1、十四、路徑之“瓜豆原理”一、圓弧型“瓜豆”題1.（2019年樂L）如圖141一1,拋物紋），=%-4與x軸交于A、8兩點，尸是以點C（0,3）為圓心，2為半徑的網上的動點，。是線段外的中點，連接。則線段OQ的最大值是（）簡析1（中位線模型）：如圖14-1-2,連接8P、BC、CP,易得0。=今2：又8P的最大值為6C+CP=5+2=7,故。的最大值為選C:簡析2（瓜豆原理）：點。可看作點尸以定點A為位似中心，以3為位似比縮小而來,根據“瓜豆原理”，點Q的軌跡可看作點P的軌跡以定點A為位似中心，以;為位似比縮小而來：因為點P的軌跡是。C,所以點Q的軌跡也是一個圓，其圓心相當于，點C以定點A為位似

2、中心，以;為位似比縮小而來，其半徑為。C半役尾.常規證明如下：如圖14-1-3,連接AC并取其中點連接QM、PC、OM,易得3點“（一2,5），且QM=jPC=1,故點。在以點例為圓心，以1為半徑的OM上運動，57從而。的坡大值為。何+。何=弓+1=5,選C.反恐：方法一利用中位埃模里進行線段的轉化，屬中點潛地的處理乳略：方法二基于“瓜豆原理”判斷目標點0所在的軌跡圓，屬于“瓜豆原理”中的"中點結構”，它是“住似結構”的"IH.“立原理”在中考里不適合書寫過叁,可采取上述方法來證明.相當于把目標點。所在的軌跡回加以常規證明,對本題而言，方法一最為簡便，但方法二更為本質、更加

3、通用.題2.（2019年桂林）如圖H-2-l,在矩形ABCD中，/18=而，AO=3,點P是4D邊上的一個動點,連接HP.作點人關于直線8P的對稱點4,連接4c設AC的中點為。，當點尸從點A出發,沿邊AD運動到點D時停止運動，點。的運動路徑長為.筒析：點。可看作點人以定點C為位似中心，以（為位似比縮小而來，根據“瓜豆原理”，點。的軌跡可看作點4的軌跡以定點C為位似中心，以）為位似比縮小而來，故點。的路徑長等于點4的路徑長的右如圖14一22,連接4出，顯然48=48=血故點4在以為圈心，以鏡為半徑的08上運動：當點尸與點A重合時，點4與點人重合；當點與點ZT1R合時,作點,關于小）的對稱點/V即

4、為此時的點尸，故點P的路徑長為弧4A'的長度；易得乙48。=60。，則乙4用V=120。，故弧A/T的長度為號嚷=午;即點。的路徑長為2華，因此點。的路徑長為坐.=乎，故點。在以E為圓心，以乎為半徑的OE上運動；如圖1424,當點尸與點A重合時，點4也與點A垂合，取AC的中點Q,則點。即為點Q的起始位巴；點P與點D重合時，作點A關于BD的對稱點為4,連接AC,并取其中點。,，則點0即為點。的終止位置,故弧Q©，的長度即為點。的路徑長：易證QE/AB且。小A出，進一步可證/。/。=乙4方4=120,由此可得點Q的路徑長為華.反思：本題依然是“瓜豆原理”中的“中點練構”.顯然，“

5、瓜豆原理”中轉化成求點小的路徑長比常規過程中直接求點。的路徑長更簡便，盡管“瓜豆原理”不適合直接運用于解答期.選推埴空題但用無妨，而且“瓜豆原理”對于常規證明中輔助線的構造以及思跖的彩成都有克接的指引之效.也就是說,可以用“瓜豆原理”去尋找思路、確定答案，用常規證明去書寫過程，這也是于新華老師經常教導的“想有背景，解不超煙；上下貫穿，靈活自如”！題3.如圖14-3-h在ABC中，NACB=90°,BC=6,tanZ4C=1,AQ=4,將線段A£繞點A旋轉，連接8D,E為RD中盤,則線段CE長度的最大值為.圖14-3-1簡析1（中位線法D:如圖M32,延長8C至點尸，使CF=

6、C,連接。尸、AF,易證CE=3dF;又A=4,A=A8=6/，故6/一40。萬WWB+4,即D尸的最大值為噸+4,從而CE的最大值為3班+2；簡析2（中位線法2）:如國1433,取48的中點F,連接EF、CF,則EFD=2,CF=4B=35,從而有3m一2W0/近3出+2,即CE的最大值為3m+2：簡析3（瓜豆原理）：點E可著作點。以定點B為位似中心，以T為位似比縮小而來,每一個點E都是相應的點D經過同樣的位似變換而來，而點D的運動路徑是平徑為4的O4.故點E的運動路徑也是一個圓，而且可看作由經過相同的位似變換而來，其惻心亦然，即為A8的中點R如圖14-34所示，點E在半徑為2的。尸上運動，

