1、動點問題（六）1、運動題：如圖，在垂直 ABC中，角ACB=90度，AC=BC=6cm正方形 DEFG勺邊長為2cm,其一邊EF在BC所在 的直線L上，開始時點F與點C重合，讓正方形 DEFG&直線L向右以每秒1cm的速度作勻速運動，最后點 E與 點B重合.（1）請直接寫出該正方形運動 6秒時與垂直ABC重疊部分面積的大小；（2）設運動時間為x （秒），運動 過程中正方形DEFGi'垂直ABC重疊部分的面積為 y（cm（A2）,在該正方形運動 6秒后至運動停止前這段時間 內，求y與x之間的函數關系式；在該正方形整個運動過程而，求 x為何值時，y的值為0.5A2 .如圖，矩形 A

2、BCD43, AD=3厘米，AB=a厘米（a>3）.動點M N同時從B點出發，分別沿 B-A, B-C運動， 速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于 AB,分別交AN CD巳Q.當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動.設 運動時間為t秒.（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM=34厘米；（2）若a=5厘米，求時間t,使 PNB PAD并 求出它們的相似比；（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBNW梯形PQDA勺面積相等，求 a的取值范圍；（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN梯形PQDA梯形PQCN勺面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由3 .如圖，

3、 ABC中，/ C= 90° , AC= 3厘米，CB= 4厘米.兩個動點 P、Q分別從A C兩點同時按順時針方向沿 ABC的邊運動.當點 Q運動到點A時，P、Q兩點運動即停止.點 P、Q的運動速度分別為1厘米/秒、2厘米/ 秒，設點P運動時間為t （秒）.（1）當時間t為何值時，以P、C Q三點為頂點的三角形的面積（圖中的陰影部分）等于2厘米2; （2）當點P、Q運動時，陰影部分的形狀隨之變化.設PQ與 ABC圍成陰影部分面積為 S（厘米2）,求出S與時間t的函數關系式，并指出自變量 t的取值范圍；（3）點P、Q在運動的過程中，陰影部分面積S有最大值嗎？若有，請求出最大值；若沒有，

4、請說明理由5 .如圖，在直角坐標系中， 。是原點，A、B C三點的坐標分別為 A （18, 0）, B （18, 6）, C （8, 6）,四邊形OABC 是梯形，點P、Q同時從原點出發，分別做勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動. 求出直線OC的解析式及經過。A、C三點的拋物線的解析式。試在中的拋物線上找一點 D,使彳導以Q A D為頂點的三角形與 AOC全等，請直接寫出點 D的坐標。 設從出發起，運動了 t秒。如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點 Q的 坐標，并寫出此時t的取值范圍。設從出

5、發起，運動了 t秒。當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出 t的值；如不可能，請說明理由4 .如圖1, RtAPMN,/P=90° , P隹PN,MN 8cm,矩形ABCD勺長和寬分別為8cm和2cm,C點和M點重合，BC和MN&一條直線上。令 RtPMN動，矩形ABCDgMNW在直線向右以每秒 1cm的速度移動（如圖 2）,直到C點與N點重合為止.設移動x秒后，矩形ABCDT PMNt疊部分的面積為 ycm2.求y與x之間的函數關系式-6 -6 .如圖，在 RtABC中，已知 AB= B

6、C= CA= 4cm, AD± BC于D,點P、Q分別從 B C兩點同時出發，其中點 P沿 BC向終點C運動，速度為1cm/s；點P沿CA AB向終點B運動，速度為2cm/s ,設它們運動的時間為 x（s）.求 x為何值時，PQLAC設 PQD勺面積為y（cm2）,當0vxv2時，求y與x的函數關系式；當 0vxv2時，x的取值范圍（不求證：AD平分4PQD勺面積；探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系.請寫出相應位置關系的要求寫出過程）7 .如圖，在梯形 ABC邛，AD/ BC,AD=3,DC=5,AB=4<2 , / B=45° ,動點M從B點出發沿線段 BC以每秒

7、2個單 位長度的速度向終點 C運動；動點N同時從C點出發沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點 D運動.設 運動的時間為t秒.（1）求BC的長.（2）當MM AB時，求t的值.（3）試探究：t為何值時，zMNC為等腰 三角形B8 .如圖，梯形 ABCD43, AD/ BC, AB=DC=AD=4 BD±CD E是 BC的中點.（1）求/ DBC勺度數；（2）求 BC的長；（3）點P從點B出發沿B-C以每秒3個單位的速度向點 C勻速運動，同時點 Q從點E出發沿 D以每秒1個 單位的速度向點 D勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動.設運動時間為 t （s）,連接PQ當t為何

8、值時 PEQ為等腰三角形.9.如圖，在梯形 ABCD43, DC/ AB, Z A=90° , AD=6厘米,DC=4厘米，BC的坡度i=3 : 4,動點P從A出發以2厘米/秒的速度沿 AB方向向點B運動，動點Q從點B出發以3厘米/秒的速度沿B? C? D方向向點D運動，兩個 動點同時出發，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止.設動點運動的時間為t秒.（1）求邊BC的長；（2）當t為何值時，PC與BQ相互平分；（3）連接PQ設 PBQ的面積為y,探求y與t的函數關系式， 求t為何值時，y有最大值？最大值是多少？動點問題(六)答案1 .解：(1)如圖1,重疊部分的面積為12X

