1、高考導航順風啟程最新考綱常見題型1-結合具體函數，了解函數奇偶性的含義.2會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性.3了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性-多以選擇、填空題形式出現，且奇偶性多與單調性相結合，周期性多與抽彖函數相結合，或結合奇偶性求函數值為主，占45分，中檔題為主-o教材門顧基礎診斷知識梳理1. 函數的奇偶性奇函數偶函數定義定義域函數TOO的定義域關于原點對稱X對于定義域內的任意一個X金)與的關系都有/-X)=-fix')都有X-x)=金)結論函數冗丫)為奇函數函數冗0為偶函數圖象特征關于原點對稱關于7軸對稱2. 周期性(1) 周期函數：對于函數

2、y=Ax),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的任何值時，都有/(x+7Wx),那么就稱函數y=/(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.(2) 最小正周期：如果在周期函數金)的所有周期中存在一個的正數，那么這個最小正數就叫作人力的最小正周期.知識感悟1. 辨明三個易誤點(1) 應用函數的周期性時，應保證自變量在給定的區間內.(2) 判斷函數的奇偶性，易忽視函數定義域是否關于原點對稱.定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件.(3) 判斷函數_/(x)是奇函數，必須對定義域內的每一個，均有人一Q=金)，而不能說存在x使人一0=金)，對于偶函數的判斷以此類推.2. 活用周期性三個

3、常用結論對兀工)定義域內任一自變量的值x：(lj/(x+a)=/(x-a),則T=2a：若/(x+a)=fix),則T=2a；(3) 若/(x+a)=右，則T=2a；(4) 若/(%+«)=-,則T=2a.3. 奇、偶函數的三個性質(1) 在奇、偶函數的定義中，人一x)=/(x)或幾一x)=y(x)是定義域上的恒等式.(2) 奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于軸對稱，反之也成立.利用這一性質可簡化一些函數圖象的畫法.(3) 設Rx),g(x)的定義域分別是D】，Di，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.知識自測1. 給出下列命題:

4、函數幾0=0,xW(O,+8)既是奇函數又是偶函數. 若函數y=/(x+a)是偶函數，則函數y=/x)關于直線x=a對稱. 若函數y=fix+b)足奇函數，則函數y=fix')關于點(b,0)中心對稱. 函數介)為R上的奇函數，且fl.x+2)=fix),則/2016)=2016.其中正確的是()A. B.C.®D.解析錯誤.因為函數夬x)=o的定義域xe(o,+8)沒有關于原點對稱，所以冗丫)=0,xE(0,+8)既不是奇函數又不是偶函數.正確.函數y=/(x+a)關于直線x=0對稱，則函數y=flx)關于直線x=a對稱.正確.函數y=flx+b)關于點(0,0)中心對稱，

5、則函數y=fi關于點©0)中心對稱.錯誤有已知條件可知人2016)=0.故選C.答案C2. (2017-北京)已知函數金)=3'(分，則金)()A. 是奇函數，且在R上是增函數B. 是偶函數，且在R上是增函數C. 是奇函數，且在R上是減函數D. 是偶函數，且在R上是減函數解析人一x)=3°g)-x=(分_3X=y(x),所以函數是奇函數，并且3*是增函數,(分是減函數，根據增函數一減函數=增函數，所以函數是增函數，故選A.答案A3. (2016四川)若函數/(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當OVxVl時，夬x)=¥,則/_另+人2)=-解析金)為定艾

6、在R上的奇函數，.Xo)=o,又OVxVl時，/(X)=4X,J(*)=4*=2,例判斷卜列函數的奇偶性:(1g)=寸3一衛+心2_3；(2g)=xlg(x+y/x2+l);f-x2+2x+l(x>0),(3)用)一*2+玄_(xvo)；ld(4g)=F?由3宀0,工一3$0,得工=3,解得x=坤,即函數_/(x)的定艾域為一羽，羽,從而fix)=-)3x2+yjx230.因此/-¥)=-fix)且人一x)=用)函數_/(x)既是奇函數又是偶函數.心+1詐0,函數_/(x)的定艾域為R,關于原點對稱，又X-X)=(-x)lg(-X+寸(-x)2+l)=xlgCvM+lx)=xl

