1、 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎第第2章章 點、直線和平面的投影點、直線和平面的投影2.1 2.1 投影法的基本知識投影法的基本知識 2.2 2.2 點的投影點的投影2.3 2.3 直線的投影直線的投影2.4 2.4 平面的投影平面的投影下一頁下一頁 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎Pa投射線投射線S A 空間點空間點 是是投射線通過物體，向選定的平面投射，并在投射線通過物體，向選定的平面投射，并在該平面上得到圖形的方法。該平面上得到圖形的方法。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄2.1

2、2.1 投影法的基本知識投影法的基本知識2.1.1 2.1.1 投影法投影法投射中心投射中心投影面投影面投影投影 光源光源投射中心投射中心光線光線投射線投射線 選定的平面選定的平面投影面投影面 在投影面上所得到的在投影面上所得到的 圖形圖形投影投影概念概念 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎2.1.2 2.1.2 投影法的分類投影法的分類根據(jù)根據(jù)投射線的類型投射線的類型（匯交或平行）不同：（匯交或平行）不同：投影法投影法中心投影法（投射線匯交）中心投影法（投射線匯交）平行投影法（投射線平行）平行投影法（投射線平行） 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目

3、錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎1.1.中心投影法中心投影法中心投影法中心投影法 : : 投射線匯交一點的投影法。投射中心、物體、投射線匯交一點的投影法。投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。作圖比較投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。作圖比較麻煩，且度量性較差。麻煩，且度量性較差。投射中心投射中心畫透視圖畫透視圖P物體物體上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎 教學樓（透視圖）教學樓（透視圖）上一頁上一頁下一頁下一頁

4、返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎2.2.平行投影法平行投影法平行投影法平行投影法 : : 投射線相互平行的投影法。投影大小與物體投射線相互平行的投影法。投影大小與物體和投影面之間的距離無關。度量性較好。和投影面之間的距離無關。度量性較好。平行投影法平行投影法斜投影法（傾斜）斜投影法（傾斜）正投影法（垂直）正投影法（垂直）根據(jù)根據(jù)投射線投射線和和投影面投影面的相對位置（垂直或傾斜）不同：的相對位置（垂直或傾斜）不同：上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎

5、礎礎礎礎礎正投影法正投影法斜投影法斜投影法正投影法：正投影法：投射線與投影面相垂直的平行投影法。投射線與投影面相垂直的平行投影法。斜投影法：斜投影法：投射線與投影面相傾斜的平行投影法。投射線與投影面相傾斜的平行投影法。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎斜投影法斜投影法正投影法正投影法 工程圖樣工程圖樣（零件圖和裝配圖）（零件圖和裝配圖）多面投影圖多面投影圖單面投影圖單面投影圖 單面投影圖單面投影圖 輔助圖樣輔助圖樣（正等軸測圖）（正等軸測圖） 輔助圖樣輔助圖樣 （斜二軸測圖）（斜二軸測圖）用途用途用途用途

6、平行投影法的用途：平行投影法的用途：上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回機械零件圖機械零件圖軸（工程圖）軸（工程圖） 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回齒輪（軸測圖）齒輪（軸測圖） 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎 工程上常用的投影圖工程上常用的投影圖1.1.正投影圖（多面）正投影圖（多面） 2.2.軸測圖（單面）軸測圖（單面） 3.3.透視圖（單

7、面）透視圖（單面） 4.4.標高投影圖（單面）標高投影圖（單面） 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎圖樣名稱圖樣名稱 特特 點點應應 用用正投影圖正投影圖（多（多 面）面） 優(yōu)點：優(yōu)點： 能準確表達物體形狀和大小，能準確表達物體形狀和大小，且作圖方便。且作圖方便。 缺點：缺點：缺乏立體感，直觀性較差，缺乏立體感，直觀性較差，要運用正投影法對照幾個投影才能想象要運用正投影法對照幾個投影才能想象出物體的形狀。出物體的形狀。 在工程上，正投影圖是最常用的在工程上，正投影圖是最常用的圖樣。如：圖樣。如： （1）零

