1、1第第 六六 章章彎曲應力彎曲應力2 引言引言1、彎曲構件橫截面上的（內力）應力、彎曲構件橫截面上的（內力）應力內力剪力Q 剪應力t t彎矩M 正應力s s3 某段梁的內力既有彎矩也有剪力時，該段梁的變形稱為橫力橫力 彎曲彎曲。如AC、BD段。QxMx2、純彎曲、純彎曲(Pure Bending): 某段梁的內力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲純彎曲。如AB段。、橫力彎曲、橫力彎曲:PPaaABDC42、研究方法、研究方法平面彎曲時橫截面s 純彎曲梁平面彎曲時橫截面t 橫力彎曲52 2 純純彎曲時梁橫截面上的正應力彎曲時梁橫截面上的正應力1.梁的純彎曲實驗 橫向線(a b、c d）變

2、形后仍為直線，但有轉動；縱向線變為曲線，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。一、變形幾何關系：一、變形幾何關系：中性層中性層縱向對稱面縱向對稱面中性軸中性軸bdacabcdMM6橫截面上只有正應力。平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發生轉動，距中性軸等高處，變形相等。（可由對稱性及無限分割法證明）3.推論2.兩個概念中性層：梁內一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。7A1B1O1O4. 幾何關系：(1) . yx abcdABdq q xy11111OOBAABABBAx) ) ) )OO1) )qqqyyddd)(

3、8 二、物理關系：二、物理關系：假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應 力狀態。(2) . sEyExxs sxs sx三、靜力關系：三、靜力關系：0dddszAAAxESAyEAEyAN 0zS結論：中性軸過截面形心結論：中性軸過截面形心90dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM（對稱面）（對稱面）MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22zzEIM1 (3)EIz 桿的抗彎剛度。桿的抗彎剛度。(4) . zxIM y s s 軸慣性矩 d2AzAyI103 3 橫力橫力彎曲時梁橫截面上的正應力彎曲時梁橫截面上的正應力一、正應力近似公式：一、正應力近似公式：(

4、4) . zxIM y s s二、橫截面上最大正應力：二、橫截面上最大正應力：zWMmaxs (5)maxyI Wzz 抗彎截面模量。抗彎截面模量。11d64 4dIz圓三、常見截面的三、常見截面的IZ和和WZ：DdDda)1 (64 44aDIz空心圓323maxdyIWzz)1 (32 43maxaDyIWzz12bBhH1212 33bhBHIz回字框三、常見截面的三、常見截面的IZ和和WZ：bh12 3bhIz矩形6 2maxbhyIWzz)1 (6 332maxBHbhBHyIWzz13四、軸慣性矩的平行移軸定理四、軸慣性矩的平行移軸定理：（與轉動慣量的移軸定理類似）CCybyxax

5、以形心為原點，建立與原坐標軸平行的坐標軸如圖0CxCyASAbbSIAbbyyAbyAyIxCxCCACACAx222222 d)2( d)( dAbIIxCx2dAxyyxabCxCyC注意注意: C點必須為形心點必須為形心AaIIyCy214例例1 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11+xM82qLM1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩kNm60)22(121xqxqLxM3015Q=60kN/mAB1m2

6、m11M1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM451233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 62/zzIW壓應力）( MPa7 .6110832. 56060 5121zIyMss求應力18030+xM82qL16MPa6 .921048. 66041max1zWMsm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 65 .674maxmaxzWMs求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030+xM82qL171 1、危險面與危險點分析：、危險面與危險點分析：一般截

7、面，最大正應力發生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上。s ss ss sM五、梁的正應力強度條件五、梁的正應力強度條件2 2、正應力強度條件：、正應力強度條件： s ss s zWMmaxmax18、校核強度：校核強度：設計截面尺寸：設計載荷：maxssmaxsMWz)( ;maxmaxMfPWMzs3 3、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：19y1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內力例例 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm， y2=88mm，Iz=7

8、63cm4 ，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BM4畫危面應力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM20校核強度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMsMPa2 .2710763524813zBLAIyMsMPa2 .4610763884824zByAIyMsLLMPass2 .28maxyyMPass2 .46maxT字頭在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4x2.5kNm-4kNmMA3A4所以，梁的正應

9、力強度足夠。214 4 梁橫截面上的剪應力梁橫截面上的剪應力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的剪應力梁橫截面上的剪應力1、兩點假設： 剪應力與剪力平行；矩中性軸等距離處，剪應力 相等。2、研究方法：分離體平衡。0)(112dxbNNXtdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb圖圖a圖圖b圖圖c 在微段上取一塊如圖c，平衡 在梁上取微段如圖b；22dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb圖圖a圖圖b圖圖czzAzAIMSAyIMANdd1sz