7、g(*2+1+x)=/(x).即X-X)=/(A),金)是偶函數.(3)函數的定狡域為x|xHO,關于原點對稱,當x>0時，一yVO,/(x)=x圖象法：函數是奇（偶）函數的充要條件是它的圖象關于原點©軸）對稱.性質法：對于定義在同一關于原點對稱的區間上的兩個函數，偶函數的和、差、積、商（分母不為零）仍為偶函數；奇函數的和、差仍為奇函數；奇（偶）數個奇函數的積、商（分母不為零）為奇（偶）函數；一個奇函數與一個偶函數的積、商（分母不為零）為奇函數.【針對補償】1. 判斷卞列各函數的奇偶性:2x1=fix),當xVO時，一x>0./(-x)=-x2-2x+1=-/(x)即函數

8、是奇函數.4-x20,k+3|H3=>-2WxW2且xHO,函數的定義域關于原點對稱心）歸n=-/（x）,即函數是奇函數.方法感悟判斷函數的奇偶性的三種重要方法1. 定義法：(lg)=(X1)2+x(x<0),(3用)=估=0),lx2+x(x>0).解由1+x1-X$0得函數的定狡域為-1,1),關于原點不對稱，所以金)為非奇非偶l-x2>0,由陷一2|2工0得函數的定義域為(-l,0)U(0,l),所以金)=lg(l衛)一(工一2)2lg(lX2)x2因為/<_Y)=所以/(X)為偶函數(3)當xVO時,-x>0,則/(-X)=(一好一尸一(x2+x)=

9、-fix')；當；v>0時.-A<0,則X-X)=(-X)2-X=-(-X2+X)=-fix)又人0)=0,故對任意的XW(8,+8),都有x-x)=-y(x),所以冗。為奇函數.題型二函數的周期性(重點鋒分題，共同探討)例設夬x)是定義在R上的奇函數,且對任意實數X,恒有金+2)=/(x),當xe0,2時，fix)=2xx2.(1) 求證：冗丫)是周期函數：(2) 計算/0)+/1)+/(2)+-+/(2018).解證明：金+2)=金)，金+4)=-fix+2)=flx).Xx)是周期為4的周期函數.(2)夬0)=0,人1)=1,人2)=0,X3)=-/l)=-l.又/(

10、X)是周期為4的周期函數，二/(0)+如)土/(2)±/(3)=/(4)+夬5)土/(6)土幻)=-=7(2012)+幾2013)+人2014)+人2015)=0.-./0)+/1)+/(2)+-+/2018)=/(2016)+/(2017)+夬2018)=/(0)+/1)+/2)=1.方法感悟函數周期性的判定與應用1. 判定：判斷函數的周期性只需證明金+7)=心)(TH0)即可.2. 應用：根據函數的周期性，可以由函數的局部性質得到函數的整體性質，在解決具依問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kTgZ且上HO）也是函數的周期.【針對補償】2. （2018煙臺模擬）若函數X.x）

11、（xeR）是周期為4的奇函數，且在0,2上的解析式為金）x（lx）,OWxWl,=4sin兀g1VxW2,解析由于函數金）是周期為4的奇函數，所以彳¥）+/¥）=彳2X4扌）+彳2X4?=0）+/-和-點）7滬耳+斥答案】h3. （2016江蘇高考）設金）是定義在R上且周期為2的函數，在區間一1,1）上金）=x+elWxVO,'2三一x,OWxVl,其中aWR,若彳一（）=£），貝從5°）的值是解析因為函數金）的周期為2,結合在一1,1）上金）的解析式，得/4）=X_24）=44）=+°>/l）=X44）=X9=IHI=i由得一扌

12、+。=渚，解得a=|-所以人54）=夬3）=/（41）=人一1）=-1+|=-1答案2_5題童三考向函數性質的綜合應用（爲頻考點題，多角吏破）單調性與奇偶性結合1. （2017課標I）函數金）在（一+8）單調遞減，且為奇函數.若人1）=一1,則滿足1W/（X2）W1的x的取值范圍是（）A. 2,2B.1,1C.0,4D.1,3解析因為夬x）為奇函數且在（一8,+oo）單調遞減，要使一lWAx）W1成立，則x滿足一lWxWl,從而由一lWx-2W1得1WxW3,即滿足一1Wj(x2)W1成立的x的取值范圍為1,3,選D.答案D考向二周期性與奇偶性結合2. (2016山東理)已知函數金)的定義域為

13、R.當XV0時，金)=衛一1：當一lWxWl時,7(0=金)；當x>*時，/x+£)=*x*)-則幾6)=()A.-2B.-1C.0D.2解析當x>|時，J(x+*)=/x扌)，所以當x>*時，函數金)是周期為1的周期函數，所以久6)=/(1),又因為函數人勸是奇函數，所以/1)=-；(-1)=-(-1)3-1=2,故選D.答案D考向三單調性、奇偶性與周期性結合3. 已知定義在R上的奇函數金)滿足金一4)=金),且在區間0,2上是增函數，則()A. X-25)</(ll)<XS0)B. /80)</(11)<-25)C. /11)</(