9、22=2cm2(2)當正方形停止運動時，點E與點B重合，此時x=8如圖 2,當 6VXV8 時，設正方形 DEFG 與 AB 交于點 M,在 RtAMEB 中，/ MEB=90 ° , ME=EB=CB-CE=6- (x-2) =8-x.重疊部分面積：y=SAMEB= 12 ?EB2= 12 (8-x) 2在正方形運動過程中，分四種情況：當0V x<2時，如圖3,重疊部分面積y=2x ,且0vyv4令y= 12 ,得2x=12,解得 x= 14當2WxW4時，如圖4重疊部分面積都為 4cm2,此時yw 12當4vxW6時，如圖5,易見重疊部分面積 y隨x的增大而減小由上面得出的

10、結論知當x=4時，y=4 ;由(1)知當 x=6 時，y=2 .1.2<y<4,此時 yw 12當6Vx<8時，由(2)已求得 y= 12 (8-x) 2= 12 (x-8) 2, 二 y隨x的增大而減小，又當 x=6時，y=2 ,當 x=8 時，y=0 時，0vyv2 令 y= 12 (x-8) 2= 12 ,解得 x1=7, x2=9 (不合題意，舍去)x=7 綜上，當 x= 14 或 x=7 時，y= 12 .2 .解：(1)根據題意，易證 PAMh NAEB 所以 PMNB= AMAB 即 PM1= 4-14 ,故 PM= 34.(2) PN。 PAtDDABN= A

11、PPN 又 AD/ MQ/ BC,APPN= AMMBDABN= AMMB 又; a=5 厘米，所以3t= 5-tt ,解得t=2 .相似比為 DANB= 32.故當時間t=2秒時，使 PN/ PAD它們的相似比為 32 .(3) ,. AMPAABhNa-ta= MPt , MP=t- 12a ,于是根據梯形面積公式：12 ( MP+t) t= 12(3-MP) +3(a-t ),將 MP=t- t2a 代入 12 (MP+t) t= 12 (3-MP) +3 (a-t )得，(t- t2a+t ) t= (6-t+ t2a ) (a-t ), 整理得，t2+ (6+a) t-6a=0 ,由

12、于存在某時刻使梯形PMBNf梯形PQDA勺面積相等，故方程 t2+ ( 6+a) t-6a=0有解，于是0,則(6+a) 2-4 x (-6a) > 0,解得 a>-18+12 2 ;或 a<-18-12 2 .又因為 a>3,故 a 的取 值范圍是a>3.(4)設存在這樣得矩形 ABCD t (0vtv3)秒時，BN=BM=t AM=a-t, CN=3-t, AMAB= MPB,Na-ta= MPt , MP= t(a-t)a , QP=3-MP= 3+t2-ata，依題意：t(a-t)a+t ?t=3-t (3+t2-at)a?t= (3+ 3+t2-ata

13、) (a-t),2t2-4at+3a+3=0(1), a2t+3at+3t=3a2+3a , t= 3a(a+1)a2+3a+3 代入(1), a4=3a2+6a+3=3 (a+1) 2,，當時間t為1秒或2秒時，SaPCQ八一、-113、(1)Sapcc - PC-CQ= -(3-t) 2t =(3-t)t =2,解彳導t1 = 1, t2 = 222,2 Q=2 厘米 2;(2)當 0v tw2 時，S= t2 +3t=-t 3 I +；24a2= 3 (a+1),解得 a= 3+3+432 2.44 < 3 符合題意；或 a= 3-3+432 < 0 (舍去).當2v t W

14、3時，S =4t2-18t +6=4lt-9L39；當 3<t“時，$=一。+紅.42=-305；555420 39555524(3)有； 在0vtw2時當t = 一，S有最大值15 S=；在2vtw時，當t = 3, S有最大值，1s2=一 在3 V tW4.5時，當t = , S有最大值，S3= ; ' S4< S2< S3，t =一時，S有最大值，S最大值=.52424(4) : Q C兩點的坐標分別為 O(0,0), C(8,6股OC的解析式為y = kx + b ,將兩點坐標代入得:y = a(x-0Jx-18 兩將 C&6),b=0,y=3x .A

15、,。是x軸上兩點，故可設拋物線的解析式為4代入得：a27+ x D(10,6)33 2，y 二 一一xm2 + 1 - m=(2t 2 . m = -t , /. Q 8t, t , (0 w t w 5)14 J " '5<5 5 J4040當Q在OC±運動時，可設Qm,3m依題意有:,4當Q在CB上時，Q點所走過的路程為2t ,OC=10,CQ=2t 10，Q點的橫坐標為2t 10 + 8 = 2t 2 ,Q(2t2,6), (5<t <10)梯形OABC勺周長為44,當Q點OC上時，P運動的路程為t,則Q運動的路程為(22-1 )3 _1 _

