計(jì)算方法總復(fù)習(xí)20111130_第1頁
計(jì)算方法總復(fù)習(xí)20111130_第2頁
計(jì)算方法總復(fù)習(xí)20111130_第3頁
計(jì)算方法總復(fù)習(xí)20111130_第4頁
計(jì)算方法總復(fù)習(xí)20111130_第5頁
已閱讀5頁,還剩20頁未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

1、計(jì)算方法復(fù)習(xí)一、 期末考試試題期末考試主要考核:l 基本概念;l 基本原理;l 基本運(yùn)算。必須帶簡(jiǎn)易計(jì)算器。總成績(jī)=平時(shí)成績(jī)*30%+期末成績(jī)*70%二、 考核知識(shí)點(diǎn)、復(fù)習(xí)要求1 誤差(一) 考核知識(shí)點(diǎn)l 誤差的來源類型;l 絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限,相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限,有效數(shù)字;l 絕對(duì)誤差的傳播。 (二) 復(fù)習(xí)要求1. 產(chǎn)生誤差的主要來源。2. 了解絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限和有效數(shù)字等概念以及它們之間的關(guān)系。2 方程求根(一) 考核知識(shí)點(diǎn)二分法;迭代法;牛頓法;弦截法。(二) 復(fù)習(xí)要求1. 知道有根區(qū)間概念,和方程f(x)=0在區(qū)間 (a,b)有根的充分條件。2. 掌握方程

2、求根的二分法,知道其收斂性;掌握二分法迭代次數(shù)公式;掌握迭代法,知道其收斂性。3. 熟練掌握牛頓法。掌握初始值的選擇條件。4. 收斂階和收斂速度3 線性方程組的數(shù)值解法(一) 考核知識(shí)點(diǎn)高斯順序消去法,列主元消去法,LU分解法;消去法消元能進(jìn)行到底的條件;雅可比迭代法,高斯賽德爾迭代法。(二) 復(fù)習(xí)要求1. 掌握線性方程組雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法。2. 知道高斯消去法的基本思想,熟練掌握高斯順序消去法和列主元消去法。3. 知道解線性方程組的高斯消去法消元能進(jìn)行到底的條件,迭代解收斂性的充分條件。4. Cond(A)的概念和性質(zhì)4 函數(shù)插值與最小二乘法(一) 考核知識(shí)點(diǎn)l 插值函數(shù),插值多

3、項(xiàng)式;l 拉格朗日插值多項(xiàng)式;插值基函數(shù);l 牛頓插值多項(xiàng)式;差商表;l 分段線性插值、線性插值基函數(shù) (二) 復(fù)習(xí)要求1. 了解插值函數(shù),插值節(jié)點(diǎn)等概念。2. 熟練掌握拉格朗日插值多項(xiàng)式的公式,知道拉格朗日插值多項(xiàng)式余項(xiàng)。3. 掌握牛頓插值多項(xiàng)式的公式,掌握差商表的計(jì)算,知道牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。4. 掌握分段線性插值的方法和線性插值基函數(shù)的構(gòu)造。6. 了解曲線擬合最小二乘法的意義和推導(dǎo)過程,掌握法方程組的求法,以及線性擬合和二次多項(xiàng)式擬合的方法。5 數(shù)值積分與微分(一) 考核知識(shí)點(diǎn)l 數(shù)值求積公式,求積節(jié)點(diǎn),求積系數(shù),代數(shù)精度;l 插值型求積公式,牛頓科特茨求積公式,科特茨系數(shù)及其性質(zhì),l

4、 (復(fù)化)梯形求積公式,(復(fù)化)拋物線求積公式;l 高斯型求積公式,高斯點(diǎn),(二點(diǎn)、三點(diǎn))高斯勒讓德求積公式; (二) 復(fù)習(xí)要求1. 了解數(shù)值積分和代數(shù)精度等基本概念。2. 了解牛頓¾科茨求積公式和科茨系數(shù)的性質(zhì)。熟練掌握并推導(dǎo)(復(fù)化)梯形求積公式和(復(fù)化)拋物線求積公式。3. 知道高斯求積公式和高斯點(diǎn)概念。會(huì)用高斯¾勒讓德求積公式求定積分的近似值。4. 知道插值型求導(dǎo)公式概念,掌握兩點(diǎn)求導(dǎo)公式和三點(diǎn)求導(dǎo)公式。6 常微分方程的數(shù)值解法(一) 考核知識(shí)點(diǎn)歐拉公式,梯形公式,改進(jìn)歐拉法,局部截?cái)嗾`差;龍格庫塔法,局部截?cái)嗾`差。(二) 復(fù)習(xí)要求1. 掌握歐拉法和改進(jìn)的歐拉法(梯形