14、80)<>/(-25)D. 久一25)<金0)51)解析因為金)滿足金一4)=-fix),所以Rx8)=/(x),所以函數/(X)是以8為周期的周期函數，則幾一25)=人一1),人80)=/0),人11)=/(3).由7W是定義在R上的奇函數，且滿足/(a4)=-Ax),得人11)=/(3)=/一1)=/(1),因為夬x)在區間0,2上是增函數，金)在R上是奇函數，所以夬x)在區間一2,2上是增函數，所以/-1)</0)</(1),即/-25)</80)</(11).答案D方法感悟函數基本性質綜合應用的常見題型及求解策略題型求解策略函數單調性與奇偶性結

15、合注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性周期性與奇偶性結合此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解周期性、奇偶性與單解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然后利用奇調性結合偶性和單調性求解【針對補償】4. (201&河北省唐山市二模)函數尸希xe(W,W的最小值為0,則加的取值范圍是()A.(1,2)B.(-1,2)C.1,2)D.-1,2)2x3解析因為/(x)=y=壬=一1+吊在(一1,+8)上單調遞減，且人2)=0,所以"=2,-1WmV2：故選D.答案D5. (201S石

16、家莊一模)已知金)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若；(1)<1,久5)2a3=亍市，則實數a的取值范圍為()A.(-1,4)B.(2,0)c.(-1,0)D.(-1,2)解析丁是定狡在R上的周期為3的偶函數，./5)=/5-6)=/-1)=/(1),V(1)V1,7(5)=2d3.2d3a+1'a+1<1,即674d+1V0,解得1VaV4,故選A.答案A6.已知函數y(x)=,x?+l,_bx<0,則滿足不等式A1-v2)>/(2x)的x的取值范惘是x2+l,x0t解析畫出巧，ye),l-x2>0,由圖象可知，若Xl-x2)>/),則1.1x-

17、>2a1一1一靈VxV-l+返得xE(1,>/21)答案（一1,a/2-I）牛刀小試成功靠岸譚堂迖棟（上）A基礎鞏固練1. （2018北京市東城區二模）卞列函數中為奇函數的是（）Ay=x+cosxB.y=x+sinxC.y=yxD.y=e"M解析A和C為非奇非偶函數,y=eM為偶函數，令y（x）=x+sinx,定義域為R,/x）=x+sin（x）=xsinx=fix）,故y=x+sinx為奇函數，故選B答案B2. 已知/（x）,g（x）分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且金）一其0=0+0+1,則y（i）+g（i）=（）A一3B.一1C1D3解析因為7W是偶函數，g(x)

18、是奇函數，所以/(l)+g(l)=/(l)g(l)=(l)3+(1)2+1=1.故選c.答案C3. （2018綿陽診斷）已知偶函數金）在區間0,+8）上單調遞增，則滿足的X的取值范闈是（）A.riB3C.12293D.解析7W是偶函數"x）=/（|x|）,談也一1|）勺轉），12再根據金）的單調性,得|2x-l|<j,解得亍VxV§,故選A.答案A4. （2018刑臺摸底考試）已知定義在（一1,1）上的奇函數金），其導函數為/（x）=l+cosx,如果久1c+y（i，）<0,則實數ci的取值范圍為（）A.（0,1）B.（1,返）C（一2,y2）D（1,羽）U（羽

19、,1）解析依題意得，f（x）>0,則金）是定狡在（一1,1）上的奇函數、增函數.不等式幾1。）+/（1，）V0等價于夬1a?）V夬1a）=/（a1）,則一1V1a2<a1<1,由此解得lVaVl答案B5. (2018太原模擬)已知函數/(x)=«"吉)，若金1)勺>2)，貝M)AX1>X2BXl+x2=0CX1<X2DX?<X2解析(ly(x)=x(音一三)=金)，./x)在R上為偶函數，f(x)=e“-右+('+音)，x>0時，/(x)>0,:.fix)在0,+8)上為增函數，由Xxi)<Xx2),得八比

20、|)(旳|),A|xi|<|x2|,:.xi<x.答案D6. (2018河南新野第三高級中學月考)已知函數g(x)是R上的奇函數，且當x<0時，g(x)=ln(l%),函數金)=,、若y(2x2)>/(x),則實數x的取值范I制是()也(x),x>0,A(一8,1)U(2,+8)B(一8,-2)U(b+8)c.(1,2)D.(-2,1)解析設x>0,則一xVO.Vx<0時，g(x)=ln(lx),Ag(x)=ln(l+x)x?xWO又是奇函數，g(x)=ln(l+x)a>0),金)=：'.其圖象如圖所示.lln(l+x),x>0.由

