1、函數(shù)的單調(diào)性（教學(xué)設(shè)計(jì)）一、本節(jié)內(nèi)容在教材中的地位與作用：函數(shù)的單調(diào)性系人教版高中數(shù)學(xué)必修一的內(nèi)容，該內(nèi)容包括函數(shù)的單調(diào)性的定義與判斷及其證明。在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，借助圖像的直觀性研究了一些函數(shù)的增減性這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸和提高這節(jié)通過對(duì)具體函數(shù)圖像的歸納和抽象，概括出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準(zhǔn)確含義，明確指出函數(shù)的增減性是相對(duì)于某個(gè)區(qū)間來說的教材中判斷函數(shù)的增減性，既有從圖像上進(jìn)行觀察的直觀方法，又有根據(jù)其定義進(jìn)行邏輯推理的嚴(yán)格方法，最后將兩種方法統(tǒng)一起來，形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結(jié)論，進(jìn)而用推理證明猜想的體系函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一，函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)

2、中的知識(shí)是前一節(jié)內(nèi)容函數(shù)的概念和圖像知識(shí)的延續(xù)，它和后面的函數(shù)奇偶性，合稱為函數(shù)的簡單性質(zhì)，是今后研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及其他函數(shù)單調(diào)性的理論基礎(chǔ)；在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小等具體問題中均需用到函數(shù)的單調(diào)性；同時(shí)在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。二、學(xué)情、教法分析：按現(xiàn)行新教材結(jié)構(gòu)體系，學(xué)生只學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)的單調(diào)性研究也只能限于這幾種函數(shù)。依據(jù)現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生只能根據(jù)函數(shù)的圖象觀察出“隨著自變量的增大，函數(shù)值增大”的變化趨勢，而不能用符號(hào)語言進(jìn)行嚴(yán)密的代數(shù)證明，只能依據(jù)形的直觀性進(jìn)行感性判

3、斷而不能進(jìn)行“思辯”的理性認(rèn)識(shí)。所以在教學(xué)中要找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)思維的“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行有意義的建構(gòu)教學(xué)。在教學(xué)過程中，要注意學(xué)生第一次接觸代數(shù)形式的證明，為使學(xué)生能迅速掌握代數(shù)證明的格式，要注意讓學(xué)生在內(nèi)容上緊扣定義貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過程，在形式上要從有意識(shí)的模仿逐漸過渡到獨(dú)立的證明。三、教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重、難點(diǎn)的制定：依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的具體要求以及基于教材內(nèi)容的具體分析，制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：1.通過函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過自主探究活動(dòng)，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的形成過程的真諦，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。2.理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，掌握用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提高

4、應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。3.能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決生活中簡單的實(shí)際問題，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)單調(diào)性的必要性與重要性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的緊迫感，激發(fā)其積極性。在本節(jié)課的教學(xué)中以函數(shù)的單調(diào)性的概念為線，它始終貫穿于教師的整個(gè)課堂教學(xué)過程和學(xué)生的學(xué)習(xí)過程；利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明簡單函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的深層理解，且“取值、作差與變形、判斷、結(jié)論”過程學(xué)生不易掌握。所以對(duì)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)確定如下：教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明；教學(xué)難點(diǎn)：增、減函數(shù)形式化定義的形成及利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明簡單函數(shù)的單調(diào)性。四、教材內(nèi)容簡析：本節(jié)主要內(nèi)容如下：(1)單調(diào)性的相關(guān)定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

5、I，區(qū)間AI：如果對(duì)于區(qū)間A內(nèi)的任意兩個(gè)值，當(dāng)時(shí)都有，那么就說在區(qū)間A上是增加（減少）的。此時(shí)，A是單調(diào)遞增（遞減）區(qū)間。注：關(guān)鍵詞：“區(qū)間AI：”、“任意”、“都”。區(qū)間AI表明判斷函數(shù)單調(diào)性首先判斷函數(shù)的定義域，“任意”表明不可以用兩個(gè)特定的值來確定函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，但是可以用來否定函數(shù)是增函數(shù)或者否定函數(shù)是減函數(shù)，“都”表示單調(diào)區(qū)間中的每一個(gè)值無一例外。如果函數(shù)在定義域的某個(gè)子集上是增加或減少的，那么就稱這個(gè)函數(shù)在這個(gè)子集上具有單調(diào)性。如果函數(shù)在定義域是增加或減少的，那么就分別稱這個(gè)函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。(2)單調(diào)性的判斷與證明：單調(diào)性的判斷：圖像法、定義法；（注：

