1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法簡介一.引言“設(shè)計(jì)”作為人們綜合運(yùn)用科學(xué)技術(shù)原理和知識(shí)并有目的地創(chuàng)造產(chǎn)品的一項(xiàng)技術(shù)，已經(jīng)發(fā)展為現(xiàn)代社會(huì)工業(yè)文明的重要支柱。今天，設(shè)計(jì)水平已是一個(gè)國家的工業(yè)創(chuàng)新能力和市場競爭能力的重要標(biāo)志。許多的設(shè)計(jì)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，設(shè)計(jì)質(zhì)量的高低，是決定產(chǎn)品的一系列技術(shù)和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的重要因素。因此，在產(chǎn)品生產(chǎn)技術(shù)的第一道工序設(shè)計(jì)上，考慮越周全和越符合客觀，則效果就會(huì)越好。在產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，追求設(shè)計(jì)結(jié)果的最優(yōu)化，一直是我們工作努力的目標(biāo)。現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論、方法和技術(shù)中的優(yōu)化設(shè)計(jì)，為工程設(shè)計(jì)人員提供了一種易于實(shí)施且可使設(shè)計(jì)結(jié)果達(dá)到最優(yōu)化的重要方法和技術(shù)，以便在解決一些復(fù)雜問題時(shí)，能從眾多設(shè)計(jì)的方案中找出盡可

2、能完善的或是最好的方案。這對(duì)于提高產(chǎn)品性能、改進(jìn)產(chǎn)品質(zhì)量、提高設(shè)計(jì)效率，都是具有重要意義的。二優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念優(yōu)化設(shè)計(jì)是將工程設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題，利用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法，借助于計(jì)算機(jī)(高速度、高精度和大存儲(chǔ)量)的處理，從滿足設(shè)計(jì)要求的一切可行方案中，按照預(yù)定的目標(biāo)自動(dòng)尋找最優(yōu)設(shè)計(jì)的一種設(shè)計(jì)方法。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)化(Optimization)通常是指解決設(shè)計(jì)問題時(shí)，使其結(jié)果達(dá)到某種意義上的無可爭議的完善化。最優(yōu)化“OPT”在科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)如同使用最大“MAX”和最小“MIN”一樣具有普遍性。把機(jī)械設(shè)計(jì)和現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論及方法相結(jié)合，借助電子計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。

3、三優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般實(shí)施步驟(1) 根據(jù)設(shè)計(jì)要求和目的定義優(yōu)化設(shè)計(jì)問題；(2) 建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型；(3) 選用合適的優(yōu)化計(jì)算方法；(4) 確定必要的數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)初始點(diǎn)；(5) 編寫包括數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化算法的計(jì)算機(jī)程序，通過計(jì)算機(jī)的求解計(jì)算獲取最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)；(6) 對(duì)結(jié)果數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)方案進(jìn)行合理性和適用性分析。其中，最關(guān)鍵的是兩個(gè)方面的工作：首先將優(yōu)化設(shè)計(jì)問題抽象和表述為計(jì)算機(jī)可以接受與處理的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，通常簡稱它為優(yōu)化建模；然后選用優(yōu)化計(jì)算方法及其程序在計(jì)算機(jī)上求出這個(gè)模型的的最優(yōu)解，通常簡稱它為優(yōu)化計(jì)算。優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)的形式表示所設(shè)計(jì)問題的特征和追求的目的，它反映了設(shè)計(jì)指標(biāo)與

4、各個(gè)主要影響因素(設(shè)計(jì)參數(shù))間的一種依賴關(guān)系，它是獲得正確優(yōu)化結(jié)果的前提。由于優(yōu)化計(jì)算方法很多，因而它的選用是一個(gè)比較棘手的問題，在選用時(shí)一般都遵循這樣的兩個(gè)原則：一是選用適合于模型計(jì)算的方法；二是選用已有計(jì)算機(jī)程序，且使用簡單和計(jì)算穩(wěn)定的方法。四無約束優(yōu)化計(jì)算方法1單變量優(yōu)化計(jì)算方法一維搜索就是要在初始單峰區(qū)間中求單峰函數(shù)的極小點(diǎn)。所以找初始單峰區(qū)間是一維搜索的第一步。然后將初始單峰區(qū)間逐步縮小，直至極小點(diǎn)存在的范圍小于給定的一個(gè)正數(shù)&此稱為收斂精度或迭代精度。此時(shí)，如區(qū)間為a(k),b(k)，即有b(k)-a(k)W可取該區(qū)間的中點(diǎn)作為極小點(diǎn)x*=0.5(a(k)+b(k)(1)黃金分割法

