1、第三章第三章 復變函數的積分復變函數的積分1 復積分的概念復積分的概念2 柯西積分定理柯西積分定理(復合閉路定理復合閉路定理)3 柯西積分公式柯西積分公式4 高階求導公式高階求導公式5 幾個重要定理幾個重要定理3.1 復積分的概念復積分的概念一、有向曲線一、有向曲線 規定了起點和終點的光滑曲線或分段光滑曲線稱為有向曲線. 對于曲線C，若規定端點 A 為起點、B為終點，則把從A到B的方向稱為曲線C的正向，從B到A的方向稱為負向并記為 .C 若曲線是簡單閉曲線若曲線是簡單閉曲線，通常規定逆時針方向為正向，順時針方向為負向，若閉曲線作為某區域的若閉曲線作為某區域的邊界邊界，規定其正向為：當點沿閉曲線

2、前進時，鄰近點的區域總在閉曲線左側.顯然，區域外邊界正向是逆時針方向，區域內邊界正向是順時針方向.積分的定義：積分的定義： x y 0za 1kz kz k nzb 圖 3 .1 111()()()nnkkkknkkksfzzfznkkknczfdzzf10)(lim)(若C為閉曲線，則沿C的積分為 ，若C為 x 軸上區間，此時 ，該定義即為定積分定義. Cdzzf)()()(xfzfA1z2z1 kzkzk 1 nzB說明：說明： (1) 當當 是連續函數，且是連續函數，且L是光滑曲是光滑曲線時，積分線時，積分 一定存在；一定存在； (2) 可以通過兩個二元實變函可以通過兩個二元實變函數的線

3、積分來計算數的線積分來計算.( )d(i )(did )ddi( dd )f zzuxyu xyxu yvvv( )fz( )dLf zz( )dCfzz（與實函數中二元線積分類比與實函數中二元線積分類比）線積分線積分復積分復積分,ccF x yM x y iN x y jdrdxidyjF drMdxNdy ,ccf zu x yiv x yzxiy dzdxidyf z dzuivdxidyccudxvdyivdxudy ,F x ty trt dt ,f x ty tz t dt xx ttyy t 一個復積分的實質是一個復積分的實質是兩個實二元線積分兩個實二元線積分 ,A xy ,B

4、xydxdycdrdz典型實例典型實例 公式提供了一種復積分的計算方法，即把復積分的計公式提供了一種復積分的計算方法，即把復積分的計算轉化為兩個二元實函數的曲線積分當曲線積分的積分算轉化為兩個二元實函數的曲線積分當曲線積分的積分路徑路徑C由參數方程給出時，復積分又可以轉化為單變量的由參數方程給出時，復積分又可以轉化為單變量的定積分定積分 例例 計算計算 ，其中，其中C為從原點到點為從原點到點3+4i的直線段的直線段 dCzz【解】【解】 直線的方程可寫成直線的方程可寫成 或或 于是于是 3 ,4 , 01xt ytt ( ) 3i4 , 01z tttt 11222001d(3 4i) d(3

5、 4i)d(3 4i)2Cz zt tt t例題3 0I(Z),()nCdznzz計算積分0:0rzzC解： 0:(02 ),iCzzreidzire d20)(Iniiredire21101i nniedr0,1,2,1.ni n例如 1zzdz,2 i 這個結果以后經常要用到，它的特點是這個結果以后經常要用到，它的特點是與積分路與積分路線圓周的中心和半徑無關線圓周的中心和半徑無關，應記住。，應記住。復積分的性質復積分的性質 ：上連續在逐段光滑的有向曲線、設Czgzf)()(1 線性性： CCCdzzgbdzzfadzzbgzaf)()()()()(為常數、baCC2 設為 的逆向曲線，則(

6、 )( )CCf z dzf z dz 12123,CCCf z dzf z dzf z dzCCC4( )( )( )CCCf z dzf zdzf z ds( )( ),f zCf zM LC(若在 上有界：為 的長度.)ML 3.2 柯西積分定理柯西積分定理定理定理1（柯西（柯西古薩基本定理）古薩基本定理） 如果函數 f (z)在單連通域D內處處解析, 則它在D內任何一條封閉曲線 C 的積分為零:( )d0.Cf zz 注注1：定理中的曲線C可以不是簡單曲線. 此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區域D。 注注2：如果曲線C是D的邊界, 函數 f (z)在D內與C上解析, 即在閉區域 D+

7、C上解析, 甚至 f (z)在D內解析, 在閉區域D+C 上連續, 則 f (z)在邊界上的積分仍然有( )d0.Cf zz 二、原函數與不定積分二、原函數與不定積分推論：如果函數 f (z)在單連通域D內處處解析, C屬于D， f z dzc則與路徑無關僅與起點和終點有關。其中C： 。01zz于是 0zCCzf z dzfdfd 0zzF zfd 變上限積分。定理定理2 如果函數 f (z)在單連通域D內處處解析, 則 在D內也是解析的，且 。 F z Fzf z 0zzF zfd 變上限積分。證明： 001zzzzzF zzF zfdfdzz 1zzzfdz 1zzzff zdz 11zz

8、zzzzF zzF zf zfdf z dzzz 1zzzF zzF zf zff zdzz 1zzzff zdz因f(z)在D內解析，故f(z)在D內連續 0,0,zff z 使當時，有特別地 110010.zzzzfdF zF zF z例如：23331133z dzz注：以上討論中D為單連通域。解析函數的導數仍為解析函數解析函數的導數仍為解析函數內解析，在區域azDazzf01)(0211idzazaz這里D為復連通域。可將柯西積分定理推廣到多連通域的情況定理定理2 假設C及C1為任意兩條簡單閉曲線, C1在C內部,設函數 f (z)在C及C1所圍的二連域D內解析, 在邊界上連續，則 1.