8、件圖）零件圖 （2）裝配圖）裝配圖軸軸 測測 圖圖 （單（單 面）面） 優(yōu)點：優(yōu)點： 一個圖形能同時反映物體的一個圖形能同時反映物體的正面、水平面和側面的形狀，而富有立正面、水平面和側面的形狀，而富有立體感。體感。 缺點：缺點：不能反映物體各表面的實形，不能反映物體各表面的實形，且作圖較復雜。且作圖較復雜。 在工程上，常把軸測圖用作輔助在工程上，常把軸測圖用作輔助圖樣，說明產(chǎn)品的結構和使用方法；圖樣，說明產(chǎn)品的結構和使用方法；在設計和測繪中，幫助進行空間構在設計和測繪中，幫助進行空間構思和想象物體形狀；空間機構和管思和想象物體形狀；空間機構和管路布局。如：路布局。如： （1）正等測）正等測 （

9、2）斜二測）斜二測透透 視視 圖圖（單（單 面）面） 優(yōu)點：優(yōu)點： 透視投影符合人的視覺映象，透視投影符合人的視覺映象，看起來自然、逼真?？雌饋碜匀?、逼真。 缺點：缺點：作圖復雜，度量性差。作圖復雜，度量性差。 主要用于建筑工業(yè)設計等工程中，主要用于建筑工業(yè)設計等工程中，如繪制效果圖或建筑物的外形。如繪制效果圖或建筑物的外形。 標高投影圖標高投影圖（單（單 面）面） 優(yōu)點：優(yōu)點：能解決物體高度方向的度量能解決物體高度方向的度量問題。問題。 主要用于地圖以及土建工程圖中主要用于地圖以及土建工程圖中表示土木結構或地形。表示土木結構或地形。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程

10、程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎1. 1. 實形性實形性CDEBAPabedc當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。2.1.3 2.1.3 正投影法的基本特性正投影法的基本特性上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎2. 2. 積聚性積聚性edca（b）CDEBAP當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工

11、程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎3. 3. 類似性類似性CDEedcBAabP當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎正投影法的基本特性正投影法的基本特性 1.1. 實形性實形性 當線段或平面平行于投影面時，當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。其投影反映實長或實形。 2.2. 積聚性積聚性 當線段或平面垂直于投影面時，當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。其投

12、影積聚為點或線段。 3.3. 類似性類似性 當線段或平面傾斜于投影面時，當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。其投影變短或變小。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎HVOXa aA點的一個投影能否確定該點的空間位置？點的一個投影能否確定該點的空間位置？問題的提出2.2 2.2 點的投影點的投影 2.2.1 2.2.1 點的三面投影點的三面投影 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎1. 1. 三面投影體系的建立三面

13、投影體系的建立HVXOZYW 三投影面體系由三投影面體系由: :正立投影面（正立投影面（V V面）、水平投影面面）、水平投影面（H H面）、側立投影面（面）、側立投影面（W W面）三個投影面構成。三個投影面）三個投影面構成。三個投影面的交線面的交線OXOX、OYOY、OZOZ稱為投影軸，三個投影軸的交點稱為稱為投影軸，三個投影軸的交點稱為原點。原點。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎2. 2. 點的三面投影點的三面投影HVXZYWOA 點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，點的三面投影圖是將空間

14、點向三個投影面作正投影后，將三個投影面將三個投影面展開展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定V V面面不動，不動，H H面向下旋轉面向下旋轉9090 ，W W面向右旋轉面向右旋轉9090 。aaaHa a VWXOZYWYHaa a XOZYWYHa規(guī)定規(guī)定（以點（以點A為例）：為例）：H面投影水平投影面投影水平投影aV面投影正面投影面投影正面投影aW面投影側面投影面投影側面投影a上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎3. 3. 點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律HVXZYWOayaxaz

15、aaaa aa XOZYWYHaxayazayA（1）a aOX 軸軸 aaY= a az =A 到到W 面的距離面的距離（2）a a OZ 軸軸 a ax= a aY =A 到到H 面的距離面的距離（3） aax= a az =A 到到V 面的距離面的距離長對正長對正高平齊高平齊寬相等寬相等上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎例例1 1 已知點已知點A A的正面與側面投影，求點的正面與側面投影，求點A A的水平投影。的水平投影。ZYHXYWOa a a分析及作圖過程分析及作圖過程: :（1）依據(jù)）依據(jù)“長

16、對正長對正”，過過a 做垂直做垂直O(jiān)X軸的垂直軸的垂直輔助線。輔助線。（2）根據(jù)）根據(jù)“寬相等寬相等”，可先作出可先作出“45等寬等寬線線”，過，過a 作作OYOYW W的垂線的垂線與與45 線相交，過交點向線相交，過交點向左作水平輔助線。左作水平輔助線。（3）垂直輔助線和水平）垂直輔助線和水平輔助線的交點即為輔助線的交點即為A點點的水平投影的水平投影a。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎xA4. 4. 點的投影與直角坐標的關系點的投影與直角坐標的關系 若把三個投影面當作空間直角坐標面，投影軸為直角坐標軸

