1、蘭州成功私立中學(xué)高中奧數(shù)輔導(dǎo)資料(內(nèi)部資料)§17二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式i.二項(xiàng)工定理n(ab)n八C：anJ<bk(nN*)k衛(wèi)2二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr“=C；anHbr(O乞r乞n)它是展開式的第r+1項(xiàng).3二項(xiàng)式系數(shù)C；(0遼r<n).4二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1) C：二C；蟲(0Ek冬n).(2) Cn-CnCni(n-1).nn(3) 若n是偶數(shù)，有C；<C；v<Ca>C；>Cn,即中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C2最大ndn1若n是奇數(shù)，有：cn：:cF-CnT-CCn，即中項(xiàng)二項(xiàng)的二項(xiàng)式nn1系數(shù)c和Cn2相等且最大.(4) C；C-C"-C；

2、=2n.(5) c：+c4+=c：+c；+f(6) kCkC：或C：=nC：.k(7) cnCm-cnm*二味亠時(shí)訃空n).(8) c：+cn+F：七+C：*卄以上組合恒等式(是指組合數(shù)Cnm滿足的恒等式)是證明一些較復(fù)雜的組合恒等式的基本工具.(7)和(8)的證明將在后面給出.5證明組合恒等式的方法常用的有(1)公式法，利用上述基本組合恒等式進(jìn)行證明(2)利用二項(xiàng)式定理，通過賦值法或構(gòu)造法用二項(xiàng)式定理于解題中(3)利用數(shù)學(xué)歸納法(4)構(gòu)造組合問題模型，將證明方法劃歸為組合應(yīng)用問題的解決方法例題講解1 求(x1-)7的展開式中的常數(shù)項(xiàng).x2 求(12x-3x2)6的展開式里X5的系數(shù).3.已知

3、數(shù)列a0,印42,(a0=0)滿足aiai2ai(i=1,2,3/),求證：對(duì)于任何自然數(shù)n,p(x)=a0C；(1-x)nyC；x(1-x)n，a2C：x2(1-x)n亠亠anC：xn'(1-x)anCnxn是x的一次多項(xiàng)式或零次多項(xiàng)式.4.已知a,b均為正整數(shù)，且ab,sin丁二了ab2(其中。),A=(a2b2)nsinnr,a+b2求證：對(duì)一切nN*,A均為整數(shù).5.已知x,y為整數(shù)，P為素?cái)?shù)，求證：(xy)P三xP-yP(modP)6.若(52)2r1二mN*,0:：1)，求證：(m：)=1.7數(shù)列an中，ai=3,an二3驚(n_2)，求a2ooi的末位數(shù)字是多少?&

4、;求N=19881的所有形如d=2a3b,(a,b為自然數(shù))的因子d之和.9. 設(shè)x=(15220)19(15.220)82，求數(shù)x的個(gè)位數(shù)字.10.已知ao=0,a1=1,an1=8an-an(n=1,2/)試問：在數(shù)列an中是否有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng)？證明你的結(jié)論.課后練習(xí)1.已知實(shí)數(shù)二一：均不為0，多項(xiàng)f(x)=X37-X2X的三根為x1,x2,x3，求(X1-X2-X3)(丄丄丄)的值.xX2X32.設(shè)f(xx4ax3bx2cxd,其中a,b,c,d為常數(shù)，女口果f(1)7f(2)=2,f(3)=3,求lf(4)-f(0)的值43. 定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)，xf

5、(1-x)=1x,求f(x).4. 證明：當(dāng)n=6m時(shí)，C；C；3C；3C；32-=0.5. 設(shè)(1x-x2)n展開式為a0a1xa2xa2nx2n，求證：a0a3，a6=3n：6.求最小的正整數(shù)n,使得(xy-3x7y-21)n的展開式經(jīng)同類項(xiàng)合并后至少有1996項(xiàng).7.設(shè)f(x)=(x3x-1)9(2x1)4，試求:(1) f(x)的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和(2) f(x)的展開式中奇次項(xiàng)的系數(shù)和&證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式(2n-1)n_(2n)n(2n-1)n成立.例題答案：1解：由二項(xiàng)式定理得11(xT)7二1(x)7xx=C；+C；(x+1)+C；(x+)2+C；(x+1