21、圖象知，函數7(x)在R上是增函數.V/(2-x2)>/(x),：.2-x2>x9即一2VxV1.答案D7. (2018湖南省常德市一模)已知丿=金)是定義在R上的奇函數，當x>0時，用)=2乂-b則人一2)=.解析根據題意，當x>0時，金)=2*1,則/2)=22-1=3,又由y=fix)是定義在R上的奇函數，則幾一2)=；(2)=3;故答案為：一3.答案-38. 已知幾兀)是定義在R上的偶函數，且在區間(一8,0)上單調遞增.若實數d滿足人2匕F)次一返)，則a的取值范圍是.解析冗0是偶函數，且在(一8,0)上單調遞增，金)在(0,+8)上單調遞減，人一返)=/&#

22、163;)，談21小)>/(也)，2廠】卻=2*,|4一1|弓，即一討一1易即芬v|-,則使得fix+l)<2x9. (2018湖南衡陽第三次聯考)已知函數/(x)=logj©+£)磴1)成立的x的范圍是.解析由題意得，函數/(x)定艾域是R,V(-x)=log£(-x)2+£)-|”=y(x),函數夬x)是偶函數，偶函數金)在(0,+8)上單調遞減，Hx+l)vy(2x-l),A|x+1|>|2a1|,解得0Vx<2,故答案為：0VxV2.答案0<x<210. 已知函數7(x)是定義在R上的奇函數，且它的圖彖關于直線

23、x=l對稱.(1) 求證：幾“是周期為4的周期函數；(2) 若/Cr)=*(0VxWl),求xG5,4時，函數y(x)的解析式.解(1)證明：由函數冗0的圖象關于直線X=1對稱，有7(x+l)=/(lx),即有/-X)=金+2).又函數_/(x)是定艾在R上的奇函數，故有X-x)=-y(x).故fix+2)=-fix).從而fix+4)=-fix+2)=fix'),即Xx)是周期為4的周期函數.(2)由函數冗。是定義在R上的奇函數，有夬0)=0底一1,0)時,-xe(o,i,金)=_flQ=故xe1,0時，flx)=yx.xG-5,一4時，x+4曰一1,0,金)=金+4)=-yj-x-

24、4.從而，xE5,4時，函數金)=_*7x_4.B能力提升練1. (201S安徽合肥一模)已知函數在y(x)=(x22x)siii(x1)+x+1在1,3上的最人值為M,最小值為加，則Af+加=()A.4B.2C.1D.0解析設r=x1,則fix)=(x22x)sin(x1)+x+1=(Z21)sillt+t+2,ZE2,2,記&(/)=("l)sinf+r+2,則函數y=g(f)2=(2l)sinf+f是奇函數，由已知y=g(f)2的最大值為Af2,最小值為7W2,所以Af2+(?一2)=0,即M+ni=49故選A.答案A2. (2018寧夏銀川市興慶區長慶高中一模試卷)已

25、知函數/(x)=2sinx3x,若對任意m曰一2,2,刃必一3)+如2)>()的恒成立，則a的取值范圍是()A.(一1)B.(一8,-1)U(3,+8)C(一3,3)D(一8,-3)U(1,+8)解析VX-x)=2sm(-x)-3(-x)=-(2smx3x)=-/x),是奇函數，又/(x)=2cosx3<0,/(x)單調遞減，/(加a3)+/(q2)>o可化為fijria3)>fl/r)=/(a2),由y(x)遞減知ma3<a29即jna+a23<09對任意的7?zE2,2,fiitia3)+/(2)>0恒2d+a?3V0成立，等價于對任意的/IE2,2,ina+cr3<0恒成立，則|,解得一12a+a3<0VaVl,故選A.答案A3(2018廣州調研)己知金)是奇函數，g(x)=；(x)+4,g(l)=2,則X-1)的值是解析g(x)=/W+4,/(x)=g(x)4,又金)是奇函數,-/l)=-g(l)+4=2.答案24. 已知定義在R上的奇函數金)滿足冗I4)=一金)，且在區間0,2上是增函數.若方程fix)=jn(rn>0)在區間一&8上有四個不同的根x?,X3,“則才1+小+火3+曲=解析因為金)為奇函數并且金一4)=一金)所以7(x-4)=-/(4-x)=-/(x),即/(4x)=