7、因此C£的最大值為C/+2=3+2、反思：前兩種解法都屬于中點處理策略，即“中點+中點T中位線”，前者通過延長的方式,，后本通過取中點的方式：方法三仍屬“瓜豆原理'中的“中點結構”，從點的變換到彩的變換，體現了局部與整體之間的關取，這也是國彩變換的本段認識，而且方法三對方法二有指引作用.題（如圖14-4-1.已知正方形"CD的邊長為2,是正方形相C。內部的一動點,且NAH）=9（r,連接CP取其中點可，則線段的最小值為.簡析1（中位線法），如圖14-4-2,延長CB至點。，使BQ=BC,連接PQ.貝U8M=力。,要求""的最小值,只需求PQ的最小

8、值：lllZ4PD=90°,可知點P在以AD為直往的0。上運動，連接OP、0Q,則PQN。一。尸，即尸。的最小值為。-0P；再作QG_LZ）A于點G,可得。=仃，PQ=l,故尸。的最小值為531,從而的最小值為亞|二1:簡析2（瓜豆原理）：如圖14-4一3,同匕點P在以4/）為宜行的。上運動.基于“瓜豆原理”分析，點”也在一個圓上運動，其圓心為0C的中點O,其半徑。”等于。半徑02的;：連接。E作07/_L8c于點，可求得8M的最小值為05-0”班-12,反思：本題是他國與“瓜豆原理”結合的典例，以上幾題的共通之處都涉及“瓜豆原理”中所謂的“中點結構”.只有這樣從結構上去分析問題才能

9、認清本痂，找到通法，也只有從結構上去看問題，才能一眼布穿方法，一眼看到結果.題5.如圖M51,已知正方形A8C0的邊長為2,以點A為留心，1為半徑作圓，點E是上的任意一點,點E繞點。按逆時針方向旋傳90°得到點兄連接ARM4F的最大值是.簡析】（瓜豆原理）：如圖1452,點尸由點E繞定點。按逆時針方向旋轉90°而來，基于“瓜豆原理”分析，點F的軌跡可由點£的軌跡（即。A）繞定點。按逆時針方向旋轉90°而來,故點尸的乳跡也是一個圓，其圓心即為點C,半徑"=八七=1：常規證明如下：連接AE、CF,可證尸（5AS）,則CF=A£=】，故點尸

10、在以點C為圓心，以1為半徑的。C上運動：連接AC,可得AF的最大值為人。+1=2m+】：簡析2（相對運動）：如圖14-b3,點尸山點E繞定點。按逆時H方向旋轉90。而來，反過來，將線段人尸身定點。按順時針方向旋轉90°得到線段A'E，則八產=4'£:易求/VE的最大值為2隹+1,故4產的最大值為2&+1.反思：以上兩種解法都是縣于點的變換與圖彩的變換之間的關浜性分析得到的，方法一屬于“瓜豆原理”中的“旋轉結構”，可借助旋轉型全等加以常規說理：方法二采取了相對運動策略，將目標城段人"族#至4'£.轉化成常規的“點明距禺”問題

11、“怎么榜過去，怎么轉回來”，相對運動策略往往是解決&雜問題的良方，需引起關注.題6.（2018年南通）如圖14-61.在正方形中，AB=25.。是8c邊的中點，點£是正方形內一動點，OE=2,連接DE,將線段0E繞點。逆時針旋轉90。得。尸,連接AE、(1)(2)(3)CF.求證：AE=CFt若A、仄。三點在同一條直線上，連接。兄求線段。尸的長:求線段。尸長的最小值.圖14-6-1簡析：(1)易證故AE=CF(2)方法一(解OCQ：如圖14-6-2,作OG1rC于點G,由(1)可得。尸=AE=AO-OE=39且NOCG=NOAB,進一步可得OG=1,CG=2>從而FG=

12、4,OF=y26i圖14-6-2方法二（垂直處理）：如圖1463,作EKL4。于點K,再過點尸作4。的垂線，垂足為G，交8c的延長線于點，易得DEK04FDG,則DG=EK=羋，AK=羋，FG=DK=¥，從而尸，=羋，0/7="卮，故。尸=小：50（3）方法一（瓜豆原理）：如圖14-64,點尸由點£繞定點。按逆時針方向旋轉90°而來，基于“瓜豆原理”分析，點”的軌跡可由點E的軌跡（即不含端點的半。）繞定點。按逆時針方向旋轉9CT而來，故點尸的機跡也是一個圓，其圓心。'可由點。繞定點。按逆時針方向旋轉90°而來，其半徑ON=OE=2*常規

