1、桿件變形能的計算桿件變形能的計算虛功原理虛功原理第九章第九章 能量法能量法單位載荷法單位載荷法圖形互乘法圖形互乘法互等定理互等定理9-1 概概 述述 在彈性范圍內，彈性體在外力作用下發生在彈性范圍內，彈性體在外力作用下發生變形而在體內積蓄的能量，稱為變形而在體內積蓄的能量，稱為彈性變形能彈性變形能，簡稱變形能簡稱變形能(應變能應變能)。 物體在外力作用下發生變形，物體在外力作用下發生變形，物體的變物體的變形能在數值上等于外力在加載過程中在相應位形能在數值上等于外力在加載過程中在相應位移上所做的功移上所做的功，即：，即：V=W9-2 桿件變形能的計算桿件變形能的計算一、軸向拉伸和壓縮一、軸向拉伸

2、和壓縮WV PPll12Pl12PPlEAEAlFEAlPN2222lNxxEAxFVd)(2)(2 二、扭轉二、扭轉WV mm12m 122222mmlG Im lG IT lG IppplpxxIGxTVd)(2)(2 三、彎曲三、彎曲WV 純彎曲：純彎曲：橫力彎曲：橫力彎曲：lxxIExMVd)(2)(2 12m12mmlEIm lEIM lEI2222四、組合變形四、組合變形llplNxxIExMxxIGxTxxAExFVd)(2)(d)(2)(d)(2)(222 截面上存在幾種內力，各個內力及相應的截面上存在幾種內力，各個內力及相應的各個位移相互獨立，力的獨立作用原理成立，各個位移相

3、互獨立，力的獨立作用原理成立，各個內力只對其相應的位移做功。各個內力只對其相應的位移做功。五、外力功的一般表達形式五、外力功的一般表達形式1.載荷作用點沿載荷作用方向的位移分量，稱為載荷作用點沿載荷作用方向的位移分量，稱為載荷載荷的相應位移的相應位移2.基本公式基本公式WV 位移力=21F21=F廣義力廣義力廣義位移廣義位移F廣義力與廣義位移的相應關系：廣義力與廣義位移的相應關系：FmFF mm六、應變能的一般形式六、應變能的一般形式)(xFNdx d)(xTdx ddx)(xM d222 dxMdxTdxFdWdUN)(+)(+)(=EIdxxMGIdxxTEAdxxFPN222222)(+

4、)(+)(=EIdxxMGIdxxTEAdxxFUPN222222)(+)(+)(=適用圓截面桿適用圓截面桿非圓截面桿非圓截面桿zzyyPNEIdxxMEIdxxMGIdxxTEAdxxFU22222222)(+)(+)(+)(=)(xFN)(xM)(xTdx解：解：截面截面B的撓度與轉角分別為的撓度與轉角分別為EIlMEIPlvvveMBPBBe2323+=+=,EIlMEIPleMBPBBe+=+=,22 222 322622eBeeBMPM lM lPvP lWEIEIEI22 3,2262eeB MB PeMPvM lP lWEIEI即外載荷所作的總功不能用疊加原理即外載荷所作的總功不

5、能用疊加原理例：計算圖示懸臂梁外力所作總功。彎曲剛度例：計算圖示懸臂梁外力所作總功。彎曲剛度EI為常數。為常數。eM解：解：M xP x( ) UMxEIxl22( )d()PxEIxl202dP lEI2 36WP vB12由，得UWvPlEIB33例：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求例：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端自由端B的撓度。的撓度。 例：試求圖示梁的變形能，并利用功能原例：試求圖示梁的變形能，并利用功能原理求理求C截面的撓度。截面的撓度。解：解：UMxEIxl22( )dP bEI laP aEI lb222322232323WP vC12PblxEIxPa

6、lxEIxab1210222022ddP a bEI l2226由，得：UWvPa bEI lC223例：試求圖示梁的變形能，并利用功能原理求例：試求圖示梁的變形能，并利用功能原理求C截面截面的撓度。的撓度。例：試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，并利用功能例：試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，并利用功能原理求原理求B截面的垂直位移。已知截面的垂直位移。已知EI 為常量。為常量。解：解：MPR( )sinWPBV12由，得：UWBVPREI34UMEIRl22( )d(sin )PREIR2022dP REI238 例：軸線為半圓形的平面曲桿，作用于例：軸線為半圓形的平面曲桿，作用于A端的集中力端的