17、，若把三個投影面當作空間直角坐標面，投影軸為直角坐標軸，點的點的投影就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存在著對應關系。投影就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存在著對應關系。aa XOZYWYHaxayazayyAxAzAHVXZYWOAayaxazaaaa yAxAyAzAzAA(xA,yA,zA)；a(xA,yA)； a (xA,zA)；a (yA,zA)(xA,yA,zA)上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎例例2 2 已知點已知點B B的坐標為（的坐標為（25,20,30)25,20,30)，

18、求作點，求作點B B的三面投影。的三面投影。XYWYHZO（2）在）在OX軸上截取坐標長度軸上截取坐標長度25，過截點作垂直線。過截點作垂直線。（3）在）在OZ軸上截取坐標長度軸上截取坐標長度30，過截點作水平線，得到過截點作水平線，得到a 。（4）在）在OY軸上截取坐標長度軸上截取坐標長度20，作出投影作出投影a、a。aaa302520（1）建立投影體系。）建立投影體系。分析及作圖過程：分析及作圖過程：上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎XOZYWa a ab b b c c c 5.5.特殊位置點的投影

19、特殊位置點的投影投影面上的點投影面上的點：一個投影與投影面重合，另兩個投影投影軸上。一個投影與投影面重合，另兩個投影投影軸上。投影軸上的點投影軸上的點：兩個投影與投影軸重合，另一個投影在原點上。兩個投影與投影軸重合，另一個投影在原點上。與原點重合的點與原點重合的點：點的三個坐標為零，三個投影都與原點重合。點的三個坐標為零，三個投影都與原點重合。 HVXZYWaa a c c c Ob b b AC YHB 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎1. 1. 兩點相對位置的確定兩點相對位置的確定XOZYa a a

20、b b bBA 兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠近兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠近（或坐標大?。﹣泶_定的。（或坐標大?。﹣泶_定的。X X坐標值大的點在左；坐標值大的點在左；Y Y坐標值坐標值大的點在前；大的點在前；Z Z坐標值大的點在上。坐標值大的點在上。 XZYWYHO2.2.22.2.2 兩點之間的相對位置關系兩點之間的相對位置關系上下左右后前左右A點在B點（ ）方。右上前右上前YH上下aa aaa b bb 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎2. 2. 重影點重影點 若兩點

21、位于某投影面的若兩點位于某投影面的同一條同一條投射線上，則這兩點在該投投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。Dc(d)a(b)abABcdCOX重影點的重影點的可見性可見性判別：判別： 上遮下上遮下 前遮后前遮后 左遮右左遮右被遮擋的投影加被遮擋的投影加“（）（）”上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎OXZYaZXOYHYW 空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某一投影面的

22、投影可由該直線上某兩點的同面投影所確定。一投影面的投影可由該直線上某兩點的同面投影所確定。a a ab bb bbbaaAB2.3.1 2.3.1 直線的投影直線的投影2.3 2.3 直線的投影直線的投影上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎投影面平行線投影面平行線投影面垂直線投影面垂直線正平線（正平線（ V，對，對H、W傾斜傾斜）側平線（側平線（ W，對，對H、V傾斜傾斜）水平線（水平線（ H，對，對V、W傾斜傾斜）正垂線（正垂線（ V面，面，H，W ）側垂線（側垂線（ W面，面，H，V ）鉛垂線（鉛垂線（

23、 H面，面，V，W ） 一般位置直線一般位置直線特殊位置直線特殊位置直線與三個投影面與三個投影面都傾斜的直線都傾斜的直線平行于一個投影面，平行于一個投影面，與其它兩個投影面與其它兩個投影面傾斜的直線傾斜的直線垂直于一個投影面，垂直于一個投影面，與其它兩個投影面與其它兩個投影面平行的直線平行的直線2.3.2 2.3.2 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性投影面傾斜線投影面傾斜線上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎OXZY1. 1. 一般位置直線投影特性一般位置直線投影特性ABbbabaaZXabaO