13、證明如下：連接OD,并將OD繞點D逆時針旋轉90。得O'D,連接0H可證。£92X。'。尸（SAS'）,則OF=OE=2,故點尸在以點。'為圓心，以2為半徑的。'上運動：連接。'，則。=5,故。尸的最小值為。方法二（相對運動）；如圖14-6-5,點廣山點E繞定點。按逆時針方向旋轉90°而來，反過來，將線段。尸繞定點。按順時針方向旋轉90。得到線段OE,則。尸要求。尸的最小值，只需求OE的最小值；連接。1同上易得0七的最小值為。，一。£=56一2,故OF的最小值為。一。如=砧一2.反思：（2）中方法一相當于解AOCE比

14、方法二中的垂克處理簡便的多，而且在解O”的過程中，考慮到數據特抽，這里過點。作CF的垂線段比過點F作。C的垂線段的運兒更加簡找.總之，多思考、多現蔡，總會有出典不意的收獲！（3）是他倒與“麻豆原理”+“技轉集構”然合的典例，方法一找到了目標點所在的軌邊半陰，可利用凝轉/XODE至O'OF的方式加以常規說理：方法二再次運用相對運幼策喀，化繁為簡，化磔為易，這兩種方法往往都是解決此典問題的通法.題7.如圖14一71,矩形A8c。中，A8=6.BC=9,以。為例心，3為半徑作OD.E是G）D二一動點，連接4E,以AE為直角邊作RtAAEF,使NEA尸=90。，且liin/AE/=k則點/與點

15、C之間的最大距離為.kJ簡析，如圖1472,點尸可看作點£先繞定點人按順時針旋轉90。，再以定點A為位似中心，以;為位似比縮小而來，基于“瓜豆原理”分析，點F的軌跡可看作點E的軌跡（即。）先繞定點人按順時針旋轉90。，再以定點A為位似中心，以;為位似比縮小而來，故點尸的軌跡也是一個EI，其圓心。可由點。先繞定點A按順時針旋轉90。再以定點A為位似中心，以J為位似比縮小而來，即為A8的中點，其半徑OF=1E=l：JJ第7頁共26頁常規證明如下：取45的中點0,連接。，可證AEFs/'a。，進一步可證ADEs/Mof,則器=器=/印。/=如=1，故點尸在以點。為131心，以1為半

16、徑的0。上運動，由此可得C尸的最大值為OC+OF=3/+1.反思：本題是“瓜豆原理”中的“旋轉包似結構”，可借助“就杼相似”加以常觀說理，可見“瓜豆原理”與“旋豺相似,之何有密不可分的取系.且前者對后者的輔助圾構造及思路冊成有指引之效.會改為“稹若點E在。上坨動一周.朱點,尸及過的路徑長,'可佝助"瓜立原理先捷得到點尸經過的路徑長等于點£經過的路徑長的即。同長的由此可見，“瓜豆原理”對于此類路徑長問題有絕時的秒殺之效.當然作為解客芯的話，還要根據“碇轉相似”，加以論證.題8.如圖】4一81,在正方形ABCD中，八5=2,E是邊。上一動點，連接8E,作C/_L8E于點

17、F,將C尸繞點尸順時價旋轉90。得到尸G,連&AG,則AG的最小位為.圖14-8-1簡析1（瓜豆原理）«如圖14-8-2,易得點尸在以AC為宜徑的00上運動（事實上，點尸的軌跡是四分之一,園苑），點G可看作點尸先繞定點C按逆時針旋轉45。，再以定點C為位似中心，以m為位似比放大而來，基于“瓜豆原理”分析，點G的機跡可看作點F的軌跡先繞定點C按逆時針旋轉45。，再以定點C為位似中心，以小為位似比放大而來,故點G在一個圓（弧）上運動，其副心。可由點。先繞定點C按逆時針旋轉45。,再以定點C為位似中心，以出為位似比放大而來，其半徑。6=派。/=*:常規證明如下：作等原RtAOCO其

18、中/（7。'=901連接or>O'G,可證"sACTCG,則徐=含=必，即。G=g,故點G在以0,為圈心，以乖為半徑的。，上運動（事實上，點G的軌跡是四分之一圓孤，即孤3C）,從而AG的垃小他為人。：連接AC,在RtAAC。'中，可求得A0'=5,所以4G的最小值為赤一乖：14-8-2圖14-8-3簡析2（相對運動）：如圖1483,點G可看作點尸先繞定點C按逆時針旋轉45。,可以定點C為位似中心，以也為位似比放大而來，反過來，將線段AG先繞定點C按悵!時針旋轉45。，再以定點C為位似中心，以為位似比縮小可得到紋段。尸（事實上，只鎘考慮點A經過上述