16、31 _ _ _ OPQ, OP 邊上的圖為：22 -t ><-, S apq = t 22 t 卜，梯形 OABC勺面積=18 +10 卜 6 = 84 ,依52521 31題意有：一t 22 t一=84 M,整理得：t222t+140 = 0-= 222 4 父 140 < 0 , .這樣的 t 不存2 52在，當 Q在BC上時，Q走過的路程為 22t ,CQ的長為：22 t 10 = 12 t。.梯形 OCQP的面積=1 1父6(22 -1 -10+t戶36W84X 。.這樣的t值不存在.綜上所述，不存在這樣的t值，使得 巳Q兩點同時平2 2分梯形的周長和面積5.在 R

17、tAPMN, PM= PN / P= 90° , . . / PMI / PN時 45° ,延長 Ag另交 PM PN于點 G H,過點G 作 GF, MNF F,過點 H 作 HTX MN 于 T,DO 2cm,. M已 GE 2cm, TN= HT= 2cn1MN= 8cm, . MR 6cm, 因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由開始向右移動到停止，和RtPMNt疊部分的形狀可分為下列三種情況：(1)當C點由M點運動到F點的過程中(0ExE2,如圖所示，設 CD與PM交于 點E,則重疊部分圖形1-1 2y = -MC EC = x2是 RtMCE 且 MC= EC=

18、 x,22(0WxW2)(2)當C點由F點運動到T點的過程中(2<xW6),如圖所示，重疊部分是直角梯形MCDG.-MC= x, MF=2,FC= DG= x-2,且 DC =2,y =-( MC +GD)4C =2x2 (2 <x<6);2(3)當C點由T點運動到N點的過程中(6 <x -8),如圖所示，設 CD與PN交于點Q則重疊部分是五邊形1 /112y = -(MN GH)- DC CN CQ-(4)12MCQHGMC= x ,CN= CQ= 8-x,且 DC= 2 ,222(6 <x <8)o6、二.當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AG由題意得：B

19、P= x,CQ= 2x ,PC= 4-x,AB= BC= CA= 4, Z C= 600,若 PQL AC,則有/ QPC= 30°, . . PC= 2CQ- 4-x=2X2x,，x=4 , .當 x = J4 (Q 在 AC上)時，PQ! AC 55當 0vxv2 時，P 在 BD 上，Q 在 AC 上，過點 Q作 QHL BC 于 H,/ C= 600, QC= 2x, . QH= Q(X sin60 0 = V3x AB= AC, AD± BC, . . BD= CD= BC = 2，DP= 2-x, y = 2 PD - QH= 2 (2 x) /x= Jx2 +

20、 73x當 0vxv2 時，在 RtAQHO, QC= 2x, / C= 600, . HC= x, . BP= HCBD= CD . DP= DH / AD± BC, QH±BC,AD/ QHOP= OQ- Sapd Sadq9 /. AD平分 PQD勺面積；4 ,、16 .顯然，不存在x的值，使得以pQ為直徑的圓與AC相離當x二或萬時，以pQ為直徑的圓與AC相切。當0Wxv4或4vxv竺或 <x< 4時，以PQ為直徑的圓與 AC相交。 5 555=AD =3.在 RtAABK 中,AK = AB sin 457.解：(1)如圖，過A、D分別作AK _L BC

21、于K , DH _L BC于H，則四邊形 ADHK是矩形，KH在 RtACDH 中，由勾股定理得， HC = J52 -42 = 3, BC = BK + KH + HC =4 + 3 + 3 = 10(2)如圖，過D作DG / AB交BC于G點，則四邊形ADGB是平行四邊形: MN / AB MN / DGBG = AD =3 . GC =103=7 由題意知，當 M、 N 運動到 t 秒時，CN = t CM =10 -2t . DG / MN/ NMC =/ DGC 又 / C =/ C ： AMNC GDC . CN = CM 即1=10 一>解得，t =50CD CG 5717

22、10_(3)分三種情況討論：當NC =MC時，如圖，即t =10 -2t . t =1當MN = NC時，如圖，過N作NE _L MC 31 1_ _ _EC 5-t于E解法一：由等腰三角形三線合一性質得EC =MC =(102t) = 5t在RtACEN中，cosc=上2 = 一又2 2NC tCH3 5 -t 325在 Rt DHC 中，cosc =二二解得 t =解法二：./ C = / C, ZDHC =/NEC =90， CD 5 t58 NC EC t 5 -t25_ NEC s DHC :=即一=/. t =當 MN = MC 時，如圖，過 M 作 MF _1_ CN 于 FDC HC 538上一1 一八1 ,一點.FC = NC = t斛法22(方法同中解法)cosL MCo3 一 160=斛得t = 解法10-2t 517/C =/C, /MFC =/DHC =90*. AMFC DHCt 一一FC MC 口u 2t 10-2t=即=HC DC 35,60