10、zISMMN)d(2zzzzbIQSbISxMdd1t由剪應力互等由剪應力互等zbIQSy1)(ttt)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz23tt5 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩tQt t方向：與橫截面上剪力方向相同；t t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。最大剪應力為平均剪應力的1.5倍。24yzhb)4(222yhIQbIQSzzzt解： （1）橫截面的剪應力為： 例例22結構如圖，試證明： （1）任意橫截面上的剪應力的合力等于該面的剪力； （2）任意橫截面上的正應力的合力矩等于該面的彎矩； （3）過高度中點做縱截面，那么，此縱截面上的剪應力的 合

11、力由哪個力來平衡？q25h.h.zAyByhIQA505022d)4(2dtMIIMAIMyMzzh.h.zz50502d(2) 橫截面上的合剪力為：Q)h(hIQBz2324233(3) 合力偶 26)(bhqx.AxQ.51)(51maxtthqLx)qx(hAQLLAB43d23d200tzAWAMAN2211max1max 1s1AABNQ(4)中面上的剪應力為：縱面上的合剪力與右側面的正應力的合力平衡。(5) 縱截面上的合剪力大小為：t tmaxt t hqLbhbhqL432622122227二、其它截面梁二、其它截面梁橫截面上的剪應力橫截面上的剪應力1、研究方法與矩形截面同;剪應

12、力的計算公式亦為：zzbIQS1t其中Q為截面剪力；Sz 為y點以下的面積對中性軸之靜矩；Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b 為y點處截面寬度。282、幾種常見截面的最大彎曲剪應力 工字鋼截面：工字鋼截面：maxtmint; maxA Qt tf結論：結論： 翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。 鉛垂剪應力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字鋼最大剪應力Af 腹板的面積。; maxA Qt tf29圓截面：tt3434maxAQ 薄壁圓環：tt22maxAQ1 1、危險面與危險點分析：、危險面與危險點分析：一般截面，最大剪應力發生在剪力絕對值最大的截面的

13、中性軸處。Qt tt t三、梁的剪應力強度條件三、梁的剪應力強度條件302 2、剪應力強度條件：、剪應力強度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應力與最大剪應力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。 t tt t zzIbSQmaxmaxmax3 3、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：s sMQt tt ts s314 4、需要校核剪應力的幾種特殊情況：、需要校核剪應力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時，要校核剪應力。梁的跨度較短或載荷靠近支座 ，M 較小，而

14、Q較大時，要校核剪應力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應力。、校核強度：校核強度：設計截面尺寸：設計載荷：maxtt32解：畫內力圖求危面內力例例 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應力和最大剪應力之比,并校核梁的強度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x33求最大應力并校核強度應力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 0

15、40506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAQxM+82qL所以，梁的正應力和剪應力強度足夠。34一、合理布置外力（包括支座），使一、合理布置外力（包括支座），使 M max 盡可能小。盡可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/165 5 提高提高梁的彎曲強度的措施梁的彎曲強度的措施35Mx82qLqLL/5qL/5402qL502qL MxP=qLL/54L/5對稱MxqL2/1036二、梁的合理截面二、梁的合理截面1 1、矩形木梁的合理高寬比、矩形木梁的合理高寬比R

16、北宋李誡于1100年著營造法式 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲學與機械技術講義 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 為強強度度最最大大。時時, 2bhbh37AQ3433. 1mmaxtt 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1tt)2/( ;,41221 DRaaD時當強度：正應力：剪應力：2 2、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面 sszWM ttzzbIQS* 其它材料與其它截面形狀梁的合理截面zDzaa38mtt2max143375. 2

17、 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD時當1121212,24 DaaD時當1312467. 1 646zzWabhWmtt5 . 1maxzD0.8Da12a1z39)(= 3 . 2mmaxfAQtt工字形截面與框形截面類似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD時當0.8a2a21.6a22a2z40 對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面處又上側受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：3 3、根據材料特性選擇截面形狀、根據材料特性選擇截面形狀s sGz41三、采用變截面梁三、采用變截面梁 最好是等強度梁，即)()()(maxssxWxMx若為等強度矩形截面，則高為)(6)(sbxMxh同時)(5 . 1maxttxbhQ5 . 1)(tbQxhPx人有了知識，就會具備各種分析能力，人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以