7、集中力P垂直于軸線所在的水平面。試求垂直于軸線所在的水平面。試求A點的垂直位移。點的垂直位移。已知已知GIp、EI為常量。為常量。解：解：,( )sinMPRWPAV12由，得：UWAVpPRGIPREI32233RUTGIRMEIRpll2222( )( )ddTPR( )(cos )13442323P RGIP REIpMTxz 9-3 虛功原理虛功原理一、剛體虛功原理：一、剛體虛功原理：對于處于平衡狀態的任意剛體，作用于其上的力系對于處于平衡狀態的任意剛體，作用于其上的力系在任意虛位移或可能位移上所作的總虛功為零。在任意虛位移或可能位移上所作的總虛功為零。二、變形體虛功原理：二、變形體虛

8、功原理：1.實功與虛功實功與虛功位移是由作功的力引起的位移是由作功的力引起的實位移實位移力在實位移上所作的功力在實位移上所作的功實功實功位移不是由作功的力引起的，而是其它因素位移不是由作功的力引起的，而是其它因素(溫度變化溫度變化)引起的引起的虛位移虛位移力在虛位移上所作的功力在虛位移上所作的功虛功虛功2.內虛功與外虛功內虛功與外虛功)(xqPFFeMlxdx現采用某種方法給出桿的虛位移：現采用某種方法給出桿的虛位移：dxqdxNFNFSFMMTTdx* ddx* ddx*d（靜力狀態）（靜力狀態）（位移狀態）（位移狀態）作用在微段上的可能內力所作的虛功：作用在微段上的可能內力所作的虛功：*+

9、= MdTddFdWNi*()iNlWF dTdMd作用在所有微段上的可能內力在相應作用在所有微段上的可能內力在相應虛變形上所作的總虛功虛變形上所作的總虛功內虛功內虛功iW當桿發生虛位移時，作用于其上當桿發生虛位移時，作用于其上的外力在虛位移上作虛功，其總的外力在虛位移上作虛功，其總功功外虛功外虛功eW3.變形體虛功原理變形體虛功原理外力在虛位移上所作外虛功恒等于可能內力在虛變形上外力在虛位移上所作外虛功恒等于可能內力在虛變形上所作內虛功（虛應變能）：所作內虛功（虛應變能）：eiWW =注意：注意：1.對于所研究的力系（外力與內力）必須滿足平衡條件與靜對于所研究的力系（外力與內力）必須滿足平衡

10、條件與靜 力邊界條件；力邊界條件；2.對于所選擇的虛位移應當是微小的，而且滿足變形連續條對于所選擇的虛位移應當是微小的，而且滿足變形連續條 件；件；3.變形體虛功原理不僅適用于線彈性體，而且適用于非線性變形體虛功原理不僅適用于線彈性體，而且適用于非線性彈性材料。彈性材料。9-4 單位載荷法單位載荷法Ann問題：求任一點問題：求任一點A沿任意方位沿任意方位n-n的位移的位移-Ann10=P（靜力狀態）（靜力狀態）（位移狀態）（位移狀態）（以實際載荷所引起的位移作為單位力系統的虛位移）（以實際載荷所引起的位移作為單位力系統的虛位移）（以實際載荷所引起的位移作為單位力系統的虛位移）（以實際載荷所引起

11、的位移作為單位力系統的虛位移）外虛功：外虛功：內虛功：內虛功：( )( )( )iNlWFx dT x dM x d根據變形體虛功原理根據變形體虛功原理=1eW( )( )( )NlFx dT x dM x d 注意：注意：1. 應理解為廣義位移；應理解為廣義位移；2. 為單位載荷的可能內力；為單位載荷的可能內力；)(),(),(xMxTxFN對于靜定結構，就是單位載荷引起的內力。對于靜定結構，就是單位載荷引起的內力。上述計算位移的方法稱為上述計算位移的方法稱為單位載荷法單位載荷法對于線性彈性桿，微段的變形為：對于線性彈性桿，微段的變形為：EAdxxFdN)(= PGIdxxTd)(= dd=

12、M(x) xEI( )( )( )NlFx dT x dM x d ( )( )( ) ( )( )( )NNlllPFx FxT x T xM x M xdxdxdxEAGIEI 注意：注意： 為單位載荷的內力；為單位載荷的內力；)(),(),(xMxTxFN 為實際載荷的內力；為實際載荷的內力；)(),(),(xMxTxFN梁或剛架：梁或剛架：( )( )lM x M xdxEI 軸：軸：( ) ( )lPT x T xdxGI 絎架：絎架：=)()(=niiiiNiNiAElxFxF1以上各式統稱為：莫爾定理（莫爾積分）以上各式統稱為：莫爾定理（莫爾積分）例：試用單位載例：試用單位載荷法