19、變換得到點。即可），即ACGszDCR型喘=能一小，即AG小DF；要求AG的最小值，只需求DF的最小值；由點?在以6C為直徑的0。上運動，易得。尸的最小值為小一1,所以AG的最小值為限f.反思：本題是險阻與“瓜豆原理”中的“旋轉位似結構“妹合的典例，方法一星于“瓜豆原理”分析點的變換與就近變換之何的同步性，得到目標點G所在的軌跡圓弧，將問題傳化為“點圓距離”，共冷點是確定圓心。妁位里，尹實上，圜心。，可看成總F所在的囿心經過同步變換而來，即“集體行動，步調一致”，所有的點新在作同步運動；方法二的本質可著作旋轉相似彩，但不可否認的是，比法依然是從點的變換的視角,結合相對運動策略而想到的，所以說“

20、瓜豆原理”中涉及的變換思忠對于很多常垸解法具備指引之效.題9.已知在AABC中，AB=AC./8AC=a,直線/經過點A(不經過點B或點C),點C關于理線/的對稱點為點。，連接5D、CD.(1)如圖149一1,求證：點氏C、。在以點4為圓心，A8為半徑的圓上；(2)如圖14一9-2,當a=60°時，過點D作8。的垂線與直線/交于點E,求證，AE=BD；(3)4nM14-9-3,當a=90°,AB=2時，記直線,與CQ的交點為F,連接8F將直線/繞點八旋轉，直接寫出線段3"K度的最大俵.簡析：(1)如圖14-9為E1心，AB為半徑的陽上；(2)如圖149一5,連接C

21、E,可證ZUBC、均為等邊三角形，進一步可證4ACEW4BCD,故AE=BD：(3)方法一(三角形三邊關系)：如圖14一96.1KAe的中點例，連接BM、MF、AD.易得RA，=.MF=AD=AC=.又AW+“尸故A南+1,即8戶的最乙乙大值為小+1:方法二(瓜豆原理):如圖149一7,由AD=AC=2,可知點。在以點A為圓心,以2為半徑的。A上運動：點尸可由點0以定點C為位似中心，以;為位似比縮小而來,基于“瓜豆原理”分析，點廣的軌跡可由點。的軌跡（叩QA）以定點c為位似中心，以2為位似比縮小而米，其囪心即為AC的中點其半徑為I，山此易得8尸的垃人值為6M+“5=價+1：方法三（中位線法）：

22、如圖14-9-8,延長C6至點P,使BP=BC,連接用、AD.PD,易iiE5F=；PD,要求8”的最大色，只需求尸D的術大值：顯然點。在以點人為用心，以2為半徑的上運動，從而尸Q的最大值為雨+4）；作人G_L8C于點G，可求以=2季，故PD的最大值為2乖+2,所以"的最大值為乖+1反思：本題是吃圓與“瓜豆原理”中的“中點結構.結合的典例.方法二對于方法一的輔助線構造行一定的指引之故.方法一與方法三都涉及構造中位線模型,前者通過取中點的方式，后者通過延長的方民，這兩種方式都是構造中位線常見的方法.“瓜豆原理”不伍可以解決路徑與最值問題，還可以解決面積問題等.題10.如圖14101,。

23、尸在第一象限，半徑為工動點A沿著。P運動一周，在點A運動的同時，作點A關于原點。的對稱點B,再以A"為邊向左上方作等邊AABC則點C的著點八運動所形成的圖形的面枳為.變式1：如圖1410-2,若將等邊ZM8C改為等腰RLM8C,其余條件不變，則點C隨著點4運動所形成的圖形的面積為:變式2,如圖14103,若將等邊ABC改為等股A3C,旦NAC5=12（T,共余條件不變.則點C前若點人運動所形成的圖形的面積為.簡析：如圖14104,連接CO,則NAOC=90，=/，故點C可由點A先繞定點。逆時針旋轉90°，再以定點。為位似中心，以2弓為位似比放大而來，基于“瓜豆原理”分析，點

24、C的軌跡可由點人的枕跡（即。P）先繞定點。逆時針旋轉加,再以定點。為位似中心，以水為位似比放大而來，由此可知，點c的軌跡也是一個圓，其半徑是OP半徑的西倍，即3小，故其面積為27心即點C隨著點A運動所形成的圖形的而枳為273c.變式I：如圖14105,連接OC,則能=】，同上可得，點C隨著點/運動所形成的圖形的面積為9n；變式2：如圖14106,連接。C,則蜉=乎，同上可得，點C隨著點八運動所形成的圖形的面積為3兀反思：這幾個問題的共通之處都是通過連接0C,借助“三線合一”定理，將"三動點”箏腰三角彩問題轉化為“雙動點”直向三角形問題，結合“瓜豆原理”中的“旋轉住似”結構，從而瑜定從