5、公式、預(yù)報(bào)校正公式和平均形式 公式),知道其局部截?cái)嗾`差。2. 知道龍格¾庫塔法的基本思想。知道二階、三階龍格¾庫塔法。掌握四階龍格庫塔法,知道龍格¾庫塔法的局部截?cái)嗾`差。三、重、難點(diǎn)分析例1 證明計(jì)算的牛頓切線法迭代公式為:并用它求的近似值(求出即可)解 (1) 因計(jì)算等于求正根,代入牛頓法迭代公式得 (2) 設(shè),因 所以 選用上面導(dǎo)出的迭代公式計(jì)算得 例2 用迭代法求的最小正根(求出即可)。解 (1)用迭代法因,故在上將,同解變形為 則 取 應(yīng)用迭代公式 ,計(jì)算得 例3 用列主元消元法的方程組 注意:每次消元時(shí)主元的選取是各列中系數(shù)最大的。解 第1列主元為3,

6、交換第1、2方程位置后消元得, 第2列主,元為交換第2、3方程位置后消元得 回代解得 例4 將矩陣A進(jìn)行三角分解(Doolittle分解,Crout分解,LDU分解) 其中說明:一般進(jìn)行矩陣的三角分解采用緊湊格式。即應(yīng)用矩陣乘法和矩陣相等原則進(jìn)行矩陣的三角分解(或代入公式求得相應(yīng)元素)。在分解時(shí)注意矩陣乘法、矩陣求逆等代數(shù)運(yùn)算。 解: 則矩陣的Doolittle分解為 因?yàn)閷?duì)角陣,則所以矩陣的LDU分解為 矩陣的Crout分解為例5 用LU分解求解方程組 注意:消元過程是解方程組,和回代過程是解方程組。解:(1)將矩陣進(jìn)行三角分解,由上例得: 矩陣的三角分解為 (2)解方程組(3)解方程組 所

7、以 例6 已知向量X=(1,-2,3),求向量X的三種常用范數(shù)。 解 , 例7 證明 證明 因?yàn)?所以 例8 已知矩陣,求矩陣A的三種常用范數(shù)。解 ,例9 已知方程組(1)寫出解此方程組的雅可比法迭代公式(2)證明當(dāng)時(shí),雅可比迭代法收斂(3)取,,求出。解 (1)對(duì),從第個(gè)方程解出,得雅可比法迭代公式為:(2)當(dāng)時(shí),A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,所以雅可比迭代法收斂。(3)取, 由迭代公式計(jì)算得 , , , , 則 =(, ,)例10 用高斯塞德爾迭代法解方程組 (1)證明高斯塞德爾迭代法收斂(2)寫出高斯塞德爾法迭代公式(3)取,求出解 (1)因?yàn)锳為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,故高斯塞德爾迭代收斂。(2)對(duì)

8、,從第個(gè)方程解出,得高斯塞德爾法迭代公式為(3) , , , , 則=(, ,)例11 已知用線性插值計(jì)算,并估計(jì)誤差。解 取插值節(jié)點(diǎn)x0= 4,x1= 9,兩個(gè)插值基函數(shù)分別為 故有 誤差為 例12 已知函數(shù)數(shù)數(shù)值表 1 2 3 1 3 7用拋物插值法求近似值。解 作差商表:一階差商二階差商112323741 代入牛頓插值多項(xiàng)式得: 故 例13 已知的函數(shù)表 x012y8-7.5-18 求在0,2內(nèi)的零點(diǎn)近似值。解 因?yàn)閥i關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)減少,用反插值法求f(x) 零點(diǎn)的近似值比較簡(jiǎn)單,具體作法如下:先作反函數(shù)表 x8-7.5-18y012將節(jié)點(diǎn)x0=8,x1=-7.5,x2=-18及對(duì)應(yīng)函

