1、一一. .集合與區(qū)間集合與區(qū)間二二. .函數(shù)函數(shù)三三. .小結(jié)小結(jié) 作業(yè)作業(yè) 第一節(jié)第一節(jié) 函函 數(shù)數(shù)第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限1.1.函數(shù)的概念函數(shù)的概念2.2.函數(shù)的特性函數(shù)的特性3.3.反函數(shù)反函數(shù)4.4.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)一、集合與區(qū)間一、集合與區(qū)間(1)定義定義組成這個集合的事物稱為該集合的組成這個集合的事物稱為該集合的元素元素.12 ,na aaAx x所具有的特征M,aM.aM(3)符號符號(4)表示表示 列舉法列舉法 描述法描述法(5)常用集合常用集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合集合.*,N NZ ZQ R RR 1

2、.1.集合概念集合概念(2)有限集和無限集有限集和無限集函函 數(shù)數(shù);,ABBA 且且不含任何元素的集合稱為空集不含任何元素的集合稱為空集, ,記記作作規(guī)定空集為任何集合的子集規(guī)定空集為任何集合的子集.(6)關(guān)系關(guān)系:BA 子集子集 (包含包含);BxAx :BA 相等相等2.2.集合的運算集合的運算 并并: 交交: (1) 基本運算基本運算BAI ABBAI ABAB = x | x A 且且 x B AB = x | x A 或或 x B 函函 數(shù)數(shù) 補補:()CAIA AI差差: ABIA B = x | x A且且 x B A BIAB=()CBAA或或函函 數(shù)數(shù)(2)運算法則運算法則交

3、換律交換律:;,ABBAABBA 結(jié)合律結(jié)合律:, )()(CBACBA ;)()(CBACBA 分配律分配律:),()()(CBCACBA ;)()()(CBCACBA 對偶律對偶律:,)(CCCBABA .)(CCCBABA 函函 數(shù)數(shù)3.3.區(qū)間和鄰域區(qū)間和鄰域),(bxaxba 開區(qū)間開區(qū)間 (a, b):oxab(1)(1)有限區(qū)間有限區(qū)間,bxaxba 閉區(qū)間閉區(qū)間 a, b:),bxaxba 半開區(qū)間半開區(qū)間 a, b):,(bxaxba 半開區(qū)間半開區(qū)間 (a, b: oxaboxaboxab函函 數(shù)數(shù)),xaxa ),(bxxb oxaoxb(2)(2)無限區(qū)間無限區(qū)間函函

4、數(shù)數(shù)(,)x xR ox(3)(3)鄰域鄰域xa a a ( , ):oU aa 點點 的的去去心心鄰鄰域域. 0),( axxaUo.),( axxaU點點a的鄰域的鄰域U( (a):): 以點以點a為中心為中心的任何開區(qū)間的任何開區(qū)間. .點點a的的 鄰域鄰域U( (a, ):):U( (a, ) )的實質(zhì)的實質(zhì): :U(a, )=(a , a + ).點點a的左的左 鄰域鄰域: :(a , a ).點點a的右的右 鄰域鄰域: :(a , a+ ).問題：問題：如何用鄰域表示如何用鄰域表示(1,2)呢？呢？ 函函 數(shù)數(shù)思考題函函 數(shù)數(shù)二、函數(shù)二、函數(shù), )(Dxxfy 1.1.函數(shù)的概念函

5、數(shù)的概念(1)定義定義其中其中x稱為自變量，稱為自變量，y稱為因變量，稱為因變量，D稱為定義域，稱為定義域，.,DDDff 即即設(shè)設(shè)x 和和 y 是兩個變量是兩個變量, D 是一個給定的非空數(shù)是一個給定的非空數(shù)集集, 如果按照某個法則如果按照某個法則 f , 對于每個數(shù)對于每個數(shù) xD, 變量變量 y 都有都有唯一確定的值和它相對應(yīng)唯一確定的值和它相對應(yīng), 則稱這個法則則稱這個法則 f 為定義在為定義在 D上的函數(shù)上的函數(shù). 值域值域 : 全體函數(shù)值所組成的集合全體函數(shù)值所組成的集合 W=y| y = f (x), xD.一般記作一般記作函函 數(shù)數(shù)注記注記:區(qū)別符號區(qū)別符號 f 與與 f (x

6、) 的不同含義的不同含義. .掌握函數(shù)定義域掌握函數(shù)定義域 D 的確定原則的確定原則:(3)函數(shù)定義域函數(shù)定義域D D 的確定的確定 ()對有實際背景的函數(shù)，根據(jù)問題的實際意對有實際背景的函數(shù)，根據(jù)問題的實際意義確定義確定 ;()對抽象地用算式表達(dá)的函數(shù)，根據(jù)其所允許對抽象地用算式表達(dá)的函數(shù)，根據(jù)其所允許之取值而定（此為自然定義域）之取值而定（此為自然定義域）. . (2)要素要素 定義域定義域 D及對應(yīng)法則及對應(yīng)法則 f例例1 常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù) y=2yxo1y=2函函 數(shù)數(shù)例例2 絕對值函數(shù)絕對值函數(shù)yxo1-11 0,0,xxxxxyy=|x|函函 數(shù)數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)

