1、第五章 數系的擴充與復數的引入綜合測試北師大版選修 2-2時間 120 分鐘，滿分 150 分.一、選擇題（本大題共 10 個小題，每小題 5 分，共 50 分，在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的）1.下列命題中，正確的是（）A. 復數的模總是正實數B.- 復數集與復平面內所有向量組成的集合 對應C. 如果與復數 z 對應的點在第一象限，則與該復數對應的向量的終點也一定會在第一象 限D.相等的向量對應著相等的復數答案D解析復數的模大于等于 0,因此 A 不正確；復數集與復平面內所有從原點出發的向量答案B解析設z=a+bi，二z=abi.兩點關于實軸對稱.故選 B.3 .已知復

2、數z滿足(3 + 4i)z= 25,貝 Uz=()A. 3+ 4iC. 3+ 4i答案D解析設z=x+yi，二(3 + 4i)(x+yi) = 3x+ 3yi + 4xi 4y= 25,3x 4y= 25x= 3, i, z = 3 4i，選 D.4x+ 3y= 0ly= 4注意復數的運算中 i2= 1.b4.設a,b R, i 是虛數單位，則“ab= 0”是“復數a+ -為純虛數”的()A. 充分不必要條件組成的集合一一對應，因此B不對；同理 C 也不正確，因此選 D.2.如圖， 在復平面內， 點A表示復數 數的點是（）A.AC. C71*B.B0ti*D.DB. 3 4iD. 3 4iz,

3、則圖中表示z的共軛復B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析本題考查了復數的概念.充分必要條件與分類討論的思想.由ab= 0 知a= 0 且b= 0 或a= 0 且b0或a0且bbbb=0,當a= 0 且b0時，復數a+為純虛數，否則a+匸為實數，反之若a+丁為純虛數，則iiib0且a= 0，則ab= 0,故ab= 0”是a+2為純虛數”的必要不充分條件，要注意對充分i性和必要性的判斷.1 i5 .復數z=，貝 U3=z2+z3 4+z5 6+z7 8+z9的值為（）A. 1B. 1C. iD. i答案B21 i2解析z= （） = 1, 3= 1 + 1 1

4、+ 1 1 = 1.2P3：z的共軛復數為 1 + i,P4：z的虛部為一 1,其中的真命題為（）A.P2,P3B.P1,P2C. P2,P4D. P3,P4答案C解析本題考查了復數的四則運算以及復數的模，共軛復數等.2 一 1z= 一 1 + i = 一 1 +一 1 一j= 1一i,P1:|z|=.2,P2:z=2i,P3:z的共軛復數為一 1 + i ,p4:z的虛部為一 1.復數的四則運算以及復數的共軛復數，復數相等是復數的 考查重點.17.設復數z為虛數，條件甲：z+ 是實數，條件乙：|z| = 1,則（）A.甲是乙的必要非充分條件B. 甲是乙的充分非必要條件C. 甲是乙的充要條件D

5、. 甲既不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件6 .下面是關于復數z= 牛的四個命題1 + i答案C解析本題考查復數的運算和充要條件的判斷.設z=a+bi(bM0且a,b R)，則z+、1bL因為z+ m為實數，所以b=因為匕工 o.所以a2+b2= 1,所以|z| = 1.而當|z| = 1,a2+b2= 1，條件甲顯然成立.8.在復平面內，O為原點，向量OA寸應的復數為一 1 + 2i，若點A關于直線y=-x的對 稱點為點B,則向量寸應的復數為()A.- 2- iD. 1 + 2i答案B解析點A 1,2)關于直線y=-x的對稱點為R 2,1)，所以6B寸應的復數為一 2 + i ,故選 B.

6、9.復平面上三點A B、C分別對應復數 1,2i,5 + 2i，則由A B、C所構成的三角形是()A.直角三角形C.銳角三角形答案A解析1,2i,5+ 2i 對應的向量坐標為(1,0) , (0,2) , (5,2)設O為坐標原點即OA=(1,0) ,OB=(0,2) ,OC=(5,2)XB= 6B- 6A=(-1,2).EG= SC- SB=(5,0)AC= OC- OA=(4,2)則 |BC2= |AB2+1AA|2/ BAC=90，即由A、B、C所構成的三角形是直角三角形.10.若A、B是銳角ABC的兩內角，則復數z= (cosB- si nA) + (sinB- cosA)i 在復平面

7、內所對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案BB.- 2 + iC. 1 + 2iB.等腰三角形D.鈍角三角形n解析/A B是銳角ABC勺兩內角，A+B_2由得A-2 B A B為銳角ABC的內角-A( (,n,(nnB) )電( (,才才) )n又在(0 ,)，正弦函數單調遞增n sinA sin( B)即 sinA cosBcos B sinAv0n又由可得B2 An同理可得 sinB sin( A)即 sinB cosA sin B cosA 0即z對應的點在第二象限.二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分)11.若(x+ i)i = 1