5、在區(qū)間a,b內(nèi)，適當(dāng)插入兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)xl和x2(xlf(x2)時(shí)，極小點(diǎn)必在xl,b中；當(dāng)f(x1)f(x2)時(shí)，極小點(diǎn)必在a,x2中。無論發(fā)生在那種情況，都將包含極小點(diǎn)的區(qū)間縮小，即可刪去最左段或最右段，然后在保留下來的區(qū)間上做同樣的處理，如此迭代下去，將使搜索區(qū)間逐步減小，直到滿足預(yù)先給定的精度(終止準(zhǔn)則)時(shí)，即獲得一維優(yōu)化問題的近似最優(yōu)解。(2) 二次插值法二次插值的基本思想是利用目標(biāo)函數(shù)在不同3點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)成一個(gè)與原函數(shù)f(x)相近似的二次多項(xiàng)式p(x)，以函數(shù)p(x)的極值點(diǎn)(即p(x*p)=0的根)作為目標(biāo)函數(shù)f(x)的近似極值點(diǎn)。2.多變量優(yōu)化計(jì)算方法(在此只對(duì)梯度方法做一簡介)(

6、1) 梯度法梯度方向是函數(shù)增加最快的方向，而負(fù)梯度方向是函數(shù)下降最快的方向；梯度法以負(fù)梯度方向?yàn)樗阉鞣较?，每次迭代都沿著?fù)梯度方向一維搜索，直到滿足精度要求為止；因此，梯度法又稱為最速下降法。梯度法的優(yōu)點(diǎn)是理論明確，程序簡單，對(duì)初始點(diǎn)要求不嚴(yán)格，有著很好的整體收斂性；缺點(diǎn)在于在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)時(shí)逼近速度較快，而在接近極小點(diǎn)時(shí)逼近速度較慢，收斂速度與目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)密切相關(guān)。(2) 牛頓法利用目標(biāo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x(k)處的二階Taylor展開式去近似目標(biāo)函數(shù)，用二次函數(shù)的極小點(diǎn)去逼近目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。適用場合為：如果目標(biāo)函數(shù)f(x)在R上具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，其Hessian矩陣G(x)正定并且可以表

7、達(dá)為顯式，那么可以使用牛頓法。(3) 修正牛頓法為了克服牛頓法的缺點(diǎn)，人們保留選牛頓方向作為搜索方向，摒棄其步長恒取1，而用一維搜索確定最優(yōu)步長，由此產(chǎn)生的算法稱為修正牛頓法(或阻力牛頓法、阻尼牛頓法)。修正牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是克服了牛頓法的主要缺點(diǎn)，特別是當(dāng)?shù)c(diǎn)接近于最優(yōu)解時(shí)，此法具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，且對(duì)初始點(diǎn)的選擇要求不嚴(yán)；修正牛頓法的缺點(diǎn)是仍然需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣和逆矩陣，所以求解的計(jì)算量和存儲(chǔ)量很大，另外當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣在某點(diǎn)處出現(xiàn)奇異時(shí)，迭代將無法進(jìn)行。(4)共軛方向法一般地，在n維空間中可以找出n個(gè)互相共軛的方向，對(duì)于n元正定二次函數(shù)，從任意初始點(diǎn)出發(fā)，

8、順次沿這n個(gè)共軛方向最多作n次直線搜索就可以求得目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn).這就是共軛方向法的算法形成的基本思想。對(duì)于n元正定二次目標(biāo)函數(shù)，從任意初始點(diǎn)出發(fā)，如果經(jīng)過有限次迭代就能夠求得極小點(diǎn)，那么這種算法稱為具有二次終止性。例如牛頓法對(duì)于二次函數(shù)只須經(jīng)過一次迭代就可以求得極小點(diǎn)，因此是二次終止的；而最速下降法不具有二次終止性；共軛方向法(包括共軛梯度法，變尺度法等)是二次終止的。一般來說，具有二次終止性的算法，在用于一般函數(shù)時(shí)，收斂速度較快。五、約束優(yōu)化設(shè)計(jì)方法與無約束優(yōu)化問題不同的是，約束優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)的最小值是函數(shù)在有約束條件所限定的可行域內(nèi)的最小值，并不一定是目標(biāo)函數(shù)的自然最小值。約束優(yōu)化方

9、法是用來求解如下非線性約束優(yōu)化問題的數(shù)值迭代算法。1. 可行方向法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：梯度法、方向?qū)?shù)、kt條件適用條件：目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均為n維一階連續(xù)可微函數(shù)、可行域是連續(xù)閉集、求解不等式約束的一種直接解法。可行方向法是用梯度去求解約束非線性最優(yōu)化問題的一種有代表性的直接解法，它是求解大型約束優(yōu)化問題的主要方法之一。其收斂速度快，效果好，但程序比較復(fù)雜，直接算法，計(jì)算困難且工作量大。2. 懲罰函數(shù)法將不等式和等式約束函數(shù)g(X)W0(u=l,2,m),h(X)=0(v=l,2,p)uv和待定系數(shù)r(k)(稱為加權(quán)因子)經(jīng)加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)一起組成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)(懲罰函數(shù))，然后對(duì)它求最優(yōu)解