7、當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)xxx sgn例例3 符號函數(shù)符號函數(shù)yxo11xysgn 函函 數(shù)數(shù)例例4 取整函數(shù)取整函數(shù)yxo4y = x函函 數(shù)數(shù) yx 。321-1-2-3-41234-4-3-2-1其中其中x 表示不超過表示不超過 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù)., n ,1),0,1,2,xn nn L L解：解：以以C = C(x)表示這個函數(shù)由于表示這個函數(shù)由于s 0，于是，于是函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為 (0, + )從給出的信息，我們從給出的信息，我們有有 10,0 3,( ) = 24, 3 10,36,10.sC sssss 函函 數(shù)數(shù)例例5 某市出租車按如下規(guī)定收費某市出租車按如下規(guī)定收費:

8、: 當(dāng)行駛里程不超過當(dāng)行駛里程不超過3 3 km km 時時, , 一律收起步費一律收起步費1010元元; ; 當(dāng)行駛里程超過當(dāng)行駛里程超過3 km3 km時時, , 除起步費外除起步費外, ,對超過對超過3 km3 km且不超過且不超過10 km 10 km 的部分的部分, ,按每按每千米千米2 2元計費元計費; ;對超過對超過10 km10 km的部分的部分, ,按每千米按每千米3 3元計費元計費. . 試寫出車費試寫出車費 C 與行駛里程與行駛里程 s 之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系. .分段函數(shù)分段函數(shù): 在定義域的不同部分在定義域的不同部分, 對應(yīng)法則由不同的對應(yīng)法則由不同的算式表達(dá)算

9、式表達(dá). 如如 絕對值函數(shù)、符號函數(shù)、取整函數(shù)等絕對值函數(shù)、符號函數(shù)、取整函數(shù)等.思考題2.2.函數(shù)的特性函數(shù)的特性(1)有界性有界性定義定義,)(,11成立成立有有若若KxfXxRKDXf 稱稱為為上上界界；上上有有上上界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)1,)(KXxf,)(,22成立成立有有若若KxfXxRKDXf 稱稱為為下下界界；上上有有下下界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)2,)(KXxf,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDXf .,)(否否則則就就稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf函函 數(shù)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)的定義域為的定義域為Df . .說明說明 有界性是與自變量取值范

10、圍有關(guān)的相對性概念有界性是與自變量取值范圍有關(guān)的相對性概念命題命題1 比如，比如，y=1/x 在在(1, + )有界，在有界，在(0,1)內(nèi)無界內(nèi)無界( (無上無上界界, ,但有下界但有下界).). 函數(shù)函數(shù) (x)在在X上有界的充分必要條件是它在上有界的充分必要條件是它在X上上既有上界又有下界既有上界又有下界. . 函函 數(shù)數(shù)(2)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性恒有恒有時時當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點上任意兩點對于區(qū)間對于區(qū)間,2121xxxxI 上上是是在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf)()(xfy )(1xf)(2xfxyoI定義定義單調(diào)增加單調(diào)增加(或單調(diào)減少或單調(diào)減少).)(xfy )(1xf)(

11、2xfxyoI1x2x1x2x注意注意 函數(shù)的單調(diào)性是一個與自變量取值范圍有關(guān)的相對性概念函數(shù)的單調(diào)性是一個與自變量取值范圍有關(guān)的相對性概念 (x1) (x2) ) 函函 數(shù)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域為的定義域為 D, 區(qū)間區(qū)間 I D, 如果如果(3)函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)偶函數(shù)有有對于對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱設(shè)設(shè),DxD yx)( xf )(xfy ox-x)(xf定義定義則稱則稱 f (x) 為為偶函數(shù)偶函數(shù)(或或奇函數(shù)奇函數(shù)).奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy f (-x) = f (x) (或或f (-x) = - f (x) )注意注意:

12、 : 有非奇非偶的函數(shù)有非奇非偶的函數(shù)函函 數(shù)數(shù)例例 6 判別判別的奇偶性的奇偶性. . +3= ln-3xfxx分析分析 - +3-3-=ln=ln=-,- -3+3xxfxf xxx例例7 試證：兩偶函數(shù)之和、之積均為偶函數(shù)試證：兩偶函數(shù)之和、之積均為偶函數(shù). .分析分析 設(shè)設(shè) (x), g(x)為兩偶函數(shù)為兩偶函數(shù),即即 (-x)= (x),g(-x)= g(x). 記記h(x)= (x)+g(x),則則 h(-x)= (-x)+g(-x)= (x)+g(x) =h(x),故兩偶函數(shù)之和為偶函數(shù)故兩偶函數(shù)之和為偶函數(shù).函函 數(shù)數(shù)(4)函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性通常說周期函數(shù)的周期是指其通常