24、YHYWabb投影特性：投影特性：(1)(1)三面投影都傾斜于投影軸。（三面投影都傾斜于投影軸。（2 2）投影的長度）投影的長度均小于實長，且不反映對投影面的傾角均小于實長，且不反映對投影面的傾角 、 、 。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎XZYO正平線正平線 平行于正面投影面的直線平行于正面投影面的直線Xab baOZYHYW 投影特性：投影特性：（1 1）在其平行的投影面上：）在其平行的投影面上：a b =AB，反映反映 、 角的真實大小角的真實大小。（。（2）另兩投影面上：另兩投影面上：ab OX

25、 ; a b OZ 。 2. 2. 投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性abaababbAB上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎XZYO側平線側平線 平行于側面投影面的直線平行于側面投影面的直線XZOYHYWa b ba投影特性：投影特性：（1 1）在其平行的投影面上：）在其平行的投影面上：a b =AB，反映反映 、 角的真實大小角的真實大小。（。（2）另兩投影面上：另兩投影面上：a b OZ ; ab OYH。baaa b a bbAB上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程

26、程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎 水平線水平線 平行于水平投影面的直線平行于水平投影面的直線XZYOaababb Xa b ab OZYHYWAB投影特性：投影特性：（1 1）在其平行的投影面上：）在其平行的投影面上：ab=AB，反映反映 、 角角的真實大小的真實大小。（。（2）另兩投影面上：另兩投影面上：a b OX ; a b OYW 。ba上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎 投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性(1)(1)直線在所平行的投影面上的投影直線在所平

27、行的投影面上的投影, ,反映其實長和反映其實長和直線對另外兩個投影面的傾角（具有實形性）。直線對另外兩個投影面的傾角（具有實形性）。(2)(2)直線在另外兩個投影面上的投影分別平行于相直線在另外兩個投影面上的投影分別平行于相應的投影軸應的投影軸, ,且小于實長（具有類似性）。且小于實長（具有類似性）。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎正垂線正垂線 垂直于正面投影面的直線垂直于正面投影面的直線OXZY投影特性：投影特性：（1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上：a b 積聚積聚 成一點。成一點。（2

28、）另兩面投影上：）另兩面投影上： ab = a b =AB ;ab OX ; a b OZ。ZX（a）b baOYHYWabb(a)babaAB3. 3. 投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎側垂線側垂線 垂直于側面投影面的直線垂直于側面投影面的直線OXZYZXa(b)baOYHYWab投影特性：投影特性：（1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上： a b 積聚積聚 成一點。成一點。（2）另兩面投影上：）另兩面投影上： ab = a b =AB ;ab O

29、YH ; a b OZ 。a(b)baabAB上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎OXZYZb Xa b a(b)OYHYWa 鉛垂線鉛垂線 垂直于水平投影面的直線垂直于水平投影面的直線ABb a(b)a ab投影特性：投影特性：（1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上： a b積聚成一點。積聚成一點。（2）另兩面投影上：）另兩面投影上： a b = a b =AB ; a bOX ; a b OY 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基

30、基基基基 礎礎礎礎礎礎投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性 （1 1）直線在其所垂直的投影面上的投影積聚成一）直線在其所垂直的投影面上的投影積聚成一點（積聚性）。點（積聚性）。（2 2）直線在另外兩個投影面上的投影分別垂直于）直線在另外兩個投影面上的投影分別垂直于相應的投影軸相應的投影軸, ,且反映直線的實長（實形性）。且反映直線的實長（實形性）。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎1.1.從屬性從屬性：若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。：若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各

31、同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。2.3.3 2.3.3 點在直線上的投影特性點在直線上的投影特性Ccc cYHYW2.2.定比性定比性：屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即：屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎例例3 已知點已知點K在線段在線段AB上，已知其水平投影，求其正面投影

32、。上，已知其水平投影，求其正面投影。kbak解法一：解法一：（利用（利用“從屬性從屬性”，引入第三投影），引入第三投影）解法二：解法二：（利用點分線段成定比）（利用點分線段成定比）aa b bka b k k aa b bkk XOXO上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎 直線的跡點直線的跡點m mnn XO 直線與投影面的交點稱為跡點。它是屬于直線上的直線與投影面的交點稱為跡點。它是屬于直線上的特殊點，既是直線上的點又是投影面上的點。特殊點，既是直線上的點又是投影面上的點。XAb aa m N n bBM