6、)卄"+C；(x+)7xxxx1其中第r1(0空r<7)項(xiàng)為Tr)rx在(x+l)r的展開式中，設(shè)第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，記為Tk*x則Tk1-Crkxr(1)Crkxrk,(ir)x由得r2k=0，即r=2k,r為偶數(shù)，再根據(jù)、知所求常數(shù)項(xiàng)為c7°+C；c7+c6c；=393.評(píng)述：求某一項(xiàng)時(shí)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)2.解：因?yàn)?12x-3x2)6=(13x)6(1-x)6=1+c63x+c6(3x)2+C63,(3x)3+c6£3x)61-Qx+cfx2-C；X3+c：x4-C；X5+c；x6.所以(1+2x-3x2)6的展開式里x5的系數(shù)為1(-C；)+3C6C

7、；+32C62(-C；)+33C6Q；34c6(-c：)35c51168.2626評(píng)述：本題也可將(1-2x-3x)化為1(2x-3x)用例1的作法可求得3.分析：由aij衛(wèi)勺二2ai知an是等差數(shù)列，則aaija0id(1,2,)，從而可將p(x)表示成a0和d的表達(dá)式，再化簡即可.解：因?yàn)閍iJaid=2ai(i=1,2,3，)所以數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d有ai=a0-id(i=1,2,3，)從而P(x)二aoC0(1-x)n(a。d)C；x(1x)n(a。2d)C：x2(Ix)(a。nd)C：xn=a°C0(1x)n+cnx(1x)n丄十+C；xn+d1Cnx(1x)n

8、+2C：x2(1x)n'+nC；xn,由二項(xiàng)定理，知Cn°(1X)nC：x(1x)2cjx2。x)2c：xn=(1x)Xn=1,又因?yàn)閗C；=kn!n®變nCnk：,k!(n-k)!(k-1)!(n-1)_(k-1)!從而c；x(1x)n12Cn2x2(1x)2出卷nC：xn=nx(1x)n+cn丄x(1x)n+xn°=nx(1x)xn1=nx.所以P(x)=aondx.當(dāng)d=0時(shí),P(x)為x的一次多項(xiàng)式，當(dāng)d=0時(shí)，P(x)為零次多項(xiàng)式An與復(fù)數(shù)的關(guān)系22_a-匚22'ab4.分析：由sinn聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理，復(fù)數(shù)需要cost，然后分析證明

9、：因?yàn)閟in"讒，且ab,所以co”'si宀顯然sinn為(cosisin)n的虛部，由于(cosisin)n22a_b2abn12212n一(一22齊)-22n(a-b2abi)一22n(abi)abab(ab)(ab)所以(a2b2)n(cosivisinn打=(abi)2n.從而An=(a2b2)nsinn動(dòng)(abi)2n的虛部.因?yàn)閍、b為整數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式定理，(abi)2n的虛部當(dāng)然也為整數(shù)，所以對(duì)一切n，N*，An為整數(shù).評(píng)述：把An為與復(fù)數(shù)(cosisin)n聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵.PP1P-12P-22pP_1P5. 證明：(xy)=xCpXyCpXyCPxy

10、y由于C；=卩3_°(P_r+1"/"ElP)為整數(shù)，可從分子中約去r!,又因?yàn)镻為r!'''素?cái)?shù)，且r:p，所以分子中的P不會(huì)紅去，因此有P|Cp(r=1,2,，P-1).所以(xy)P三xPyP(modP).PPP評(píng)述：將(X-y)展開就與xy有聯(lián)系，只要證明其余的數(shù)能被P整除是本題的關(guān)鍵.6. 分析：由已知-=(.52)2r1和(m猜想：，(.5-2)21，因此需要求出，即只需要證明(52)2r1-(5-2)2r1為正整數(shù)即可.證明：首先證明，對(duì)固定為r，滿足條件的m,是惟一的.否則，設(shè)0.52)2r1=mi二m2宀胡口皿N*,宀，：