9、數(shù)值y0=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多項(xiàng)式(2.2),再令x=0,得 于使得f(x)在0,2內(nèi)零點(diǎn)值得注意的是,只有所給函數(shù)(或函數(shù)表)在a,b上嚴(yán)格單調(diào)情況下,才能使用反插值方法,否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)果。例14 已知數(shù)表:1233.87.210利用最小二乘求線性關(guān)系式。解 設(shè)最小一次式為,由系數(shù)公式得: 于是有法方程組 解法方程組得 所以最小二乘一次式 例15 求下列矛盾方程組的最小二乘解。解 令 由 得法方程組 解得 所以最小二乘解為 例16 已知插值基函數(shù),證明 :當(dāng)時(shí),證明: 令 , 則有 因?yàn)椋浴@?7 在區(qū)間上,求以為節(jié)點(diǎn)的內(nèi)插求積公式。解: 由系數(shù)計(jì)算公式得 所

10、以求積公式為例18 求積公式的代數(shù)精確度為( )。 解 由于此公式為3個(gè)節(jié)點(diǎn)的內(nèi)插求積公式,代數(shù)精度至少為2。 令,代入內(nèi)插求積公式得l 左邊=,右邊, 所以 左邊=右邊l 再令,代入內(nèi)插求積公式得 左邊=,右邊= 所以 左邊右邊所以此公式具有3次代數(shù)精度。例19 用梯形公式和的復(fù)化梯形公式求積分,并估計(jì)誤差。解 (1) 梯形公式 因?yàn)?,代入梯形公式得 則 (2) 復(fù)化梯形公式 因?yàn)?和復(fù)化梯形公式得 因?yàn)?, , 所以 例20 用辛卜生公式和復(fù)化辛卜生公式計(jì)算 積分 ,使誤差小于解 (1)辛卜生公式 因?yàn)椋胄敛飞降?4(2)復(fù)化辛卜生公式 因?yàn)榻獠坏仁?得 ,用,復(fù)化辛卜生公式計(jì)算

11、得 例21 設(shè)為內(nèi)插求積公式系數(shù)求證: 證明: 設(shè) ,因?yàn)?所以 例22 用歐拉法,預(yù)估校正法求一階微分方程初值問題,在(0.1)0.2近似解解 (1)用歐拉法計(jì)算公式,計(jì)算得 (2)用預(yù)估校正法計(jì)算公式計(jì)算得 ,得 分評(píng)卷人解答內(nèi)容不得超過裝訂線一. 填空題 (每小題 4分,共 28份) 1已知矩陣 ,則 。2 若用正邊形的面積作為其外接圓面積的近似值,則該近似值的相對(duì)誤差是 。3三次方程的牛頓迭代格式是 。4若求解某線性方程組有迭代公式,其中,則該迭代公式收斂的充要條件是 。5設(shè),則滿足條件的二次插值公式 。6已知求積公式至少具0次代數(shù)精度,則 。7改進(jìn)的Euler方法應(yīng)用于初值問題的數(shù)值

12、解 。得 分評(píng)卷人二. (10分) 為數(shù)值求得方程的正根,可建立如下迭代格式,試?yán)玫ǖ氖諗坷碚撟C明該迭代序列收斂,且滿足.得 分評(píng)卷人三. (20分) 給定線性方程組(1)試用Gauss消去法求解其方程組; (2) 給出求解其方程組的Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式,并說明其二種迭代格式的收斂性。得 分評(píng)卷人解答內(nèi)容不得超過裝訂線四. (12分) 已知y=的函數(shù)表1.51.61.70.997490.999570.99166試造出差商表,利用二次Newton插值公式計(jì)算(保留5位有效數(shù)字),并給出其誤差估計(jì)。得 分評(píng)卷人五. (14分) 用Romberg算法計(jì)算積分

13、(精確到)。得 分評(píng)卷人六. (16分) 給出線性-方法,(1) 計(jì)算其方法的截?cái)嗾`差;(2) 當(dāng)=?時(shí),其方法為2階相容;(3) 當(dāng)該方法應(yīng)用于初值問題時(shí)(其中為實(shí)常數(shù)),其在處的數(shù)值解得 分評(píng)卷人解答內(nèi)容不得超過裝訂線七. 填空題 (每小題 4分,共 28份) 1已知矩陣 ,則 。2 若用正邊形的面積作為其內(nèi)接圓面積的近似值,則該近似值的相對(duì)誤差是 。3方程的牛頓迭代格式是 。4若求解某線性方程組有迭代公式,其中,則該迭代公式收斂的充要條件是 。5設(shè),則滿足條件的二次插值公式 。6已知求積公式至少具1次代數(shù)精度,則 。7隱式中點(diǎn)方法應(yīng)用于初值問題的數(shù)值解 。得 分評(píng)卷人八. (10分) 證