13、計算圖荷法計算圖(a)所所示懸臂梁自由端示懸臂梁自由端B的撓度和轉角的撓度和轉角PABABABlxxx11(a)xxMPxxMbB-1=)(,=)()(,)(所示如圖截面作用一單位力在解：( )( )d dBlM x M xvxEI PxEIxl20d PlEI33PABABlxx1(a)(b)1-2=)(,=)()(,)(xMPxxMcB所示如圖截面作用一單位力偶在( )( )d dBlM x M xxEI PxEIxld0PlEI22ABx1(c)aaACB例：圖示剛架例：圖示剛架EI已知，試已知，試用單位載荷法計算圖示梁用單位載荷法計算圖示梁橫截面橫截面A的水平位移。的水平位移。11x2

14、x1x2x課堂練習：課堂練習：q1111222222(),()2(), ()2qaM xxM xxqM xqaxxM xx11220102444()()()()536248 d dd daaAHM x M xM xM xxxEIEIqaqaqaEIEIEIR ABFF例：試用單位載荷法計算圖所示梁截面例：試用單位載荷法計算圖所示梁截面A和和B間的相對間的相對轉角。轉角。 AB解：在解：在A和和B截面處加一對轉向相反的單位力偶。截面處加一對轉向相反的單位力偶。曲桿在單位力偶作用時內力：曲桿在單位力偶作用時內力：1-=)( M11曲桿在實際載荷曲桿在實際載荷F作用時內力：作用時內力： sin=)(

15、FRM-0( )( )ABM x M xRdEI截面截面A和和B間的相對轉角：間的相對轉角：2012sin )( (- -1 1) )( (- -FRFRRdEIEI例：計算圖（例：計算圖（a）所示開口圓環在）所示開口圓環在 P力作用下切口的力作用下切口的張開量張開量 AB ，EI=常數常數( )(1 cos )( )(1 cos )- - - - -MPRMRd0( )( )2d dABMMREI21220PREIR(cos )d33PREI解：解：例：半圓形小曲率曲桿的例：半圓形小曲率曲桿的A端固定，在自由端作用扭端固定，在自由端作用扭轉力偶矩轉力偶矩m，曲桿橫截面為圓形，其直徑為，曲桿橫

16、截面為圓形，其直徑為d。試求。試求B端的扭轉角。已知端的扭轉角。已知E、。解：解：R sin=)(,cos=)(sin=)(,cos=)(MTmMmT00( )( )( )( )ddddBpTTMMRRGIEI mGIRmEIRpcossin2020ddmRGImREIp22RmGIEIp21132 24()RmEdGE2 1 ()例：圖示為一簡單絎架，其各桿的例：圖示為一簡單絎架，其各桿的EA相等。求在相等。求在F作用下作用下A、C點間的相對位移。點間的相對位移。ABCDEFF123456789解：解： 先把絎架的桿件編號。先把絎架的桿件編號。由靜力學知識求出各桿軸力由靜力學知識求出各桿軸力

17、FNiABCDEF12345678911為了求為了求ACAC，在，在ACAC連線方向作連線方向作用一對單位力。用一對單位力。單位力作用下各桿的軸力為單位力作用下各桿的軸力為NiF91NiNiiACiF F LEAd=9-5 圖形互乘法圖形互乘法 在應用單位載荷法求位移時，需計算莫在應用單位載荷法求位移時，需計算莫爾積分：爾積分：( )( )d dlM x M xxEI ( )( )d dlM x M xx對于等直桿，對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，可以提到積分號外，故只需計算積分故只需計算積分 tg=)(xxM( )( )( )d dt tg gd dllM x M xxx M

18、 xxCx= tgCM= 直桿的直桿的 圖必定是直線或折線。圖必定是直線或折線。)(xM( )( )d dlCM x M xxEIME I 這種將互乘函數的積分運這種將互乘函數的積分運算轉化為函數圖形幾何量算轉化為函數圖形幾何量相乘的計算方法稱為相乘的計算方法稱為圖乘圖乘法法注意注意：1.1.若若 圖為折線時，必須分段進行計圖為折線時，必須分段進行計算，并以算，并以 圖的轉折點作為分段的交圖的轉折點作為分段的交界點；界點；)(xM)(xM2.2.若載荷彎矩圖的形狀比較復雜時，可若載荷彎矩圖的形狀比較復雜時，可以將它劃分為幾個簡單的圖形，使每一以將它劃分為幾個簡單的圖形，使每一部分的圖形的形心坐

