1、數形結合思想例題分析數形結合思想例題分析一、構造幾何圖形解決代數與三角問題:1、證明恒等式：例1已知x、y、z、r均為正數，且x求證：rzxy.222z,自然聯想到勾股定理2x.可以聯想到BD.所以:22分析：由xy射影定理。從而可以作出符合題設條件的圖形(如圖)。對照圖形，由直角三角形面積的兩種算法，結論的正確性一目了然。證明：(略)小結：涉及到與平方有關的恒等式證明問題，可構造出與之對應的直角三角形或圓，然后利用圖形的幾何性質去解決恒等式的證明問題。2、證明不等式：例2已知：0ai,0bvi.求證a2b2,'(1a)2b2(1b)2J(1a)2(1b)22.2.證明：如圖，作邊長為

2、1的正方形ABCD在AB上取點E,使AE=a；在AD上取點G,使AG=b,過E、G分另1J作EF/AD交CDF;作GH/AB交BC于H。設EF與GH交于點0,連接AOBOCODOAGBD.由題設及作圖知4AOG、BOE、COF、DOG均為直角三角形，因此OA%a2b2OB,(1a)2b2OC%(1a)2(1b)2ODa2(1b)2且ACBD2由于OAOCAC,OBOD數形結合思想例題分析Ja2b2'(1a)2b2、a2(1b)2J(1a)2(1b)22：2.當且僅當ab1時，等號成立。小結：在求證條件不等式時，可根據題設條件作出對應的圖形，然后運用圖形的幾何性質或者平面幾何的定理、公理

3、去建立不等式使結論獲證。3、求參數的值或參數的取值范圍：2例3若方程ax2x10（a>0）的兩根滿足：x1V1,1<x2V3,求a的取值范圍。_2解析：畫出與方程對應的二次函數yax2x由圖可知：當x=1時，yo；當x=3時，y>0.即a12211<o；a32231>o.5解得：<a<1.9mx21的解集僅有一個元素，求m的值。2例4若關于x的不等式0x2解：如圖：在同一坐標系內，作出y1與yxmx22的圖象。題設條件等價于拋物線yxmx2在直線y0與y1之間的帶狀區域僅有一個交點，且拋物線開口向上。由圖形的直觀性質可知：這個交點只能在直線y1上，故方

4、程組C僅有一組解。mx2y2yx1的最小值是x13.小結：此題由式子特點聯想勾股定理，構造圖形解決問題。二、用代數與三角方法解決幾何問題：例6如圖，在ABC中，AB>AC,CF、BE分另是ARAC邊上的高。試證：ABCFACBE證法一：（三角法）因為0sinA1,ABAC（ABAC）sinAABACsinAACABsinA數形結合思想例題分析m2410即m2.小結：對于含參方程（不等式），可將其與對應的函數（圖象）聯系起來，運用數形結合思想，去揭示問題中所蘊含的幾何背景，往往能為解題提供清晰的思路。4、求最值問題：例5已知a、b均為正數，且ab2.求J024Vb21的最小值。解：如圖，作

5、線段AB=2在AB上截取AE=a,EB=b,過A作ACAB,且AC=2過B作BDAB,且BD=%由勾股定理：CE=Va4,BD=Vb1,原題即求CE+EM最小值。又如圖，延長CA至G,使AG=AC連接GE由三角形兩邊之和大于第三邊，則GE、D三點共線時，GE+ED=D最短。作出圖形，延長DB至F,使BF/AG且BF=AG連接GF.貝U在RtDGF中,DF=1+2=3GF=AB=2DGDF2GF2）3222.13CE+DE勺最小值是ABCFACBE（當A90o時取等號）證法二：（代數法）AB>AOCF,AB>BE及SaABC1八1八ABCFACBE22AB處變形得ABBEACCFBE

6、CFABACABBE>ACCF數形結合思想例題分析ABCF>ACBE90o日t,ABCF=ACBE.綜上：ABCFACBE.小結：以上兩種證明方法,分別采用了三角法與代數法，較之純幾何證法來，易于想到。例7如圖，在正ABC的三邊ABBGCA上分別有點DE、F.若DEBCEFAC,FDAB同時成立，求點D在AB上的位置.分析：先假設符合條件的點D、E、F已經作出，再利用已知條件，尋找線段與角之間的數量關系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。解：設AB=1,AD=X因為ABC為正三角形,且DEBQEFAC,FDAB)故，BD2BE8x解得:x(8x2)1-.AD3BD1AF2x,

7、CF12x,CD2CF24xBE1CE4x1即點D位于AB邊上-分點處.3小結：幾何中存在著這樣一類問題，即幾何圖形中的某些點的位置或線段的長度小不能依題意畫出來，只有根據已知條件求出某一些量時，圖形才能畫出。而方法,常常是通過列方程（組），即轉化為代數方程求解。例8如圖，ABC三邊的長分別是BC=17,CA=18向ABC的三邊分別作垂線PRPE、PF（DE、BDCEAF27.求:BDBF的長.解：設BDFy或角度的大求那些量的內的AB=19.過ABCF為垂足）.若DC1718y,FB19連接PAPB在RtAPBMPC.RtPFB中,PD2(19z)2PF2一一2同理：yPE2(17x)2PD