8、 + 2i(x R)，貝 yx=答案2x+ i)i = 1 +xi = 1 + 2i ,x= 2.解析(12.已知1 ii 是虛數單位，計算苛=答案11.一一一 i1i 1i2=2i1 i 茫 2i 2 1 i42- 713.已知復數Z1= 2 i ,Z2=a+ (1 a)i ,在復平面內的對應點分別為R、Q, PQ 對應復數為一 3+ i，貝 Ua=答案1解析由條件可知Z2Z1= 3 + i ,2即(a 2) + (2 a)i = 3 + i ,a 2 = 32a2= 1，a=1.14._ 若zi=a+ 2i ,Z2=3- 4i，且Z為純虛數，則實數a的值為_ .Z28答案3解析設Zi=bi

9、(b R 且 0) ,zi=Z2bi，即a+ 2i =bi (3 4i) = 4b+3bi.Z2a= 4b8弋？a= 一2= 3b-a3.15.在復數 乙與Z2在復平面上所對應的點關于y軸對稱，且zi(3 i) =Z2(1 + 3i) , |zi|=寸 2，貝Uzi=_ .答案i i或i +i解析設zi=a+bi，則Z2=a+bi,-zi(3 i) =Z2(i + 3i)，且 |zi| = 2,a+bi 3i=a+bi + 3i12以 c，a+b= 2a=ia=i解得或zi= ii或zi= i +i.|b= i|b= i三、解答題(本大題共 6 小題，共 75 分，前 4 題每題 i2 分，2

10、0 題 i3 分，2i 題 i4 分)i6.實數k為何值時，復數(i + i)k10 (3 + 5i)k 2(2 + 3i)分別是(i)實數；(2)虛數；(3) 純虛數；(4)零？2解析令z= (i + i)k (3 + 5i)k 2(2 + 3i)k= 4.k2 3k 4= 0， 當仁時，z= 0,解得k= 1.k2 5k 6= 0綜上，當k= 6 或k= 1 時，z是實數；當k6且k 1 時，z是虛數;102=(k 3k 4) + (k 5k 6)i.(1) 當k 5k 6= 0 時，z R,k= 6 或k= i.(2) 當k2 5k6 工0時，z是虛數，即k工6且k工一 1.當:k2-3

11、k-4=0，k5k6 工0時，z是純虛數,當k= 4 時，z是純虛數；當k= 1 時，z是零.17.解關于實數x的方程(1 + i)x (1 i)x (2 + 6i) = 0.20.已知 |Z1| = 1, |Z2| = 1, |Z1+Z2| =3，求 | 乙一Z2|. , 2 2解析原方程化為：(Xx 2) + (X+x 6)i = 0 x x 2 = 0 x R,.根據復數相等的定義得0,充要條件為*b0,解析由題意，知2帀m- 64 或n 1,2mr3. 2m 1.即m的取值范圍是n|m R,且一 2m 1.19. 已知虛數z滿足 |2z+ 1 i| = |z+ 2 2i|(1) 求|z

12、|的值；1(2) 若m甘 R 求實數m的值.解析(1)設虛數z=a+bi(a,b R 且b 0)代入 |2z+ 1 i| = |z+ 2 2i| 得|2a+ 1 + (2b 1)i| = |(a+ 2) + (b 2)i| , (2a+ 1)11 12+ (2b 1)2= (a+ 2)2+ (b 2)2整理得a2+b2= 2,即 |z| = 2.(2)由(1)知，z=a+bi 其中a,b R,且b*0.1a2+b2= 2，又知 m R,m牡- Rz1 , 1mz-=m(a+bi) +-z a+biabi11=m升mb+ 2_ =ma+ mb+a：bia+b221 1=(m時？a) + (mb-

13、?b)i111 1mb-尹=0 m=2/ (mz) Rz分析思路一：為了表示復數的模及進行復數的加減運算，可將Z1、Z2設出，然后解答.思路二：復數的加法、減法及模都有一定的幾何意義，可用圖形解答.解析解法一：設zi=a+bi ,Z2=c+di(a,b,c,d R).由已知，得a2+b2= 1,c2+d2= 1,(a+c)2+ (b+d)2=3.2 2 2 2 2 2又/ (a+c) + (b+d) =a+b+c+d+ 2ac+ 2bd= 2 + 2ac+ 2bd= 3. 2ac+ 2bd= 1.又 Izi-Z212= (ac)2+ (b-d)2=a2+b2+c2+d2 2ac 2bd= 2-

14、 1 = 1, |Zi-Z2| = 1.解法二：在復平面內設Z1,Z2分別對應向量OZ、OZ,則對角線OZ寸應乙+Z2,NZ對應Z1Z2，由已知 |0Z| = 1, 10Z| = 1, |OZ= 3./OZZ= 120./Z2OZ= 60.在厶OZZz中，|Z2Z1I = 1，即 |Z1Z2I = 1.221.已知關于x的方程x (6 + i)x+ 9 +ai = 0(a R)有實數根b.(1)求實數 a,b的值；若復數z滿足|Zabi| 2|z| = 0,求z為何值時，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解析(1)因為b是方程x2 (6 + i)x+ 9+ai = 0(a R)的實數根,2 2所以b (6 + i)b+ 9+ai = 0,即(b 6b+ 9) + (ab)i = 0,b2 6b+ 9= 0,故解得a=b= 3.a=b,(2)設z=x+yi(x,y R