1、6.5 函數(shù)的凸性與拐點函數(shù)的凸性與拐點 一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義 二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定 三、曲線的拐點及其求法三、曲線的拐點及其求法 四、小結(jié)四、小結(jié)一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC( ),f xI定義1 設(shè)在區(qū)間 上連續(xù)12,xxI如果對(0,1), 恒有1212(1)()(1) (),fxxf xf x1212(1)()

2、(1) (),)fxxf xf x( )f xI那末稱為 上的凸函數(shù);(嚴格凸函數(shù))xyo)(xfy 1x2xxACB如圖,12(1),xxx其中12(),(),Af xBf x(1) ,CABxyo1x2x)(xfy x12,xxI如果對(0,1), 恒有1212(1)()(1) (),fxxf xf x1212(1)()(1) (),)fxxf xf x( )f xI那末稱為 上的凹函數(shù);(嚴格凹函數(shù))同樣定義,:,fI命題 若為區(qū)間 上的凸函數(shù).fI則 為區(qū)間 上的凹函數(shù).只要討論凸函數(shù)的性質(zhì)即可二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定3x2x1xRQP( )yf xyox,直觀上 凸弧上相

3、鄰兩弦,左弦的斜率總是小于右弦.于是有 fI引理 為 上的凸函數(shù)123123,:x x xIxxx且總有32212132()()()()f xf xf xf xxxxx:證明必要性()用分析法3231,xxxx記213(1),xxx則.f由 為凸函數(shù)1313(1)(1)fxxf xf x2()f x3221133131xxxxfxfxxxxx32212133131()xxxxf xfxfxxxxx 312321213()xxf xxxf xxxf x32212132()()fxf xf xfxxxxx(充分性) 分析法1313,(0,1);x xIxx 且13213,(1).x xxxx在上任

4、取32212132()(): fxf xf xfxxxxx有 312321213()xxf xxxf xxxf x32212133131()xxxxf xfxfxxxxx32212133131(1),1xxxxxxxxxxx由于1313(1)(1)fxxfxfx.fI故 為 上的凸函數(shù)由已知 fI命題 為 上的凸函數(shù)123123,:x x xIxxx且總有313221213132()()()()()()f xf xf xf xf xf xxxxxxx證法與引理類似oxy ,f凸弧 上的點 從左往右運動時其切線逆時針方向轉(zhuǎn)動,切線斜率逐漸增大,.fI即 在 上為增函數(shù)播放 我們有 ,fI定理1.

5、設(shè) 為區(qū)間 上的可導(dǎo)函數(shù) 則下述論斷互相等價(1) ;fI為 上凸函數(shù)(2) fI為 上增函數(shù);12(3) ,:Ix x對 上的任意兩點有21121()()f xf xfxxx:(1)(2),證明1212,()Ix xxx任取 上兩點及充分小. h的正數(shù)1122-xhxxxh由于f根據(jù) 的凸性及引理有11212221()-(- )()-()()-()-f xf xhf xf xf xf xhhxxh,f由 是可導(dǎo)函數(shù)0h令時可得2121()-()-f xf xxx2fx.fI所以 為 上的遞增函數(shù)1fx1x2xxoy( )yf x1-xh2xh(2)(3)12,x xI1221,x xx x在

6、區(qū)間或上,應(yīng)用拉格朗日中值定理 有 2121() ( )f xf xfxx12xx其中 介于 與 之間12,xx又由遞增條件 當(dāng)時12xx 1 ()ffx( )(): 綜合與得21121()()f xf xfxxx1212,xxxx當(dāng)時 1 ()ffx( )(): 綜合與得21121()()f xf xfxxx(3)(1)12,(0,1),x xI 312(1),xxx記1312 (1),xxxx則2312xxxx (3),:由條件有13313()()f xf xfxxx3312(1)f xfxxx23323()()f xfxfxxx3312fxfxxx(1),:分別用 和乘上列兩式并相加 得

7、12()(1) ()f xf x3fx12(1)fxx.fI為 上的凸函數(shù),從而:,(3)說明 上述定理中 條件000( )()f xfxfxxx:的幾何意義是( )yf x凸函數(shù)的曲線總是在它的任一切線的上方.這是可導(dǎo)凸函數(shù)的幾何特征yxo0 x( )yf x000()yfxfxxx,.同理可給出凹函數(shù)的幾何特征xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y在凹弧上,直觀地,在凸弧上 我們有: 定理2:( ),f xI設(shè)在區(qū)間 上具有二階導(dǎo)數(shù)( )If x則在區(qū)間 上,為凸函數(shù)(凹函數(shù))( )0fx( )0 ,fxxI此定理,可由前一個定

8、理推出. 例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點點是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點點注意到注意到,2 ( )arctan().f xx例 討論函數(shù)的凸 凹 性區(qū)間:解21( ),1fxx222( )1xfxx(,0( )0,fx在區(qū)間上,(,0f在區(qū)間上為凸函數(shù);0,)( )0,fx在區(qū)間上,0,)f在區(qū)間上為凹函數(shù).3 ( , )(),fa b例 設(shè) 為開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)凸凹函數(shù)0 ( , )()xa

9、 bf則為 的極小 大 值點0,xf為 的穩(wěn)定點0()0fx即:,證明 以凹函數(shù)為例,即費馬定理0( , ),xa bxx 且( , ),fa b由 在內(nèi)為凹函數(shù)000( )()()()f xf xfxxx0,()0,fx又已知0 ( )()f xf x有 0( , )xfa b即 為 在內(nèi)的極大值點().而且為最大值點4 ()Jensen例不等式 , ,fa b設(shè) 為上凸函數(shù)1 , ,0,(1,2, ),1,niiiixa bin則有11 ( )nniiiiiifxf x:()證明用數(shù)學(xué)歸納法證(1) 1,n 當(dāng)時 顯然成立2,1,.n 當(dāng)時 由定義 命題成立(2) ,nk設(shè)當(dāng)時 命題成立1