19、標都能較容易確定，部分的圖形的形心坐標都能較容易確定，然后分別與然后分別與 圖圖乘，再求和。圖圖乘，再求和。)(xM1 2 1C2C1CM2CM1 1C2 2C1CM2CM3.3.若載荷較多時，可把每個載荷單獨作用下的彎矩圖分別若載荷較多時，可把每個載荷單獨作用下的彎矩圖分別 畫出，分別與畫出，分別與 圖圖乘，然后再求和；圖圖乘，然后再求和；)(xM4.4.規定當規定當 圖與圖與 圖在圖在 軸同側時，圖乘結果為正；若軸同側時，圖乘結果為正；若 在在 軸異側時，圖乘結果為負。軸異側時，圖乘結果為負。)(xM)(xMxx頂點頂點頂點頂點23lh13lh二次拋物線二次拋物線解：解：vM x MxEI

20、xME IBlC( )( )00d12232EIPll PlEI33例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉角。的撓度和轉角。1. 求求B點撓度：點撓度：BEIPl1212PlEI22順時針2. 求求B點轉角：點轉角：解：解：vEIlqllmax223285322 53844qlEIql28/l / 4例：試用圖乘法求所示簡支梁的例：試用圖乘法求所示簡支梁的最大撓度和最大轉角。最大撓度和最大轉角。1. 求最大撓度：求最大撓度：max 1238122EIlqlqlEI324ql28/2. 求最大轉角：求最大轉角：()解：解：vEIlPllmax212246 P

21、lEI348例：試用圖乘法求所示簡支梁的例：試用圖乘法求所示簡支梁的最大撓度和最大轉角。最大撓度和最大轉角。l / 4Pl / 41. 求最大撓度：求最大撓度：max 112412EIlPlPlEI216Pl / 4M02. 求最大轉角：求最大轉角：()解：解：vEIlmC1822 mlEI216例：試用圖乘法求所示簡支梁例：試用圖乘法求所示簡支梁C截面的撓度和截面的撓度和A、B截面的截面的轉角。轉角。l / 41.求求C截面的撓度：截面的撓度：AEIml1213mlEI6順時針2. 求求A截面轉角：截面轉角：BEIml1223mlEI3逆時針3. 求求B截面轉角：截面轉角： 例：試用圖乘法求

22、所示懸臂梁自由端例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的的撓度和轉角。撓度和轉角。解：解：vEIlqllB132342 qlEI48ql221.求求B截面的撓度：截面的撓度：BEIlql13212qlEI36順時針ql222.求求B截面轉角：截面轉角： 例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點C處的處的鉛垂位移。鉛垂位移。解：解：vEIlmC182 mlEI28 例：圖示梁，抗彎剛度為例：圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載，承受均布載荷荷q及集中力及集中力X作用。用圖乘法求：作用。用圖乘法求： (1)集中力作用端撓度為零時的集中力作用端撓度為零時的X值；值； (2)集中力作用端

23、轉角為零時的集中力作用端轉角為零時的X值。值。解：解：(1)vEIXalaXaaqlaC122322312223 0ql28/Xqla la38 ()(2)CEIXalXaql 122321121223 0ql28/Xqlala3423() 例：軸線為半圓形的平面曲桿例：軸線為半圓形的平面曲桿,位于水平面內位于水平面內,在自由端受垂直力在自由端受垂直力P作用。試求自由端作用。試求自由端A的垂直的垂直位移、繞位移、繞x軸的轉角和繞軸的轉角和繞y軸的轉角。已知軸的轉角。已知 GIp、EI為常量為常量解：解：(1),( )sinMPR32233PRGIPREIpRAVpllTTGIRMMEIR( )

24、( )( )( )00ddTPR( )(cos )1TR01( )(cos ),( )sinMR0PRGIRPREIRp2202201 (cos )sindd(2),( )sinMPRRAxpllTTGIRMMEIR( )( )( )( )00ddTPR( )(cos )1T0( )cos,( )sinM0 (3),( )sinMPRRA ypllTTGIRMMEIR( )( )( )( )00ddTPR( )(cos )1T0( )sin,( )cosM0 例：圖示梁的抗彎剛度為例：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求，試求D點的點的鉛垂位移。鉛垂位移。解：解：23223DPaavEIPaEI3 例：用圖乘法求圖示階梯狀梁例：用圖乘法求圖示階梯狀梁A截面的轉截面的轉角及角及E截面的撓度。截面的撓度。解：解：APaEIPaEI22125612162212PaEI233112233122EPavEIPaEI13123PaEI 例：圖示剛架，例：圖示剛架，EI=const。求。