25、動點C的就跡.“瓜豆原理”常與旋轉或位似變換掛鉤，事實上，它也可與平移變換等其他的各類變換關聯，請奇下例：題1L如圖1411一1,在。中，弧A8所對的圓心角/人。8=108。，點C是。上的一動點，以A。、AC為鄰邊構造Z2Z4ODC,當NA=。時，線段8。的長度最大.簡析：如圖14一11一2,點。可由點C沿著人。的方向向右平移人。個單位得到，故點。的軌跡可由點C的軌跡(0。)沿著4。的方向向右平移4。個單位得到，即點D的軌跡也是一個陰，其圓心。可由點。沿著A。的方向向右平移4。個單位得到，其半徑0D等于。C,從而當8。為0O,的直徑時，線段8。的長度最大，此時NBO7)=180。：又易得點。在

26、。上，則NOO'8=)/AO8=54。，/OO,O=N4OC=180。-54。=126。，從而NA=27，即當N<=27。時，線段8D的長度最大.反思：本題可理解為平移類“瓜豆”，中“瓜豆原理”中的“平移結構”，判斷點D所在的軌跡圓是解題的關佬.二、直線型M瓜豆R題12.（2019年泰安）如圖14121,矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為A8的中點，尸為EC上一動點，尸為。尸中點，連接一叢則PB的最小值是（）A.2B.4C心D.2m簡析1（瓜豆原理），加圖14122,點。可由點尸以定點O為位似中心，以9為位似比縮小而米，基于“瓜豆原埋”分析，點尸的軌跡可由點尸的凱跡（即線段

27、EC）以定點D為位似中心，以I為位似比縮小而米，即點。的軌跡為的中位線何M連接易證BM工MN,故.PBmBM=2yJi,當且僅當點與點M重合，即點"與點C垂合時取等,所以P8的最小值是2m，選D.常規證明如下？取CO的中點M,連接。則必是0）產的中位線,故從而NDMP=NDCE為定角,所以點P在一條11線上運動，下略：簡析2（中位線法），如圖14-12-3,連接DB并延長至點Q,使BQ=BD,連接Q凡則PB=+Q要求3的最小值，只需求”。的地小值；連接QC,作QGJ_OC于點G,易證QG=28C=4,且CG=CO=4,進一步可證QC上CE,故FQ2CQ=4戊,從而照的最小值是2乖，選

28、D.反思：本題是“瓜豆展理”中的“中點結構”，且為“直線型瓜豆”，即“直線生直線”，方法一確定點”的就跡線段MN是解颼的關佬，這里首先乩于點的變換視角可以輕易找到其軌跡.然后利用“夾所定住法”進行常規說理，最后結合“垂線段遺短”求最依；方法二通過延長的方式構造中位線結構進行線段的轉化，這里的輔助線構造還可以看作是相對運動策略的指引，即點可由點F以定點。為位以中心，以為位似比縮小而來，反過來，將線段-8以定點。為位以中心，以2為位似比放大得到FQ（只需找到點“的對應點。即可），從而將m的最小依轉化為尸。的最小值.題13.（2019年宿遷）如圖14131,正方形ABCO的邊長為4,E為8c上一點，

29、且跳：=1,尸為A8邊上的一個動點，連接"，以"為邊向右側作等邊EFG,連接CG,則CG的最小值為.簡析1（瓜豆原理）：點G可由點尸繞定點E順時針旋轉60。而來，基于“瓜豆原理”分析，點G的軌跡可由點尸的軌跡（即線段AB）繞定點E順時針旋轉60,而來，故點G的軌跡仍是一條線段，即將線段AB繞定點E順時針旋傳60。所得到的線段：常規證明如下：如圖14-13-2,將點8繞定點E順時付旋轉60。得到點“，連接MG,由ABEM與AEFG均為等邊三角形,易證（SAS）,則NEA/G=NE8F=90°；由“為定點，EM為定線，NEMG為定向,可知點G在一條直線上運動：如圖14

30、13-3,將點從繞定點E順時針旋轉60。得到點N,線段MN即為點G的運動軌跡，當CG_LMN時，CG取得最小值：作EH上CG于點H,則CG£M,NGCE=NME8=60。，微CH=bCE=：；又GH=ME=BE=1,所以CG=j,即CG的最小值為5：簡析2（相對運動）：如圖14134,點G可由點F繞定點£順時針旋轉60。而來,反過來，將H標線段CG繞定點E逆時針旋轉60。得到線段CN（只需確定點C的對應點C即可），則CG=CF,要求CG的最小值，只福求CF的最小值：作C7<LA8于點，再作CK_L5CJ點K,易證CCE為等邊三角形，CH=BK=*又CT2C7A可得CF