13、說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期最小正周期;設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域為的定義域為D，若存在一個正數(shù)，若存在一個正數(shù) l ，定義定義)()(,),xflxfDlxDx 且且有（有（使得使得恒成立，則稱恒成立，則稱 f (x) 為周期函數(shù)，為周期函數(shù)，l 稱為稱為f (x) 的周期的周期xyoxf (x)x+lf (x+l)說明說明函函 數(shù)數(shù)函函 數(shù)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f (x) 的定義域是數(shù)集的定義域是數(shù)集D, 值域是數(shù)集值域是數(shù)集W. 1( ).xfy 3.3.反函數(shù)反函數(shù)定義定義的反函數(shù)，記作的反函數(shù)，記作 若對每一個若對每一個yW, 都有唯一的都有唯一的xD適合關(guān)系適合關(guān)系 f (

14、x) = y, 那么就把此那么就把此 x 值作為取定的值作為取定的 y 值的對應(yīng)值值的對應(yīng)值, 從而得到從而得到一個定義在一個定義在W上的新函數(shù)上的新函數(shù). 這個新的函數(shù)稱為這個新的函數(shù)稱為y= f (x)0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxyDW)(1yfx 反函數(shù)反函數(shù)o說明說明 反函數(shù)的習(xí)慣表示法反函數(shù)的習(xí)慣表示法 若直接函數(shù)若直接函數(shù) y=f (x)，xD， ).(),(1Dfxxfy 則則反反函函數(shù)數(shù)記記為為直接函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性直接函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性 具有一致性具有一致性直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形特點直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形特點 y=x )(xfy xyo),(abQ

15、),(baP)(1xfy 關(guān)于直線關(guān)于直線y=x對稱對稱函函 數(shù)數(shù)反函數(shù)存在條件反函數(shù)存在條件若函數(shù)若函數(shù) y=f (x)定義在某個區(qū)間定義在某個區(qū)間 I上并上并 函函 數(shù)數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)在該區(qū)間上單調(diào)(增加或減少增加或減少)，則它必存在反函數(shù)，則它必存在反函數(shù). 反三角函數(shù)反三角函數(shù)arcsin , 1,1,.22yxDW arccos , 1,1,0,.yxDW arctan ,(,.22yxD+W ）（）arccot ,(,0,.yxD+W ）（）思考題3. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (u)，,1Du 函數(shù)函數(shù) u = g(x)，2,x D 則稱函數(shù)則稱函數(shù)Dx

16、xgfy ),(和函數(shù)和函數(shù) y = f (u)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)其中復(fù)合函復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)其中復(fù)合函說明說明(1)不是任意兩個函數(shù)都可復(fù)合成一個復(fù)合函不是任意兩個函數(shù)都可復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的，即兩個函數(shù)的復(fù)合是有條件的；數(shù)的，即兩個函數(shù)的復(fù)合是有條件的；(2)函數(shù)復(fù)合可以推廣到多個函數(shù)函數(shù)復(fù)合可以推廣到多個函數(shù)問題問題：y=arcsinu 和和u=2+x2能否復(fù)合？能否復(fù)合？ 函函 數(shù)數(shù)(2)函數(shù)復(fù)合可以推廣到多個函數(shù)函數(shù)復(fù)合可以推廣到多個函數(shù), 為由函數(shù)為由函數(shù)u=g(x) 數(shù)定義域數(shù)定義域u稱為中間變量稱為中間變量.21 |,( ),Dx x Dg xD 且例例9 設(shè)設(shè), 其中其中 a

17、, h, a+h 均均1( )g xx ()( )ga hgah . 求求例例8 設(shè)設(shè) f (x)的定義域是的定義域是 (0, 1) , ,試求復(fù)合函數(shù)試求復(fù)合函數(shù) f (lnx)的定義域的定義域. . 分析分析 y = (lnx)由由y = (u)和和u=lnx復(fù)合而成復(fù)合而成, f (u)與與出出1xe故故f (lnx)的定義域為的定義域為 (1, e)f (x)的定義域一樣的的定義域一樣的, 即即0u1, 所以所以, 0lnx1, 解解不為零不為零.函函 數(shù)數(shù)例例10 求由求由復(fù)合而成的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù).2ln ,1,tanyu uvvx 4.4.初等函數(shù)初等函數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù)()yx

18、 是是常常數(shù)數(shù)oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù) 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).函函 數(shù)數(shù) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( 函函 數(shù)數(shù) 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyalog xya1log )1( a)0 , 1( 函函 數(shù)數(shù) 三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 函函 數(shù)數(shù)xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)函函 數(shù)數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan 函函 數(shù)數(shù)xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 函函 數(shù)數(shù) 反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)函函 數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函