11、？*(0,1),=m2,：rr2則mi-m2=1-2=0,而mi1m2乙3(-1,0)一(0,1)矛盾.所以滿足條件的m和:-是惟一的.下面求m及.因?yàn)?亦+2)心-(亦-2)2F=C0r十(亦)2f+c2r+&5)2r，2+。2卄(島2722+22r*-C；r1(.5)2r1-C；r«5)2r2C；r«5)2r22-22r1=2C2(V5)2r2+C；v(>/5)2r/，23+22r+=2C2r+5r2+C3r+5rA23+C22：；52r°+22十EN*又因?yàn)?-2(0,1),從而(5-2)2r1(0,1)所以m=2(C；r15r2C；15r丄2

12、337'C2!rr；5rE2：22r")a=(J5_2)2：豐故：(m：)=(一5-2)2：I(52)2：1二(5-4)2：1=1.評(píng)述：猜想=(-2)2：1,(.5-2)2：1與.5-2)2：1進(jìn)行運(yùn)算是關(guān)鍵.7. 分析：利用n取1,2,3,猜想an及an的末位數(shù)字.解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=3,a2=3*=33=27=463a3=332=327=3463=(34)633=(81)633珂81)627，因此a?®的末位數(shù)字都是乙猜想，a4m3,mN*.現(xiàn)假設(shè)n=k時(shí)，a4m3,mN*當(dāng)n=k+1時(shí)，a-=3ak,4m3=(4-1)曲3=臨3嚴(yán)3<-1)°

13、;C1m.32834(_1嚴(yán)一34°.(/嚴(yán)=4T-1=4(T-1)3,從而an=4m3(mN*)于是an3an=34m=(81)m27.故a2°°i的末位數(shù)字是7.評(píng)述：猜想an=4m3是關(guān)鍵.8. 分析：尋求N中含2和3的最高幕次數(shù)，為此將19變?yōu)?01和18+1，然后用二項(xiàng)式定理展開.解：因?yàn)镹=19881=(2°1)88仁(14X5)881=c8845C；84252-C；843-C；7487587-C888488588=-255526M=25(2M-55)其中M是整數(shù).上式表明，N的素因數(shù)中2的最高次幕是5.又因?yàn)镹=(1+2X9)881=C88

14、29C882292詈288988=32X2X88+34P=32X(2X88+9P)其中P為整數(shù).上式表明，N的素因數(shù)中3的最高次幕是2.綜上所述，可知N=2532Q，其中Q是正整數(shù)，不含因數(shù)2和3.因此，N中所有形如2a3b的因數(shù)的和為(2+22+23+24+25)(3+32)=744.9. 分析：直接求x的個(gè)位數(shù)字很困難，需將與x相關(guān)數(shù)聯(lián)系，轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù).解：令y=(15-220)19(15-220)82,則xy=(15、220)19(15.220)82(15-220)19(15-220)82，由二項(xiàng)式定理知，對(duì)任意正整數(shù)n.(15220)-(15-220)n=2(15n9n215n，

15、220)為整數(shù)，且個(gè)位數(shù)字為零.因此，x+y是個(gè)位數(shù)字為零的整數(shù).再對(duì)y估值，因?yàn)?：15-.220：5=：:-0.2，且(15-.220)88：(15-220)19,15"22025所以0:y：:2(15-、.220)19：:20.219:0.4.故x的個(gè)位數(shù)字為9.評(píng)述：轉(zhuǎn)化的思想很重要，當(dāng)研究的問題遇到困難時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為可研究的問題10. 分析：先求出an，再將an表示成與15有關(guān)的表達(dá)式，便知是否有無窮多項(xiàng)能被15整除.證明：在數(shù)列an中有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng)，下面證明之?dāng)?shù)列an的特征方程為X2-8x7=0,它的兩個(gè)根為X!=4.、15,X2=4-、.15,所以an=A(4：15)nB(4_._15)n(n=0,1,2，)111由a。=0,a1=1得A=,B=則a.=(4+15)n(4Ji5)n,2152152.