1、-用洛必達法則求未定式極限的方法一、 洛必達法則求函數極限的條件及適用圍一洛必達法則定理定理11 假設函數與函數滿足以下條件：1在的*去心鄰域可導，且23 則包括A為無窮大的情形定理2 假設函數和滿足以下條件1在的*去心鄰域可導，且23 則包括A為無窮大的情形此外法則所述極限過程對下述六類極限過程均適用：。定理證明：作輔助函數于是函數F(*)及G(*)在連續，在可導，并且今對任意一點，利用柯西中值定理得由的定義，上式即所以當時這時顯然有，對上式兩端取極限，即證畢。關于定理二的證明方法也同定理1類似，這里就不點出。當然，還有其他不同的證明方法。二洛必達法則使用條件只有在分子、分母同時趨于零或者同

2、時趨于無窮大時，才能使用洛必達法則。連續屢次使用法則時，每次都要檢查是否滿足定理條件，只有未定式方可使用，假設是檢查結果滿足法則使用條件，才可連續使用洛必達法則，直到求出函數極限或者為無窮大，否則就會得出錯誤的結果，下面舉個例子來說明。例1：求分析：根據洛必達法則使用條件，此式為型，所以可以使用洛必達法則，但是，結果所得非不定式，所以只能使用一次洛必達法則，而不能再進展第二次。解： 事實上，這里為了說明問題，才使用上面的解法，這里也可以看出，尋找最為簡便的解題方法才是正確解題的關鍵。二、洛必達法則的應用一 根本類型：不定式直接應用法則求極限例2：求解： 這是待定型。運用洛必達法則，我們有因為

3、從而 例4：求解：上述極限是待定型，于是二 未定式的其它類型：、型極限的求解此外，除了這兩種待定型外，還可以通過轉化，來解其他待定型。譬如等待定型，由于他們都可以轉化為，因此，也可以用洛必達法則來求出他們的值2。關于如何轉換，例如則是形式，這時，可以寫為，這就轉化為了。此外對于等不定式，可以取對數化為的形式，再運用如上方法便可轉化為了，下面對這些待定型一一舉例解答以作說明3。例5：解：這是型，設法化為形式： = = = =例6：求解：這是 =e*p =e*p =例7：求解:這是待定型，經變形得，而故 例8：求解：這是待定型，可變形為，成了待定型，于是例9：求解：這是待定型，由對數恒等式知，運用

4、例8可得三、洛必達法則對于實值函數的失效問題洛必達法則可謂是在求不定式極限中作用最為顯赫的一種方法，當然，它也有失效的時候。“失效的原因則是因為題目本身不滿足可以使用洛必達法則的幾個條件。所以，在要使用洛必達法則時，則要檢驗該題目是否符合洛必達法則條件，洛必達法則失效的根本原因有以下幾種。一使用洛必達法則后，極限不存在非，也就是不符合以上定理1、2的條件34 例10：計算 解：原式=二使用洛必達法則后，函數出現循環，而無法求出極限，也就是不符合定理1、定理2的條件3 例11：計算 解：原式=1三使用洛必達法則后，函數越來越復雜，無法簡單判斷出函數是否存在極限，也就是不符合定理1、定理2的條件3

5、 例12：計算 解：令，則原式=四求導后有零點，也就是不滿足條件例如，的極限是不存在的，事實上，取，此時分母的導數是有零點的。四、洛必達法則與其它求極限方法比擬使用洛必達法則時不要無視別的求極限方法，并不是所有不定型用洛必達法則最為方便，在關注使用洛必達法則的同時，我們還要注意到其他求極限的方法，依題目而選定最適宜的方法。對于解函數極限的題，假設是不定式符合洛必達法則條件，確實可使用洛必達法則，但也不是說單一只能使用洛必達法則，也可以試著洛必達法則同其他方法一起，可能可以使解題更為簡便。一洛必達法則與無窮小代替法應用等價無窮小量代替法化簡，牢記以下等價無窮小量：當時，用此方法應要注意，加減的無