33、 mnOVHa b ba上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎2.3.4 2.3.4 一般位置線段的實長及對投影面的傾角一般位置線段的實長及對投影面的傾角 ABbb aa CXO |zA-zB| 過過A A作作ACabACab得直角三角形得直角三角形ABCABC，其中，其中AC=AC=abab，BC=Bb-BC=Bb-AaAa= =z zB B-z-zA A，斜邊，斜邊ABAB即為實長，即為實長，ABAB與與ACAC的夾角即為的夾角即為ABAB對對H H面的傾面的傾角角，這種方法稱為直角三角形法。，這種方法稱

34、為直角三角形法。 |zB-zA |ABXa ab b AB|zB-zA|abO上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎作圖要領作圖要領 用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對于該投影面的坐標差作為另一條直角以線段的兩端點相對于該投影面的坐標差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。 |zA-zB

35、|ABXa ab b AB|zA-zB|abO上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎直角三角形直角三角形的四個要素的四個要素 四個要素包括：實長、投影長、坐標差及直線對投影面四個要素包括：實長、投影長、坐標差及直線對投影面的傾角。的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。 ABab|zA-zB|斜邊斜邊直角邊（投影）直角邊（投影）直角邊（坐標差）直角邊（坐標差）夾角（投影與斜邊）夾角（投影與斜邊）實長實長 水平投影水平投影 Z 正面投影正面投影Y 側面投影側面

36、投影X上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎 例例4 4 已知已知 線段的實長線段的實長ABAB以及以及abab和和a a，求它的正面投影，求它的正面投影a ab b。aXa bAOBb0bb0bb0b b 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎 若空間兩直線互相平行，其各組同面投影必平行。反之，若空間兩直線互相平行，其各組同面投影必平行。反之，若兩直線的各組同面投影都互相平行，則空間兩直線必平行。若兩直線的各組同面投影都互

37、相平行，則空間兩直線必平行。 1.1.平行兩直線平行兩直線XObaabdcdcXbaadbbccABCD2.3.5 2.3.5 兩直線的相對位置兩直線的相對位置O上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎 對于一般位置直線，只對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行?？臻g兩直線就平行。AB與與CD平行。平行。a b c d abcdc a b d AB與與CD不平行。不平行。 對于特殊位置直線，只對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空有兩組同名投影互相平行，

38、空間直線不一定平行。間直線不一定平行。cbadd b a c b d c a 例例5 5 判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎2.2.相交兩直線相交兩直線 兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點符兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點符合點的投影規(guī)律。合點的投影規(guī)律。 反之，若兩直線在同一投影面上的投影反之，若兩直線在同一投影面上的投影相交，且交點符合點的投影規(guī)律，則該兩直線相交。相交，且交點符合點的投影規(guī)律，則該兩直線相交。XBDACKbba

39、accddkkOdObXaabkcdck上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎3.3.交叉兩直線交叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 XOBDACbb aa c cdd 211 (2 )21b Xa abc d dc11 (2 )2O上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎dcaboYWYHZXaacddcbb例例6 6 判斷兩直線的相對位置判斷兩直線的相對位置2 應

40、用定比定理應用定比定理1 利用側面投影利用側面投影如何判如何判斷呢？斷呢？結論：兩直線交叉結論：兩直線交叉m m上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎2.3.6 2.3.6 直角投影定理直角投影定理AHBCacbcXb a c ba 互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時，互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時，則兩直線在投影面上的投影必定互相垂直。則兩直線在投影面上的投影必定互相垂直。 反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中一條直線反之，若兩直線在某一投影面上的投影

41、成直角，且其中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定垂直平行于該投影面時，則空間兩直線一定垂直。O上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎. .垂直相交的兩直線的投影垂直相交的兩直線的投影BHACbcacXa b c ab已知：已知：ABH面，面，ABBC，求證：，求證：abc=90證明：證明： ABH面面 ABBb 又又ABBC AB平面平面BbcC 又又ABab ab平面平面BbcC abbc， 即即:abc=ABC=90 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖

42、圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎2. 2. 交叉垂直的兩直線的投影交叉垂直的兩直線的投影BHACcbaMNnmXb a bamnn m AB AC, 且且ABH面面, 則有則有ab ac上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎bb a aOfe ef X例例7 7 過點過點A A 作作EF EF 線段的垂線線段的垂線ABAB。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎例例8 8 求點求點E E 到水平線到水平線AB A

43、B 的距離。的距離。XOababeeddyD-yE所求距離所求距離上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎例例9 作三角形作三角形ABC， ABC為直角，使為直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。b bcABa b |yA-yB|b c =BCnm a aXmn Oc 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法不在同一直不在同一直線上