14、明:對(duì)任何初值,由迭代公式所生成的序列均收斂于方程的根。得 分評(píng)卷人九. (20分) 給定線性方程組(1)試用Gauss消去法求解其方程組; (2) 給出求解其方程組的Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式,并說明其二種迭代格式的收斂性。得 分評(píng)卷人解答內(nèi)容不得超過裝訂線十. (12分) 已知,插值節(jié)點(diǎn)試構(gòu)造Lagrange插值公式計(jì)算的近似值(保留4位有效數(shù)字),并給出其實(shí)際誤差。得 分評(píng)卷人十一. (14分) 用Romberg算法計(jì)算積分(精確到)。得 分評(píng)卷人十二. (16分) 給出單支-方法,(4) 計(jì)算其方法的截?cái)嗾`差;(5) 當(dāng)=?時(shí),其方法為2階相容;(6) 當(dāng)

15、該方法應(yīng)用于初值問題時(shí)(其中為實(shí)常數(shù)),其在處的數(shù)值解一. 填空題(每空3分,共18分)1. 已知矩陣,則 = 。2. 方程的Newton迭代格式為 。3. 已知 ,且可分解為,其中為對(duì)角線上元素全等于1的下三角矩陣,則 。 4. 已知且,則其拉格朗日插值余項(xiàng)滿足估計(jì)式 。5. 已知求積公式 ,則 。6. 解常微分方程初值問題的梯形公式 是 階方法。二. (10分) 試導(dǎo)出計(jì)算的Newton迭代公式,并由此公式計(jì)算,要求精確到。三. (12分) 給定線性方程組 分別寫出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式;并考察迭代格式的收斂性。 四. (15分) 利用余弦函數(shù)在處的值導(dǎo)出其二次La

16、grange插值多項(xiàng)式, 并以此近似計(jì)算,且給出該近似值的相對(duì)誤差。五. (15分) 某學(xué)生在大學(xué)一、二年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績(jī)?nèi)缦拢簩W(xué)期 1234平均成績(jī)63.270.576.678.4試求出一條最佳的直線以反映其平均成績(jī)的上升趨勢(shì),并估計(jì)出他在大學(xué)三、四年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績(jī)。六. (15分) 用Romberg算法計(jì)算 (步長從1逐步減半到)。七. (15分) 試導(dǎo)出求解初值問題的2步3階公式 ,并給出其絕對(duì)穩(wěn)定域。一. (20分)1. 用簡(jiǎn)單迭代法求方程 在附近的具有4位有效數(shù)字的近似根,并證明收斂性。2. 試導(dǎo)出計(jì)算的Newton迭代公式,使公式中既無開方,又無除法運(yùn)算。二.(10分)

17、1. 給定線性方程組 分別寫出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式;并考察迭代格式的收斂性。三.(15分) 設(shè)有線性代數(shù)方程組,其中,。1. 用列選主元Gauss消去法求解此方程組。2. 用LU分解法求解此方程組。四.(15分) 1. 用二次Lagrange插值公式利用100,121,144的開方求;2. 已知函數(shù)表 ,求其插值多項(xiàng)式,并寫出誤差估計(jì)式。五.(10分) 已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 試用最小二乘法求出擬合直線。六. (15分) 1.確定下列公式中的待定系數(shù),使其代數(shù)精度盡可能的高,并指出所構(gòu)造公式具有幾次代數(shù)精度。2. 用Romberg算法求 (步長從1取到)。七.(15分) 1.

18、用改進(jìn)Euler法求解初值問題,取,2. 試導(dǎo)出求解的下列公式 ,并求出局部截?cái)嗾`差首項(xiàng)。得 分評(píng)卷人一. 填空題(每空3分,共30分)1. 數(shù)值穩(wěn)定的算法是指: 。2. 方程的一個(gè)有根區(qū)間為: ,可構(gòu)造出它的一個(gè)收斂的迭代格式為: 。3. 解方程的Newton迭代公式為 ,Newton迭代法對(duì)于單根是 _ 階局部收斂的。4. 解三角線性方程組的方法是_ 過程。5矩陣的譜半徑定義為= ,它與矩陣范數(shù)的關(guān)系是 。6. 線性方程組中令A(yù)=D+L+U,其中D是A的對(duì)角部分構(gòu)成的矩陣,L和U分別是A的(負(fù))嚴(yán)格下(上)三角矩陣,則Jacobi迭代法的迭代矩陣是 。7. f(x)的差分形式的Newton插值多項(xiàng)式是 。得 分評(píng)

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論