10、 , ,0,(1,2, ),1,kiiiixa bik即有11kkiiiiiifxf x 1,nk則 當(dāng)時11 , ,0,(1,2,1),1,kiiiixa bik11,2, ,1iikik記=,1 1,kii則1 12211 kkkkfxxxx有11221111(1)1kkkkkkxxxfx11 12211(1)()kkkkkfxxxf x11111(1)()kkkkkfxfxf x11kiiifx1,nk即時 命題亦成立(2),( ).nf對于任何正整數(shù)凸函數(shù) 總有不等式成立35 ,a b cabcabca b c 例 證明不等式, ,.a b c其中皆為正數(shù):證明( )ln , 0,f

11、xxxx記1( )1ln , ( ),fxxfxx ( )ln(0,),f xxx為內(nèi)的嚴格凸函數(shù),:ensen由J不等式 有1( )( )( )33abcff af bf c1 lnlnlnln333abcabcaabbcc即3a b cabcabca b c 3,3abcabc又3a b cabcabca b c 6 If例 設(shè) 為開區(qū)間 內(nèi)的凸函數(shù)0fIx證明 在 內(nèi)任一點 都存在左右導(dǎo)數(shù).(),或凹函數(shù):證明,fI設(shè) 為開區(qū)間 內(nèi)的凹函數(shù) 凸函數(shù)同理00()-() ( ),f xhf xF hh記210,hh設(shè)02010 xhxhx則00,().fIxfx要證在 內(nèi)任一點 都存在左導(dǎo)數(shù)

12、000()-(),lim,hf xhf xh即證 極限存在, 由命題0().)fx(同理證,存在右導(dǎo)數(shù)0,xIxx又取且00,hxhI 對有00()-()f xhf xh( )F h0( ).hF h在時,函數(shù)有下界000()-()limhf xhf xh故極限存在01011()-()()f xhf xF hh0( )hF h在時,單調(diào)減少.0 xx01xh02xhx00()-()-f xf xxx02022()-()()f xhf xF hh( )f x三、曲線的拐點及其求法三、曲線的拐點及其求法定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx內(nèi)內(nèi)存存在在二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則點點

13、 )(,00 xfx是是拐拐點點的的必必要要條條件件是是0)(0 xf. .1.1.定義定義注意注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.2.2.拐點的求法拐點的求法證證,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)xf,)(存在且連續(xù)存在且連續(xù)xf , )()(0兩兩邊邊變變號號在在則則xxfxf ,)(,(00是拐點是拐點又又xfx,)(0取得極值取得極值在在xxf ,由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的條件. 0)( xf方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù);)(,(,)()1(000即即為為拐拐點點點點變變號號兩兩近近旁旁xfxxfx

14、.)(,(,)()2(000不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間為為方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點的拐點線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在

15、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的的拐拐點點內(nèi)內(nèi)求求曲曲線線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點為內(nèi)曲線有拐點為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的的拐拐點點是是連連續(xù)續(xù)曲曲線線也也可可能能點點不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4 4.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可導(dǎo)

16、導(dǎo)點點yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但但在在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲線線在在 .)0 , 0(3的的拐拐點點是是曲曲線線點點xy 四、小結(jié)四、小結(jié)曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點拐點拐點;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點的求法拐點的求法1, 2.思考題思考題設(shè)設(shè))(xf在在),(ba內(nèi)二階可導(dǎo)，且內(nèi)二階可導(dǎo)，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，則，則,(0 x)(0 xf是否一定為是否一定為曲線曲線)(xf的拐點？舉例說明的拐點？舉例說明.思考題解答思考題解答因為因為

17、0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf為拐點為拐點的的必要條件必要條件，故故,(0 x)(0 xf不不一一定定是是拐拐點點.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲線線)(xf的的拐拐點點.一、一、 填空題：填空題：1 1、 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在 （ba,） 可導(dǎo)， 則曲線） 可導(dǎo)， 則曲線)(xf在在( (ba,) )內(nèi)取凹的充要條件是內(nèi)取凹的充要條件是_._.2 2、 曲線上曲線上_的點，稱作曲線的拐點的點，稱作曲線的拐點 . .3 3、 曲線曲線)1ln(2xy 的拐點為的拐點為_._.4 4、 曲線曲線)1ln(xy 拐點為拐點為_._.

18、二、二、 求曲線求曲線xeyarctan 的拐點及凹凸區(qū)間的拐點及凹凸區(qū)間 . .三、三、 利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲線四、求曲線 2sin2cot2ayax的拐點的拐點 . .練練 習(xí)習(xí) 題題五、五、 試證明曲線試證明曲線112 xxy有三個拐點位于同一直線有三個拐點位于同一直線上上 . .六、六、 問問a及及b為何值時，點為何值時，點(1,3)(1,3)為曲線為曲線23bxaxy 的拐點？的拐點？七、七、 試決定試決定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲線的拐點處使曲線的拐點處的法線通過原點的法線通過原點 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案六六、29,23 ba. .七七、 82 k. .oxy ,f(1)凸弧 上的點 從左往右運動時其切線逆時針方向轉(zhuǎn)動,切線斜率逐漸增大,.fI即 在 上為增函數(shù)oxy ,f(1)凸弧 上的點 從左往右運動時其切線逆時針方向轉(zhuǎn)動,切線斜率逐漸增大,.fI