31、2R65,從而CG的最小值為日反思：本題屬“直線型瓜豆''中的“旋轉結構”，方法一基于“瓜豆原理”輕松判斷點G的運動枕跡，再用“夫向定位法”加以常規說理，從而將問趣轉化為“點線距禹”問題：方法二巧施相對運動廉略，即因為點G可由點F繞定點E順時針旋轉60而來，所以反過來將目標線段CG繞定點E逆時針流轉60°得到線段C'R相當于將/XCEG繞定點£逆時針戰轉60°得到（；'£凡從而將CG的#.小值轉化為CT的最小但，最后依然利用“垂城段最短”解決問迎.題14.如圖14-14-1,矩形ABCO中，AB=4,BC=3,E為48邊上

32、一動點，以DE為邊向右作正方形DEFG,連接CF,貝JC尸的最小值為.設8E=/(0WiW4),則CP=HQ=r.HF=1+3,從而CF=(7-r)24-(7+3)2即CF的股小值為5#；圖14-14-1簡析1（垂直處理+函數建模）：如圖1414-2,作£P_LCO于點，再作“"LC8于點，交支線EP干點Q,易證PEDgAQ尸E,PD=QE=HB=4-i,PE=QF=3,故CH=l-l,=2(/-2)2+50,當1=2時，CF2取得最小值為50,簡析2（相對運動）：如圖1414一3,連接0F,由aDE尸為等腰£1角三角形，可知點尸可由點£先繞定點D順時針

33、旋轉45。，可以定點。為位似中心，以貶為位似比放大而來：反過來,將目標線段CF先繞定點D逆時針旋轉45。，再以定點。為位似中心，以坐為位似比縮小得到線段SE（只需找到點C的對應點S即可）：常規證明如下：作等腰RtACCS,其中/CSD=90。，又OEf為等腰直角三角形，易證ACDFsSDE,則睡=器=或，即。戶=也5£,要求CF的最小值，只需求SE的奴OILLJIL小值；作5TJ_A8于點丁，交CO于點K,則5E/5T=SK+K7=2+3=5,即興:的Al小色為5,從而b的最小值為反；簡析3（瓜豆原理）：如圖1414一4,連接。尸，由/）£為等腰直角三角形，可知點戶可由點E

34、先繞定點。順時針旋轉45。，再以定點D為位似中心，以小為位似比放大而來，基于“瓜豆原理”分析，點F的軌跡可由點E的軌跡（即線段/M）先繞定點。順時針旋轉45。，再以定點。為位似中心，以啦為位似比放大而來，故點F的軌跡也是一條線段：常規證明如下：將點5先繞定點。順時針旋轉45。，再以定點。為位似中心，以貶為位似比放大得到點“，叩作等腰RlAADM,K1'ZDW=900,連接DA則ADEF為等腰立角三角形，從而易證SDEsm。入故NDMF="BE為定向，由此可判斷點F在一條直線上運動；如圖1414一5,再作等腰RlAOAM共中/OAN=90。，則紋段MN為點尸的運動軌跡，故當CT

35、«LMV時，。尸取得最小值；此時設C尸交8A于點心山前易知NOMV-/D8A,從而易得/】=/2=45。，所以與ACK均為等腰有角三角形，故HR=HC=3,CR=3/，又BN=7,則AN=%R尸=2m，CF=5/，即CF的最小值為隊兩於反思：本題屬“直線型瓜豆”中的“旋件栩似結構”，方法一利用正直處理發喀，構造“一線三直向”，主動設元，建立二次函數模型求最值；方法二基于點的變換視角分析，采取相對運動鬃略，相當于將CD尸反向旋骷45°并放縮成SDE,從而將目標報段C尸的ft小值轉化為的最小伍.最后利用“'叁線段最短',斛決問卷：方由三叢于“瓜豆原理”分析出點尸

36、的運動枕跡，再利用“旋轉相似”結合“夾角定位法”加以常現說理，從而將問題杪化為“點現距禺''問題.捫對而言，向兩種方法更為簡單，但方法三中確定目標動點廣的運動就迂，解決地更為徹底、本質.題15.（2019年無保改編）14-15-L在AAH;中，Atf=/C=5,BC=&g。為邊46上一動點（。點除外），以CD為一邊作正方形CDE，連接6E,則線段8E的取值范圍為.簡析（相對運動）：如圖14152,連接CE,由為等腰百角三角形,可知點E可由點D光繞定點C順時針旋轉45。，再以定點。為位似中心，以m為位似比放大而來;y(2反過來，將目標線段8E先繞定點C逆時針旋轉45。，再