6、窮小量不能用等價無窮小量代替，需是無窮小量比的形式，或是極限中的乘積因子為無窮小量，且替換后極限存在，才能用等價無窮小量替換5，下面舉個例子作為比擬。例13 求解1：運用無窮小量代替法解2：利用洛必達法則= = = =分析：此題假設直接用洛必達法則，則會較麻煩，相反，假設之前先用無窮小量替代，就可簡化解題過程。解：=二洛必達法則與運用極限的運算和的極限求極限比擬6利用極限的定義和適當放大法也是可以求出一些較為“簡單形式變量的極限。一旦我們知道了一些極限后，用加減乘除的方法就可以計算出一些較為復雜的極限，這也是極限運算中比擬常見、便捷的方法。如下幾個例子，就可以運用加減乘除簡便的求出函數的極限。

7、例14：求解1: =這里運用到了解2：此題假設是使用洛必達法則，則需要使用洛必達法則四次，顯的尤為繁瑣，這里可以給出洛必達法則求此極限的解題過程，以做說明。 = 第一次運用洛必達法則 = = 第二次運用洛必達法則 = = 第三次運用洛必達法則 = 第四次運用洛必達法則所以原式=。單已例14為例，縱觀用極限運算和極限來求函數極限同使用洛必達法則求極限，顯而易見前者要顯的簡單的多，在實際極限運算中，要靈活應用，找出最適合該題的解法。三洛必達法則與利用夾逼定理求函數極限比擬夾逼定理也是求函數極限的一種有效方法。定理容：如果對于點的*一零域的一切，但本身可以除以或對于絕對值大于*一正數的一切有不等式成

8、立，且，則。使用兩邊夾法則求函數極限，關于在于把適當放大或者縮小。下面舉個例子分別用洛必達法則和夾逼定理來求函數極限，以作比擬。例15：求解1：運用兩邊夾定理對于任意，當時，有且根據兩邊夾定理，則解2：利用洛必達法則分析：首先可以看出原式是屬于形式，所以要利用轉換，把原式化為洛必達法則標準形式，但是這里，需要運用到兩次轉換，過程顯得有些繁瑣。 第一次轉換 先求 第二次轉換 = = 綜上：原式=縱觀這兩種解法比擬，假設說篇幅，單是解題過程，兩邊夾定理要比洛必達法則簡便，但是假設說難易程度，則洛必達法則要比兩邊夾定理的應用來的簡單易懂些。五、洛必達法則求極限考前須知小結誠然，洛必達法則的容簡單，使

9、用方便，但在使用過程中，一但疏忽以下幾點，很可能造成運算出錯。一洛必達法則條件不可逆洛必達法則的條件是充分的，但不是必要的。因此，在型或型中，存在，并不能斷言不存在，只是這是不能使用法則，而必須尋找其他適宜的解題方法，以下例子可以明顯看出。例16：求分析：根據洛必達法則使用條件，此題屬于型，此時假設使用洛必達法則則，顯而易見極限不存在，但是是否原式的極限也不存在.答案是否認的，下面我們用其他方法來解此題。解：結果為1，所以原式的極限是存在的。所以，法則失效時要尋求別的方法來求極限。二使用洛必達法則時，應及時化簡使用洛必達法則時，應及時化簡，主要是指代數、三角函數的變形，經常使用的就有無窮小量代

10、替法、別離極限不為零的因子、變量代換等下面通過例子說明7。例17：分析：此題假設是直接使用洛必達法則，察其復雜程度，求導定會帶來復雜運算，直接使用無窮小量代換又不知分子如何代換，故可以考慮拆開來看，具體解題過程如下。解： = = = =上題運用了無窮小量代替法、別離極限不為零的因子、洛必達法則等幾種方法，由這題可知，洛必達法則不可貿然使用，必要時應同其他方法結合使用，以化簡解題過程。三不定型轉換從上面洛必達法則介紹中可知，使用洛必達法則的只有，對于其他不定型只有對其進展轉換，變為不定型，才能使用洛必達法則求解。然，轉換過程也有一定講究。對型進展轉化時，誰放分子，誰放分母是有講究的，如下例子說明。例18：求分析：明顯此題是屬于不定型，假設如下轉換：極限反倒變復雜了，所以替換應看清如何簡便計算，以進展適宜的替換。解：. 以上幾點注意只能說明洛必達法則中常出現的幾點，但是也不可能涵蓋到出現的所有情況完全，在解題過程中，只有根據題目，靈活運用各種所學的知識，才能方便解題，提高解題效率。參考文獻1歐中.朱學炎.金福臨.傳璋.數學分析. M .高等教育.19972燮昌.邵品琮.數學分析縱橫談. M .：大學，19913吳炯圻.躍輝.唐