6、兩個(gè)單調(diào)區(qū)間的“并”不一定是單調(diào)區(qū)間。）單調(diào)性的證明步驟歸結(jié)為五個(gè)步驟：取值、作差與變形、判斷、結(jié)論。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)時(shí)間教學(xué)目的教學(xué)呈現(xiàn)設(shè)計(jì)意圖教學(xué)方法說明導(dǎo)入新課1分鐘利用生活中的實(shí)例引出課 題教師引言：日常生活中，我們有過這樣的體驗(yàn)：從階梯教室前向后走，逐步上升，從階梯教室后向前走，逐步下降,上下樓梯也是一樣。（而后將其引申到函數(shù)中圖像的上升與下降，接著板書課題：函數(shù)的單調(diào)性）明確學(xué)習(xí)內(nèi)容且向?qū)W生滲透研究函數(shù)問題的一般方法。講授法用課件演示新授課15分鐘對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有感性的認(rèn)識(shí)1.函數(shù)的單調(diào)性問題1：在2003年抗擊非典型性肺炎時(shí)，衛(wèi)生部門對(duì)疫情進(jìn)行了通報(bào)，下圖(課件中)

7、是北京市從4月21日至5月19日期間每日新增病例的變化統(tǒng)計(jì)圖。從圖看出，形勢從何日開始好轉(zhuǎn)？問題2：一次函數(shù)y=kx+b中，當(dāng)k0時(shí)，y的值隨x的值的增大而 ；當(dāng)k0時(shí)，y的值隨x的值的增大而 。思考交流：對(duì)于下圖(課件中)給出的函數(shù)值y隨自變量x值的變化情況嗎？(移動(dòng)鼠標(biāo)到圖像上觀察會(huì)出現(xiàn)y隨x值的變化情況)給出實(shí)例: 用鼠標(biāo)拖動(dòng)紅點(diǎn)左右移動(dòng)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)圖像中點(diǎn)的坐標(biāo)有何變化嗎？你能找出其中的規(guī)律嗎？怎樣用數(shù)學(xué)語言表達(dá)函數(shù)值的增減變化嗎？考察學(xué)生的觀察能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力讓學(xué)生自己分析。演示法用課件演示對(duì)函數(shù)圖象的增、減情況用幾何畫板演示，增加直觀性、提高學(xué)生興趣用課件演示理解增、減函

8、數(shù)的定義從上推廣到一般情況，給出一般圖形，要求轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言,此時(shí)提出“單調(diào)增函數(shù)、單調(diào)減函數(shù)”兩名詞；讓學(xué)生自己總結(jié)單調(diào)增、減函數(shù)的具體定義。板書：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，區(qū)間AI：如果對(duì)于區(qū)間A內(nèi)的任意兩個(gè)值，當(dāng)時(shí)都有，那么就說在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增（減）函數(shù)。思考交流：你認(rèn)為增、減函數(shù)定義中的關(guān)鍵詞是什么？讓學(xué)生自己去領(lǐng)悟、思考、概念。強(qiáng)化教學(xué)重點(diǎn)，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的記憶把握概念的本質(zhì)演示法與談話法講授法讓學(xué)生口述教師板書關(guān)鍵詞：“任意”、“都”。新 授 課7分鐘了解單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的概念能運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的概念結(jié)合圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性并寫出單調(diào)區(qū)間2.單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間教師口述：函數(shù)是單調(diào)

9、增函數(shù)或是單調(diào)減函數(shù)，是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的。如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)（單調(diào)減函數(shù)），那么就說函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性。這一區(qū)間叫做的單調(diào)增（減）區(qū)間。如果函數(shù)在定義域的某個(gè)子集上是增加的或是減少的，那么就稱函數(shù)在這個(gè)子集上具有單調(diào)性。如果函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增加的或是減少的，我們分別稱這個(gè)函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。問題3：（如圖）定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)。(移動(dòng)鼠標(biāo)到圖像上觀察會(huì)出現(xiàn)單調(diào)區(qū)間)介紹相關(guān)概念，使學(xué)生進(jìn)一步理解單調(diào)性的概念。使學(xué)生進(jìn)一步熟悉函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的圖象間的關(guān)系,會(huì)從函數(shù)

10、圖象上初步判斷函數(shù)的單調(diào)性；并培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行正確表達(dá)的能力。談話法題目及圖形的給出用課件演示。注：對(duì)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間學(xué)生易錯(cuò)寫成的形式，要特別加以澄清，并舉反例加以說明教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)時(shí)間教學(xué)目的教學(xué)呈現(xiàn)設(shè)計(jì)意圖教學(xué)方法說明新授課12分鐘能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行證明函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性能靈活運(yùn)用概念證題3.函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明我們來看例題:例1：說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指明在該區(qū)間上的單調(diào)性。解析：畫出圖形，并通過圖形讓學(xué)生自己講出過程。板書：詳細(xì)過程。教師過渡語言：要了解函數(shù)某一區(qū)間是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)行觀察是一種常用而又較為粗略的方法，嚴(yán)格地說，它需要根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義