37、以定點C為位似中心，以失為位似比縮小得到線段PQ(只需找到點8的對應點即可圖14-15-2常規證明如下：作等腰RtABCP,3t+Z5PC=9C%又口)£為等股立角三角形,易證8CEs尸m則將=卷=例即BE=&)D要求BE的取值范圍，只需求PD的I僅僅范圍:連接AP,交AC于點從作尸G1M。于點G.易得PR=BCV2=2枷.pa=PH+AH=22m+小=3小,PG=%sin/%G=3.爐=6,因為6V2訴3巾，所以6WPDW3班,從而蜒W8EW3m.反思：本題仍屬“直線型瓜豆”中的“旋轉柏似結構“，其本質與題14相同，上述三種方法都行得通，這里僅提供相對運動策略，其他解法可自

38、行探究.為鞏固這三種方去，再提供一例：題16.如圖14-16-1,正方形人瓦7）的邊長為1.E為邊AC上一動點，將4E繞點E順時針旋轉90。得到線段斯，M為。E的中點，堆接例尸，則M”的最小傷為.簡析1（垂直處理十函數建模）:如圖14162,延長£產至點M值FN=E3連接DN,則MF=；DN,要求MF的最小值，只需求ON的最小值：作NGLBC于點G,交A。的延長線于點，易證ASEs則嘗一舞一空一2,設SEx（OWkWI）,nLAtL則GN=Zx,EG=2,從而HN=l_2x|,O4=】+x,故oMMl-Zif+a+QLsf-iqiqq、后2-2=53一£）葉£,當

39、寸，0M取得報小值即DN的坡小ff（為從而Mb的坡3339小35小偉為謫口圖14-16-2簡析2（相對運動）:如圖14-16-3,延長E尸至點N,使FN=EF,在接ON,則MF=£oM要求M尸的最小假，只需求ON的最小值；由題易得cosNEAN一然一蜚，點N可由點£先繞定點A逆時斜旋轉NEW,再以定點A為位似中心，以南為位似比放大而來：反過來，將目標線段DN先繞定點A順時針旋、后轉NEAM再以定點A為位似中心，以當為位似比縮小得到線段SE（只需找到點D的對應點S）;5常規證明如下：作RuMSO,使RuMSDsraeA,易OE&WNs/MSE,則黑二靠=小，即

40、3;W=SS£,要求ON的最小值，只需求SE的最小色；顯然，當S£L8C時，5E取得最小色，此時設直線SE與4D交于點丁，如圖14一164所示，易得AS=簡析3（瓜豆原理）：同上,可將M尸的最小值轉化為mV的最小值的余如圖14-16-5.將點B先繞定點人逆時針旋轉/E4N,再以定點A為位似中心，以小為何似比放大得到點H即作RizMBP,其中/cosN8/P=co$NEAN=W，連接PN,可證A6£sA/WW則N4/W=NABE=90。，故點N在一條直線上運動：加圖M-16-6,將點C先燒定點人逆時針旋轉NZMP,再以定點A為位似中心，以小為位似比放大得到點0即作R

41、tzMCg,其中Ncos/CAQ=cosN8AP=,則線段PQ即為點N的運動軌跡；當QNLPQ時，£W取得最小值，此時延長人。交PQ于點火，nJ得AP=y5.AR=5“kc3=?從而。火=5，DN=反思:本期的精彩之處在于通過倍長EF,構造中位線模型，將雙動點、的我值問題轉化為單動點的ON最值問題以上提供的三種斛法完仝與我14相，可見從結構上分析問題才能真正弄清本質，找到通法.題17.(2019年沏州)如圖14171,己知在邛面直角坐標系xOy中,四邊形0A8C是矩形，點A、C分別在x軸和),軸的正半軸上，連接AC,QA=3,ian/O4C=乎，。是8c的中點.<1)求OC的長

42、和點D的坐標；9(2)如圖14172,用是線段OC上的點，。5=彳。，點P足線段OM上的一個動點，經過八D、B三點的拋物線交工軸正半軸干點E,連接OE交48于點E將山/沿QE所在的直線翻折，若點B恰好落在AC上，求此時37的長和點E的坐標：以線段DF為邊,在/?/所在立我的右上方作等邊/)尺7,當動點尸從點。運動到點M時，點G也隨之運動，請直接寫出點G運動路役的長.簡析：(1)OC=，點。的坐標為(|V3)；(2)如圖14173,以。為圓心，以OB為半徑作。，交AC于點方，則點？即為點B此時的對應點，再作的平分線，分別交x軸、4月于點£、F,易證BF=%B、639=9fAE=Q6=5