9、CCf z dzf z dzC1CDAB證明：取1CAB CBA 1CABCBA10CC11CCC 這說明解析函數沿簡單閉曲線積分不因閉曲線在區域內作連續變形而改變它的值。 -閉路變形原理閉路變形原理推論（復合閉路定理）：推論（復合閉路定理）：為簡單閉曲線設nCCC,21(互不包含且互不相交)， 的簡單閉曲線，為包含nCCCC,21nCCCCD21為由邊界曲線所圍成的多連通區域， 內解析，在Dzf)(則上連續在,DD0)(dzzf1( )( ).inCCif z dzf z dz或CiCD 從以上例子可以看出，復合閉路定理可以把沿任意簡單閉曲線上的積分化為以所圍奇點為中心的圓周上的積分，也就是

10、說，閉曲線任意變形，只要在變形過程中不經過函數f(z)的奇點，則不會改變解析函數沿閉曲線的積分值，這種性質稱為閉路變形原理。 3.3 柯西積分公式柯西積分公式0,zD設若 f (z) 在D內解析，則000( )( )ddCz zf zf zzzzzzz閉路變形原理DC0z 00f zf z 00001()d2().z zf zzif zzz分析：分析：.定理定理 (柯西積分公式) 如果 f (z)在區域D內處處解析, C為D內的任何一條正向簡單閉曲線, 它的內部完全含于D, z0為C內的任一點, 則001( )()d .2Cf zf zzizz 12Cfor f zdiz-解析函數可用復積分表

11、示。 證 由于f (z)在 z0連續, 任給 0, 存在 () 0, 當 |zz0| 時, | f (z)f (z0)| . 設以 z0為中心, R 為半徑的圓周K : |zz0|=R全部在C的內部, 且R .DCKzz0R00( )( )ddCKf zf zzzzzzz0000()( )()ddKKf zf zf zzzzzzz000( )()2()dKf zf zif zzzz00( )()dKf zf zzzzd2.KsR00|( )()|d|Kf zf zszz 002Cf zdzif zzz根據閉路變形原理, 該積分的值與R無關, 所以只有在對所有的R 積分值為零才有可能。推論推論1

12、 如果C是圓周z=z0+Rei, 則柯西積分公式成為2000(e )1()e d2eiiif zRf ziRiR2001(e )d2if zR0Reif z- 一個解析函數在圓心處的值等于 它在圓周上的平均值.推論2 設 f (z)在二連域 D內解析，在邊界上連續，則 100012CCf zf zf zdzdzizzzz0.zDD0zC1C 3.4 解析函數的高階導數解析函數的高階導數 一個解析函數不僅有一階導數, 而且有各高階導數, 它的值也可用函數在邊界上的值通過積分來表示. 這一點和實變函數完全不同. 一個實變函數在某一區間上可導, 它的導數在這區間上是否連續也不一定,更不要說它有高階導

13、數存在了.定理定理 解析函數f(z)的導數仍為解析函數, 它的n階導數為:( )010!( )()d(1,2,)2()nnCnf zfzznizz 其中C為在函數 f (z)的解析區域D內圍繞 z0的任何一條正向簡單曲線, 而且它的內部全含于D.證 設z0為D內任意一點, 先證n=1的情形, 即 因此就是要證0000( )()()lim,zf zzf zfzz按定義0.z 在時也趨向于零0201( )()d2()Cf zfzzizz0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz按柯西積分公式有001( )()d .2Cf zf zzizz001( )( )d2Cf zf z

14、zzizzz0000( )()1( )d2()( )Cf zzf zf zzzizzzzz因此0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz20001( )1( )dd2()2()( )CCf zf zzzizzizzzzz2001( )d2() ( )Czf zzIizzzzz現要證當z0時I0, 而2001( )d|2() ( )Czf zzIzzzzz2001| |( )|d2| | |Czf zszzzzz f (z)在C上連續, 則有界, 設界為M, 則在C上有| f (z) | M. d為 z0 到C上各點的最短距離, 則取 |z| 適當地小使其滿足 |z| 1

15、.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225解 1) 函數 在C內的z=1處不解析, 但cosz在C內卻是處處解析的. 5)1(coszz.12)(cos)!15(2d)1(cos51)4(5|izizzzzC222)(1)zCedzz 12CCC2C1C12CC212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2 i0( )RRf zCzzRC在內解析，在上連續，則)(max(!)(0)(zfMRnMzfRCnnCauchy不等式： 證明：RCnndzzzzfinzf100)()()(2!)(RCnndzzzzfnzf100)()(2!)(nnRnMRRMn!22!1注1：解析函數的導數模的估計與區域的大小有關；注2： )(max)(00zfMzfnRCLiouville定理：全平面的有界解析函數必為常數。證明：對復平面上任一點z ， RRCzRCint, ,)()(21)(2RCdzfizfMf)(RCdzfzf2)(21)(0)(0)(222RzRRM0)(zf.)(constzf( )Re