0時，顯然原函數定義域不為R；         m0，且(-4m)2-4m(

2、m+3)<0 時，即m，原函數定義域為R，     所以當m0,1) 時，原函數定義域為R4、求函數y=log2x + 1 (x4) 的反函數的定義域解析：求原函數的值域    由題意可知，即求原函數的值域，     x4,  log2x2    y3     所以函數y=log2x + 1 (x4) 的反函數的定義域是3，+)5、 函數f(2x)的定義域是-1，1，求f(log2x)的定義域解析：由題意可知2

3、-12x21        f(x)定義域為1/2，2        1/2log2x2   2x4所以f(log2x)的定義域是2,4二、 函數的值域與求法：配方法；零點討論法；函數圖象法；利用求反函數的定義域法；換元法；利用函數的單調性和有界性法；分離變量法例題：求下列函數的值域     解析：1、利用求反函數的定義域求值域先求其反函數：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x2， 由其反函數的

4、定義域，可得原函數的值域是yyR|y2 2、利用反比例函數的值域不等于0由題意可得， 因此，原函數的值域為1/2,+) 4、利用分離變量法和換元法設法2xt，其中t0，則原函數可化為y=(t+1)/(t-1)   t=(y+1)/(y-1) y>1或y<-1 5、利用零點討論法    由題意可知函數有3個零點-3，1，2，     當x<-3 時，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x         y&g

5、t;9     當-3x<1 時，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6     5<y9     當1x<2 時，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4        5y<6     當x 2時，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x         y6 

6、0;   綜合前面四種情況可得，原函數的值域是5,+) 6、利用函數的有界性三、 函數的單調性與應用例題：2、設a0且a1，試求函數y=loga(4+3x-x2)的單調遞增區間解析：利用復合函數的單調性的判定     由題意可得原函數的定義域是（，），     設u=4+3x-x2 ，其對稱軸是 x=3/2 ，  所以函數u=4+3x-x2 ，在區間（，3/2 上單調遞增；在區間3/2 ，4）上單調遞減    a時，y=logau 在其定義域為增

7、函數，由 xuy ，得函數u=4+3x-x2 的單調遞增區間（，3/2 ，即為函數y=loga(4+3x-x2) 的單調遞增區間    a時，y=logau 在其定義域為減函數，由 xuy ，得函數u=4+3x-x2 的單調遞減區間3/2 ，4），即為函數y=loga(4+3x-x2)的單調遞增區間3、已知y=loga(2-ax) 在0，1上是x 的減函數，求a的取值圍。解析：利用復合函數的單調性的判定   由題意可知，a設ug(x)=2ax，則g(x)在，上是減函數，且x=時，g(x)有最小值umin=2-a 又因為ug(x)2ax

8、，所以， 只要 umin=2-a則可，得a又y=loga(2-ax) 在0，1上是x 減函數，ug(x)在，上是減函數，即xuy ，所以y=logau是增函數，故a綜上所述，得a2、已知f(x)的定義域為（，），且在其上為增函數，滿足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，試解不等式f(x)+f(x-2)<3 解析：此題的關鍵是求函數值所對應的自變量的值 由題意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8) 又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x)<f(8) 所以原不等式的解集

9、為x|2<x<4四、函數的奇偶性與應用例題：解析：利用作和差判斷由題意可知，函數的定義域是R，設x為R任意實數，     即，f(x) = -f(x) ，原函數是奇函數利用作商法判斷 由題意可知，函數的定義域是R，設x為R任意實數，（）f(x) 的圖象關于直線x=1對稱，    f1-(1-x)f1+(1-x) ，xR ，即f(x) f(2-x) ，    又 f(x)在R上為偶函數， f(-x)f(x)f(2-x)f(2+x)     f(x)是周期的

10、函數，且2是它的一個周期五、 函數的周期性與應用例題：1、 求函數 y = |sinx|+|cosx|的最小正周期解析：利用周期函數的定義       y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx| =|cos(x + /2)|+|sin(x + /2)|     即對于定義域的每一個x，當x增加到(x + /2)時，函數值重復出現，因此函數的最小正周期是/2 3、 求函數y=sin3x+tan(2x/5) 的最小正周期解析：最小公倍數法和公式法，    （設f(x)、g(x) 是定義在公共集合上的兩上三角周期函數，T1、T2分別是它們的周期，且T1T2，則f(x)± g(x) 的最小正周期等于T1、T2的最小公倍數）（注：分數的最小公倍數 = 分子的最小公倍數/分母的最大公約數）由題意可知，sin3x的周期是T1= 2/3，tan(2x/5)的周期是T2=5/2，原函數的周期是T=10/1 =10 4、 求函數y=|tanx|的最小正周期解析：利用函數的圖象求函數的周期    函數y=|tanx|的簡圖如