11、進(jìn)行證明。我們來看一個(gè)例題：例2：畫出的圖像，判斷它的單調(diào)性，并加以證明。解析：畫出圖形，讓學(xué)生歸納。下面利用定義證明：（略）思考交流:請(qǐng)同學(xué)們試想，根據(jù)函數(shù)單調(diào)的定義證明已知函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于什么？師生共同歸納用定義法證明函數(shù)單調(diào)的一般步驟：（1）取值：設(shè)是給定區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且；（2）作差與變形：作差，變形，一般化成幾個(gè)因子積的形式（或平方和形式）；（3）判斷：確定的符號(hào)；（4）結(jié)論。接下來，我們再來看一個(gè)例題：例3：判斷在（-，0）的單調(diào)性，并加以證明。分析:先畫圖，利用圖像來判斷，再利用定義來證明單調(diào)性。（讓學(xué)生自己動(dòng)手）變式訓(xùn)練：將本題中的定義域改為(0，+ ),你能否給出解

12、答嗎？滲透用圖象法來判斷函數(shù)的單調(diào)性思想方法提出問題、創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)學(xué)生積極思考、快速把握問題實(shí)質(zhì)的良好思維品質(zhì)。加深學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的理解，規(guī)范解題格式培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力培養(yǎng)學(xué)生自己動(dòng)手的能力談話法講授法討論法例1的圖用課件演示上升下降。注：1.請(qǐng)學(xué)生說出：將例1中分子上的1改為k時(shí)的單調(diào)區(qū)間。2.通過以上的分析，能否說例1中的函數(shù) 在定義域 內(nèi)是減少的？在講授完，用課件展示過程。注：例題中的注意點(diǎn)：解題格式防止循環(huán)論證作差同“0”比較總結(jié)：利用圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用定義法證明(步驟：取值，作差與變形，判斷，結(jié)論)。在講授完，用課件展示過程。課堂練習(xí)7分鐘進(jìn)一步鞏固函數(shù)單調(diào)性的

13、概念及證明函數(shù)單調(diào)性的方法練習(xí)：1.定義在R上的函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)a,b,總有成立，則必有 （ ）A. 函數(shù)是先增后減函數(shù);B. 函數(shù)是先減后增函數(shù);C. 是R上的減函數(shù)；D. 是R上的增函數(shù)。2.設(shè)函數(shù)是R上的減函數(shù)，求a的范圍。3.函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則（）A.-1 B.7 C.3 D. 4.求證：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)。及時(shí)反饋，檢查知識(shí)的落實(shí)情況練習(xí)法結(jié)果在課件上展示出來課后小結(jié)2分鐘強(qiáng)調(diào)教學(xué)目標(biāo)突出教學(xué)重點(diǎn)本節(jié)課重點(diǎn)要理解函數(shù)單調(diào)性及相關(guān)概念，掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷(圖象法)與證明(定義法)的方法與步驟（取值，作差與變形，判斷，結(jié)論）；通過學(xué)習(xí),增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)與能

14、力，學(xué)會(huì)從感性到理性，從具體到抽象的研究問題的方法。使學(xué)生在頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到提煉、幫助掌握重點(diǎn)內(nèi)容談話法讓學(xué)生來小結(jié)、回顧布置作業(yè)1分鐘課后進(jìn)一步掌握、鞏固概念方法課本習(xí)題2-3 A組：2，4，5課后思考：函數(shù)在上是增函數(shù)，試求出a的取值范圍。培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力課后思考要求較高作為選做題教學(xué)后記本課是讓學(xué)生通過觀察函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，從特殊到一般的方法歸納出函數(shù)單調(diào)性的定義及有關(guān)概念，通過例題歸納出證明函數(shù)單調(diào)性的方法、步驟及注意點(diǎn)。這篇教學(xué)設(shè)計(jì)完整，思路清晰案例首先通過實(shí)例闡述了函數(shù)單調(diào)性產(chǎn)生的背景，歸納、抽象概括出了增函數(shù)、減函數(shù)的定義，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維過程的教

15、學(xué)，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神例題與練習(xí)由淺入深，完整，全面練習(xí)的設(shè)計(jì)有新意，有深度，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺(tái)它的特點(diǎn)體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：1.強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈在數(shù)學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)2.注重聯(lián)系，提高對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展既有內(nèi)在的動(dòng)力，也有外在的動(dòng)力在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要注重?cái)?shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系3、注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；通過豐富的實(shí)例引入數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，經(jīng)歷探索、解決問題的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)與我有關(guān)，與實(shí)際生活有關(guān)；數(shù)學(xué)是有用的，我要用數(shù)學(xué)，我能用數(shù)學(xué)但是，在真正教學(xué)中也出現(xiàn)了一些問題：1.時(shí)間的控制上難以把握；2.學(xué)生的單調(diào)性的證明過程寫的不夠