44、的三點線上的三點直線及線直線及線外一點外一點cba b ac dd 兩條平行兩條平行直線直線abca b c 兩條相交兩條相交直線直線任意平面任意平面圖形圖形c abca b caba b c baca b c 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎1.4.2 1.4.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性投影面平行面投影面平行面投影面垂直面投影面垂直面正平面（正平面（ V， H; W）側平面（側平面（ W， H; V）水平面（水平面（ H， V; W）正垂面（正垂面（ V面，面，對對H H、W W

45、傾斜傾斜）側垂面（側垂面（ W面，對面，對H H、V V 傾斜傾斜）鉛垂面（鉛垂面（ H面，對面，對V V、W W 傾斜傾斜） 一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面與三個投影面與三個投影面都傾斜的平面都傾斜的平面平行于一個投影面，平行于一個投影面，與其它兩個投影面與其它兩個投影面垂直的平面垂直的平面垂直于一個投影面，垂直于一個投影面，與其它兩個投影面與其它兩個投影面傾斜的平面傾斜的平面投影面傾斜面投影面傾斜面上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎1.1.一般位置平面一般位置平面abbaccbac投

46、影特性：投影特性：三面投影均為小于實形的類似形。且不反映該平三面投影均為小于實形的類似形。且不反映該平面對投影面的傾角面對投影面的傾角 、 、 。abcbacabcCAB上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎 正平面正平面投影特性：投影特性：（1） 在其平行的投影面上：在其平行的投影面上：a b c 反映反映 ABC實形實形。（。（2）另兩個投影面上：）另兩個投影面上： abc 、 a b c 積聚為直線積聚為直線，并平行相應的投影軸。，并平行相應的投影軸。cabbacbcaVWHbacbcaabcCBA2.

47、 2. 投影面平行面投影面平行面上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎VWHabcbacabc水平面水平面cabbbaacc投影特性：投影特性：（1） 在其平行的投影面上：在其平行的投影面上：abc反映反映 ABC實形實形。（。（2）另兩個投影面上：）另兩個投影面上： a b c 、 a b c 積聚為直積聚為直線線，并平行相應的投影軸。，并平行相應的投影軸。CAB上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎cabbbacca側平

48、面?zhèn)绕矫鎂WHbcbacabcaCAB投影特性：投影特性：（1） 在其平行的投影面上：在其平行的投影面上： a b c 反映反映 ABC實實形形。（。（2）另兩個投影面上：）另兩個投影面上： abc、 a b c 積聚為直積聚為直線線，并平行相應的投影軸。，并平行相應的投影軸。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性（1 1）在平面所平行的投影面上，其投影反映在平面所平行的投影面上，其投影反映實形實形 。（2 2）在另外兩個投影面上，平面的投影積聚在另外兩個投影面上，

49、平面的投影積聚成直線成直線 ，并平行于相應的投影軸。，并平行于相應的投影軸。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎正垂面正垂面 a b a b bac c cXOZYHYWVWH a b c ABCacbb c a 投影特性投影特性： （ 1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上： a b c 積聚為直線積聚為直線 ， a b c 與與OXOX、 OZOZ的夾角的夾角反映反映、 。（ 2）在另外兩）在另外兩個投影面上：個投影面上： abc 、 a b c 為為 ABC的類似形的類似形。3. 3. 投影面垂

50、直面投影面垂直面上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎鉛垂面鉛垂面投影特性投影特性： （ 1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上： abc積聚為直線積聚為直線 ，abcabc與與OXOX、 OYOY的夾角的夾角反映反映 、 。（。（ 2）在另外兩個投）在另外兩個投影面上：影面上： a b c 、 a b c 為為 ABC的類似形的類似形。VWHABCacbabcb c a acaccabbbXOZYHYW上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基 礎礎礎礎礎礎側垂面?zhèn)却姑鎍 b b baa cc c XOZYHYWVWHb c a Cb c a ABacb投影特性投影特性： （ 1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上： a b c積聚為直線積聚為直線 ， a a b b c c 與與OZOZ、 OYOY的夾角的夾角反映反映、。 （ 2）在另外）在另外兩個投影面上：兩個投影面上： abc、 a b c 為為 ABC的類似形的類似形。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 工工工工工工 程程程程程程 圖圖圖圖圖圖 學學學學學學 基基基基基基