43、，從而點上的坐標為q,0):點G可由點尸稅定點。逆時針旋轉60。得到，基于“瓜豆原理”分析，點G的軌跡可由點尸的軌跡繞定點。逆時針旋轉60。得到，要求點G運動路徑的長，只要求點尸運動的路徑長；當點與原點。重合時，可求得腦物線的解析式為.、,=一攣J+，5人從而可得點E的坐標為（*0）,由知，點尸的坐標為（3當）；當點尸與點M重合時，可求得拋物線的解析式為y=乎f+乎k+平，從而可得LIJJ點E的坐標為（6.0）,進一步可得點尸的坐標為C呼），由此可得.點尸運動路行的長為逑一算=W,從而點G運動路徑的長也為虐：J/bo反思：本題是“宜線型瓜豆”中的“旋轉結構”，這里借助點的變摸視角分析,將目標點

44、G運動的路徑長轉化為點尸運動的路徑長，然后利用臨界點法找到點尸的臨界位匿即可解決.需妥引起思考的為以下的方面：一是點的運動路徑為無來回？二是加何利用常規解法來說明點G的跖徑長等于點F的路徑長？對于扉一個問題，可以采取定性分析，OP越大，拋物線的開口越大，從而AE越大，BF越小,故點廣的運動路徑并無來回；對于第二個問遜，可構造“旋轉全等型”結合“頭角定位法”加以說理，可自行探究.題18.（2019年濟南）小園同學對圖形旋*專前后的線段之間、角之間的關系進行了拓展探究.（一）猜測探究在ABC中，AB=ACtM是平而內任意一點，將線段4W繞點人按順時針方向旋轉與N84C相等的角度，得到線段AN,連接

45、NB.（1）如圖14181,若“是線段8c上的任意一點，請直接寫出/NAB與NAMC的數量關系是,M與朋C的數量關系是；如圖14一18一2,點上是A8延長線上點，若”是NC8E內部射線8。上任意一點,連接MC,（1）中結論是否仍然成立?若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由.（二）拓展應用（3）如圖14183,在AiBCj中,A/i=8,NABG=60°,N84G=75°,P是用G上的任意點，連接AP,將4P繞點4按順時針力向旋轉75',得到線段A。，連接BQ.求線段8。長度的附小值.簡析：（1）£NAB=4MAC,NB=MC:（2）仍然成立，可證明NA

46、SgZiMAC（SAS）；（3）方法一（相對運動），如圖14-1H4,在邊AQ上取點O,使4Q=44=8,同上可證4Q氏空4尸D（S4S）,則8Q=DP,要求&。的最小值,只需求OP的最小值；分別過點4、。作aG的垂線，垂足依次為G、H,易得4G=4，i4G=4乖，從4班,的最小值也為45一4啦;6i小gT7TCffl14-18-4而GD=4m一8,。=4#一4/，故62。=43-4/.即DP的最小值為4#一方法二(瓜豆原理)：如圖14185,點。可由點一繞定點4順時針旋轉75°得到，基于“瓜豆原理”分析，點Q的軌跡可由點P的軌跡(即線段BG)繞定點4順時針旋轉75°

47、;得到,故點。的軌跡也是一條紋段：常規證明如下：分別將點以、G繞定點A順時針旋轉75°得到點8八C，易證AGP/ZiACQ(SAS),則NG=NG=45。，故點。在一條直線上運動，線段69?即為點Q的運動凱跡：作于點G,再作&HJL氏G于點H,同前可用AG=4G=4#,則&Q=4m一8,故BiH=4小一4小,即SQ的最小值為44-4啦.反思：本題依然是“直線型瓜豆”中的“破杼結構”，三個小間層層遞邊，其中(3)提供的兩種解法，顯然方法一中采取的相對運動就略比方法二中使用的“瓜豆原理”更為簡戰，前者不需要尋找目標點。的運動航跡，后者需要精準定位，并且純合“夾角定位法”進

48、行常規說理.題19.（2019年淮安）如圖1419一1,在/$（?中，AB=AC=3,NB4c=100',。是8C的中點.小明對圖14-191進行了如下探究：在線段AZ）上任取一點P,連接PB將線段尸8繞點，按逆時針方向旋轉80.，點3的對應點是點E,連接8£,得到打£小明發現,隨著點尸在線段AD上位設的變化，點E的位冏也在變化，點E可能在M線4。的左側，也可能在直線4。上，還可能在直線人。的右側.請你幫助小明繼續探尢，并解答下列問題：（1）當點E在直線4。上時，見圖1419一2所示.NBEP=°；連接CE,直線CE與直城48的位置關系是.（2）請在圖1419一3中畫出6PE,使點£在立紋A。的右側，連接CE試判斷直線CE與直線A8的位置關系，并說明理由.（3