1、東北大學秦皇島分校課程名稱： 拓撲學基礎（答案）試卷：A考試形式：閉卷授課專業：數學與應用數學 考試日期:2011年5月26 口試卷：共丄頁題號*總分得分閱卷人，、填空題：（每空2分，共30 分）1. 數字10的連通分支的個數是_,數字6的連通分支的個數是的割點的個數是一數字4的割點的個數是一無窮3.漢字“王”的指數為1的點的個數為2,指數為2的點的個數為無窮,指數為3的點的個數為2,指數為4的點的個數為J4.給實數集賦予余可數拓撲，則有理數集的導集是一空,閉包是有理數 集。5.設X=aM寫出5個拓撲平凡拓撲離散拓撲X,0,d_,X,O,C_, _X,0,b_二、問答題：（共30分）1.舉例說

2、明任意多個閉集的并未必是閉集。（5分）答：給實數集合賦予歐氏拓撲，則每個單點集合都是閉集。設A = （ 0,1）,則顯然A不是閉集，但A=Utx，是閉集的并 注：例子不唯一，正確即可5 分）2. 敘述第二可數空間的定義并給出一個不是第二可數空間的例了 答：若拓撲空間具有一個可數拓撲基，則稱它為第二可數空間。 （ 2 分）給實數集合賦予離散拓撲，則每個單點集都是開集，且毎個單點都不是異于自 身 的非空集合的并，從而每個單點集都應在基屮，即不存在可數的拓撲基，這說明 不是 第二可數空間。（5 分）注：例子不唯一 , 正確即可。3. 敘述空間、 7；空間、 7；空間的定義。給出不是空間的例子，以及不

3、是 7；空間 的 7；空間的例了。 （10 分）答：設 X 是拓撲空間，若對其屮任意兩點都存在其屮一點的開鄰域不包含另外一點， 則稱其為空間；（2 分）若對其屮任意兩點都存在每一點的開鄰域不包含另外一點，則稱其為7；空間； （4分） 若對其中任意兩點都存在各口的開鄰域使得這兩個開鄰域不相交，則稱其為7；空間；6 分） 不少于兩點的平凡空間不是空間；8 分）10給實數集賦予余有限拓撲，則它是 7；空間，不是 7；空間分）注：例子不唯一，正確即可4. 簡述Mobius帶與平環的區別。(5分)答：(1)平環的邊界是兩條封閉曲線，而 Mobius帶的邊界是一(2)平環是雙側的，而 Mobius帶是單側

4、的。(3)平環沿屮線割開可將其分成兩個平環，而沿Mobius帶的屮線將其割開得到的還是一條帶了。(4)平環是可定向的，而Mobius帶是不可定向的。注：(1)區別不僅此四條，正確即(2)每答對一條2分，答對3條滿5. 談談你對拓撲學的思想、理論的認識。(5分)注：無唯一標準答案二、證明題：（任選四個小題，每小題 10分，共40分） 1 敘述并證明連續映射的粘接引理。答：粘接引理設是拓撲空間X的一個有限閉覆蓋，若f:XAY在每個人上的限制都連續，則/是連續映射。證明：只要驗證丫的每個閉集的原像是閉集。設是丫的閉集，記辦是/在4上的限制。貝U 廠（B）二 U; L （廠（8 分）由/?連續，好（B

5、）是人中的閉集，又A,是X的閉集，所 中的閉集。所以廣（B）作為有限個閉集的并也是閉集。2.證明拓撲空間是7;空間當口僅當單點集是閉集證明'二”設X是7;空間，對于任意的pwX,及任意的qeXT 間，存在q的開鄰域N不包含點”。所以NuX-3,這說明X-p是開集，也即 " 是閉集。分）u ” Vp, q w X , p 主 q,貝 II則可取x", y e X - A 。（4分）分）令q：/tx是連接兀與y的道路。則A在Q下的原像B在/中既開又閉從而（B分）。分）6.證明連通空間在連續映射下的像是連通的。這說明0分）U A。這與&：/tx是連接兀與y的道路矛

6、盾10分）定義：拓撲空間Z間的連續映射稱為同胚映射，若它是對應且它的逆也 是連續的。證明：設X是緊空間，Y是7；空間，是一一連續映射。VAuX, 4是閉集。EbX是緊空間，而緊空間的閉了集是緊 的，從而A是緊的。因為緊空間在連續映射下的像是緊的，所以/（A）是緊的。姓名 | 乂 Y是7；空間，而7；空間的緊子集是閉的，所以/ （幻是 閉的。（9分）這說明/是閉映射。從而是同胚。明：設X是道理連通空間，4是X的既開乂閉的非空子集，設/1HX。4.證明緊空間的閉子集緊致。也丿=1,. 是 A的一族有限的子覆蓋。證明：設A是緊空間X的閉集，設丿是一個指標集，Cl -VaeJ 是 A這說明A是緊的。的一明：設X是連通空間，f:XAY是連續映射個開覆蓋。（2分）設是/ （X）的既開又閉的非空子集，因為A是閉集，所以X-A是開集。（4分）則廠（B）是X的既開乂閉的非空子集。從而QU（X-A ）是X的開覆蓋。（6分）因為X是連通空間，所以f'B ） = X .因為X是緊空間，所以