1、第十八章數學活動折紙做60°，30°，15°的角學校：廈門集美中學授課人：秦沖一、教學目標知識與技能：1、能折出60°，30°，15°等特殊度數的角；2、通過折紙活動，進一步加深對軸對稱、等腰三角形、等邊三角形性質的理解；過程與方法：探索折60°、30°、15°的角，經歷折疊、觀察、猜想、論證、交流、反思等數學活動過程，發展學生對幾何圖形的認識，引導學生從不同角度尋找解決問題的策略，培養學生動手能力、創新能力、合作意識；情感與態度：在折紙活動中感受數學活動的樂趣，提高學生學習數學的興趣，發展學生對幾何圖形

2、的認知能力、演繹推理能力，進一步提升數學活動經驗。二、教學重難點重點：讓學生學會折紙做60°，30°，15°等特殊角，培養學生的動手能力并在動手過程中培養學生思考探究的習慣，養成合作交流意識；難點：讓學生通過自己的嘗試和思考折出特殊度數的角。三、學情分析學生經過之前的學習，已經初步掌握了平行四邊形相關的性質和推理論證方法。本節內容圍繞特殊的平行四邊形展開，通過折紙做特殊度數的角，再得到與之相應的一系列角度。本節課既有動手操作，又有一定的趣味性，還可以鞏固學生對矩形性質、垂直平分線性質等知識的理解運用，有效鍛煉學生的動手操作能力、觀察發現能力以及推理論證能力。四、教

3、學過程（一）創設情境，引入新課折紙是一門藝術形式，動物、花、船和人等都是折紙的創作題材，在折的過程里要用到軸對稱等數學知識。怎么樣把生活中的折紙和數學結合起來呢？今天讓我們一起探究，走進折紙的世界。（二）提出問題，深度思考課題引入：在沒有圓規、三角尺、量角器的情況下，又需要作60°、30°、15°的角，怎么得到呢？本節課就來進行折紙活動，探索解決這一問題的途徑。問題1利用一張矩形的紙片，怎么折出一個45°的角？（學生分組折疊，學生很快會折出來，引導學生分析，得出結論：對折可以平分一個角。）問題2用矩形紙片還能折出哪些度數的角？（從簡單的折紙游戲出發，提高

4、學生課堂參與度，經過學生的互相補充得出22.5°、67.5°、112.5°等度數的角。由此引導學生發現上面的結論。此過程也讓學生感受折紙可以得到角的倍分關系。）小結：在折紙過程中，怎樣得到不同度數的角？1、通過對折平分一個角；2、通過尋找余角或補角；3、通過角與角的組合；4、通過三角形或者四邊形內角和。（三）動手操作，實驗探究問題3你能試著用矩形紙片折出30°角嗎？學生先折疊，交流、討論，再由各小組代表展示本小組折疊方法。）（1）方法引導: 直接折30°角有難度，可以考慮間接獲得。學生答：可以先用矩形紙片折60°角，通過互余關系得到3

5、0°角。 如何折60°角？引導學生思考：等邊三角形中含有60°角。學生答：可以先折等邊三角形！（2）方法窺探也就是如果折一個等邊三角形，問題就解決了，怎樣得到等邊三角形呢？（3）突破重難點引導學生發現可以先折等腰三角形：折疊紙片，使點A落在矩形紙片內部某點N，折痕經過點B，得到折痕BM。由折疊的軸對稱性可得AB=BN.因此ABN是等腰三角形。由得到的等腰三角形，怎樣進一步折出等邊三角形呢?（4）解決問題（安排小組交流，利用幾何畫板進行動態演示。）方法如右圖所示：對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使

6、折痕經過點B，得到折痕BM，同時，得到線段BN.問題4在右圖中，AABN是等邊三角形,（1）操作的依據是什么？MC（請學生作答：垂直平分線的性質定理）（2）觀察所得的ZABM，ZMBN和ZNBC，這三個角有什么關系?（請學生思考并作答：ZABM=ZNBM=ZNBC=30°）（四）引發猜想，理論驗證（學生自主寫出證明過程）已知：將矩形ABCD沿EF對折，折疊AB使點A落在折痕EF上，并使折痕經過點B,得到折痕BM.同時，得到了線段BN.證明：ZABM=ZNBM=ZNBC=30°.證明：連接AN.經折疊，AB=BN,ZABM=ZNBM,且EF垂直平分AB.MV點N在線段EF上，

7、AN=BN.AB=BN=AN，ABN是等邊三角形.ZABN=60°,.ZNBC=30°,ZABM=ZNBM=30°,ZABM=ZNBM=ZNBC=30思考：還能用什么樣的方法證明？DFB（問題設計的目的在于讓學生對所學知識的清晰，能對知識間的練習融會貫通，體現數學學習的靈活性。（五）繼續實踐，探索新知（1）你能用矩形紙片折出15°角嗎？（學生自主折疊，請同學回答折疊方法并展示。(2)60°,120°以及150°角呢？（請學生作答，其實答案就在折好圖紙中。（3）還可以得到多少度的角？（引導學生小組討論，得出結果）小結：發現通過

8、折30°角的過程，可以同時產生15°45°,60°,75°,105°,120°,135°,150°,165°角，這些角都是15°的倍數。（六）知識運用，解決問題（通過補充練習，鍛煉學生對所學知識的靈活運用能力）O練1如圖，面積為1的正方形ABCD中，M，N分別為AD、BC的中點，將C點折至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ.那么，以PQ為邊長的正方形的面積等于多少？解：連接BP，PC.正方形ABCD面積為1，則BC=1.經折疊，BP=BC=1，ZBPQ=ZC=90°

9、,ZPBQ=ZCBQ.點M，N分別為AD、BC的中點，.MN垂直平分BC.V點P在MN上，PB=PC.*.PB=PC=BP，BCP是等邊三角形.ZPBC=60°，.ZPBQ=ZCBQ=30°.在RtPBQ中，設PQ=x，則BQ=2x，則x2+1=（2x匕，得x2=1,以PQ為邊長的正方形的面積等于-.33練2：如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M是邊CD上一點，將ADM沿直線AM對折，得到ANM.（1）當AN平分ZMAB時，求DM的長；（2）連接BN，當DM=1時，求ABN的面積；解：（1）經折疊，ZDAM=ZMAN,當AN平分ZMAB時，ZMAN=ZNAB,ZDA

10、M=ZMAN=ZNAB，又VZDAM+ZMAN+ZNAB=90°，.ZDAM=ZMAN=ZNAB=30°.在RtADM中，設DM=x，貝VAM=2x，貝Vx2+32二(2x)2x=p'3_，dm/3-(2)過點N作NE丄CD于點E,過點N作NF丄AB于點F，連接DN，交AM于點O.經折疊，AD=AN，MD=MN，故AM垂直平分DN.在R/ADM中,IADDM=2am'do,又AM"AD2+DM2.'32+12=，10DO=3.1010DN=巫5在RtAOD中,M0=7DM2DO2=V1Q在MND中，2DN.g2DME3312°EN=,°NF=3-=-,555S=-AB-NF=-x4x12=24.WN2255練3：如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把矩形紙片折疊，使點BI剛好落在CD邊的中點E處，折痕為AF,若CD=6，求AF.解：經折疊，AE=AB，ZAEF=ZB=90°，ZBAF=ZEAF.VCD=6，E為CD中點，.ED=3，AE=AB=CD=6.在RtADE，中取AE中點H，連接DH.貝UDH=AH=EH=3.DH=EH=ED，.ADEH是等邊三角形，ZDHE=60ZDAH+ZADH=60。且ZDAH=ZADH，.ZDAE