10、。把其中不等式和等式約束函數(shù)值經(jīng)加權(quán)處理后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合新的目標(biāo)函數(shù)：min中(X,r(k),r(k)=f(X)+r(k)EGg(X)+r(k)EHh(X)121u2v(1)外點(diǎn)懲罰函數(shù)法基本思想：外點(diǎn)法是將懲罰函數(shù)定義于可行區(qū)域的外部。序列迭代點(diǎn)從可行域外部逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。外點(diǎn)懲罰函數(shù)法構(gòu)造懲罰函數(shù)的形式為：中(X,r(k)二f(X)+r(k)maxO,g(X)】2+r(k)Hh(X)uv外點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于約束可行域之外，且求解無約束問題的一系列迭代點(diǎn)是從可行域外部逼近原目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)解。(2)內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法基本思想：將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點(diǎn)在可行域內(nèi)逐

11、步逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法構(gòu)造懲罰函數(shù)的形式為：中(X,r(k)二f(X)-r(k)1/g(X)或中(X,r(k)二f(X)-r(k)In-g(X)uu因內(nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義在可行域內(nèi)，故點(diǎn)X(。)要嚴(yán)格滿足全部的約束條件，且應(yīng)選擇離約束邊界較遠(yuǎn)些，即應(yīng)使g(X(o)O(u=l,2m)。初始懲罰因子r(0)的選擇Ur(0)的選擇會(huì)影響到迭代計(jì)算能否正常進(jìn)行以及計(jì)算效率的高低，值應(yīng)適當(dāng)。若r(o)太大，則開始幾次構(gòu)造的懲罰函數(shù)的無約束極值點(diǎn)會(huì)離約束邊界很遠(yuǎn)，將增加迭代次數(shù)，使計(jì)算效率降低。若r(o)太小，懲罰函數(shù)中的障礙項(xiàng)的作用就會(huì)很小，

12、使懲罰函數(shù)性態(tài)變壞，甚至難以收斂到原約束目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)。目前，還沒有一定的有效方法，往往要經(jīng)過多次試算，才能確定一個(gè)適當(dāng)?shù)膔(0)。多數(shù)情況下，一般取r(0)=1,然后根據(jù)試算的結(jié)果，加以調(diào)整。(4)懲罰因子的縮減系數(shù)C的選擇在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時(shí)，懲罰因子r(k)是一個(gè)逐次遞減到0的數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子關(guān)系式為：r(k)=Cr(k-1)其中，C懲罰因子的縮減系數(shù)，0Cl,通常取值為：0.10.7。六、小結(jié)及心得在老師所給出的四種設(shè)計(jì)計(jì)算方法當(dāng)中，我之所以選擇了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，是因?yàn)樵谏蟼€(gè)學(xué)期我曾經(jīng)選修過現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法A，對(duì)一些優(yōu)化設(shè)計(jì)方法有一些簡單的學(xué)習(xí)和了解。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法多種多樣，

13、不是簡簡單單就能介紹清楚的。在此，我僅僅對(duì)無約束、有約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了介紹，除此之外，還有多目標(biāo)問題、多學(xué)科問題、離散問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法等等，在各行各業(yè)當(dāng)中都能看到它們的影子。說到優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，它給我的第一個(gè)印象就是要算，而且還是不停的算。優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，說白了就是給出一個(gè)具體的問題，選擇了合適的計(jì)算方法，找到適合這個(gè)問題所需要的公式，然后一直迭代一直迭代，直到滿足要求的精度或者終止準(zhǔn)則，優(yōu)化設(shè)計(jì)方法不適合我們用手去算，那樣不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且得到的結(jié)果也會(huì)有很大的誤差。因此，我們?cè)诓捎脙?yōu)化設(shè)計(jì)方法解決問題時(shí)，通常會(huì)使用計(jì)算機(jī)幫助我們進(jìn)行計(jì)算，matlab就是一個(gè)不錯(cuò)的軟件，它包含了解決工程問題所需要的多種函數(shù)，可以很快的得出運(yùn)算結(jié)果即最優(yōu)解。其次，這種方法對(duì)個(gè)人數(shù)學(xué)水平的要求較高。雖然計(jì)算機(jī)可以幫助我們完成大部分的運(yùn)算，但是它仍然需要我們具備較