1、2010年4月24日，該年度的約翰貝茨克拉克獎章(JohnBatesClarkMedal針對40歲以下年輕經濟學者的最高榮譽，授予了麻省理工學院經濟系的EstherDuflo教授以表彰其在隨機實驗普及和其在發展經濟學中應用方面的卓越貢獻。在因果關系分析的實證方法中，最優的選擇應當為隨機實驗，但是隨機實驗的時間成本和經濟成本都比較高，而在隨機實驗不可得的情況下，需要考慮使用其它方法。斷點回歸(RegressionDiscontinuity)便是僅次于隨機實驗的，能夠有效利用現實約束條件分析變量之間因果關系的實證方法。Lee(2008)認為在隨機實驗不可得的情況下，斷點回歸能夠避免參數估計的內生性

2、問題，從而真實反映出變量之間的因果關系。然而，斷點回歸也僅僅是在20世紀90年代末才被應用于處理經濟學的問題。2001年，Hahn等人對斷點回歸模型的識別和估計的理論問題進行了嚴格細致的分析，此后，斷點回歸才在眾多的經濟學研究領域中嶄露頭角。時至今日，斷點回歸已經在勞動和教育經濟學、政治經濟學、環境經濟學和發展經濟學等領域取得了廣泛的應用。然而，斷點回歸卻鮮為中國經濟學者所應用，正是基于斷點回歸在實證研究中的重要性和國內文獻的缺乏，本文擬以此為背景，從斷點回歸的理論、發展歷史、實證步驟和經濟學中的應用幾個方面闡述斷點回歸這一個新“擬隨機試驗”方法的興起。二斷點回歸理論及發展歷史斷點回歸是一種擬

3、隨機實驗，此種隨機實驗定義了這樣一個特征，即接受處置(Treatment)的概率是一個或者幾個變量的間斷函數。Hahnetal.(2001)提出了斷點回歸的首要假設，如果變量表示處置效應，表示決定處置的關鍵變量，那么和必須存在，并且。在使用斷點回歸的情況下，存在一個變量，如果該變量大于一個臨界值時，個體接受處置，而在該變量小于臨界值時，個體不接受處置。一般而言，個體在接受處置的情況下，無法觀測到其沒有接受處置的情況，而在斷點回歸中，小于臨界值的個體可以作為一個很好的可控組(ControlGroup)來反映個體沒有接受處置時的情況，尤其是在變量連續的情況下，臨界值附近樣本的差別可以很好的反映處置

4、和經濟變量之間的因果聯系。斷點回歸可以分為兩類，第一類，臨界值是確定的(Sharp)，即在臨界值一側的所有的觀測點都接受了處置，反之,在臨界值另一側的所有觀測點都沒有接受處置。此時，接受處置的概率從臨界值一側的0跳轉到另一側的1；第二類，臨界點是模糊的(Fussy)，即在臨界值附近，接受處置的概率是單調變化的。Hahnetal.(2001)在一定的假設下，證明了無論是哪一類型的斷點回歸，都可以利用臨界值附近樣本的系統性變化來研究處置和其它經濟變量之間的因果關系。斷點回歸首先是由美國西北大學的心理學家Campbell于1958年首先發展設計出來的，從那時開始直到二十世紀80年代，Campbell

5、和西北大學心理學系和統計學系的同事一直從事斷點回歸的設計和研究工作。Thistlethwaite和Campbell(1960)正式發表了第一篇關于斷點回歸的論文，他們提出斷點回歸是在非實驗的情況下處理處置效應(TreatmentEffects)的一種有效的方法，主要應用于心理學和教育學領域。隨后，Campbell和Stanley(1963)為斷點回歸提供了更加清晰化的概念，但是由于他們并沒有給出斷點回歸統計上的證明。在他們看來，斷點回歸主要是為了解決選擇性偏誤(SelectionBias)問題，斷點回歸利用了一個取決于某連續變量的間斷函數，這個間斷函數完全決定了個體是否受到處置，這就使得樣本選

6、擇的細節完全展示出來，使得我們知道樣本選擇的問題所在。此外，Campbell和Stanley還認為斷點回歸僅僅是在間斷的臨界值處類似于隨機實驗，其推論的有效性也僅僅局限于間斷的臨界值處。整個20世紀60年代，斷點回歸方法的應用還停留在一種直覺的推導，而缺乏統計上嚴密的證明。Goldberger(1972a,b)曾對斷點回歸的無偏因果推斷進行了證明，可惜的是，他的論文并沒有得到發表，這主要是因為他認為斷點回歸的適用環境是一個高度理想化的環境，其適用范圍十分有限。相反，變量之間因果關系的推斷還包括了工具變量法(IVApproach)和Heckman處理樣本選擇問題的模型，這兩種方法的適用性更加廣泛

7、，從而使得人們忽視了斷點回歸方法的應用，也使得斷點回歸在很長一段時間內消失在人們的視野之中。隨著Campbell等人所認為的斷點回歸適用性僅僅局限于臨界值附近這一論斷被證偽之后，斷點回歸才開始重新回到人們的視野之中。Rubin(1977)證明了在個體是否接受處置僅僅取決于一個關鍵變量的情況下，處置效應能夠在關鍵變量的整個范圍內得到無偏的因果推斷。Sacks和Ylvisaker(1978)提出了斷點回歸的估計方法，并在理論上給予了較粗略的證明。他們將被解釋變量分解為觀察變量的線性組合再加上一個非隨機的誤差項，其估計方法類似于局部非參數回歸(LocalNonparametricRegression

8、)，其有效性不僅僅是對于臨界值附近的樣本，而且可以擴展到關鍵變量的整個領域。斷點回歸在理論方面取得了新進展的同時，其它因果推斷方法的不足之處也逐漸的被認識到。比如，工具變量法存在局限性，特別是排他性(Excludability)條件難以滿足，即難以保證工具變量僅僅通過影響關鍵解釋變量而影響到被解釋變量，尋找合適的工具變量存在一定的困難。此外，Lalonde(1985)發現Heckman樣本選擇模型并不能產生和隨機實驗一樣的結果。正因為因果關系的推斷是經濟學家所關注的最主要的問題，并且現有的因果推斷方法都不能得出完全合理的因果關系，人們開始逐漸將目光轉向了斷點回歸。Trochim(1984)繼續

9、了他老師Campbell的工作，Trochim綜合了之前關于斷點回歸的理論和方法，并且將斷點回歸類型分為兩類，第一類是確定型的斷點回歸(SharpRegressionDiscontinuity)，即個體在臨界值一邊接受處置效應的概率為1,而在臨界值另一邊接受處置效應的概率為0;第二類是模糊型的斷點回歸(FuzzyRegressionDiscontinuity)，即個體接受處置效應的概率均大于0小于1，個體在臨界值一邊接受處置的概率大于在臨界值另一邊接受處置的概率。Trochim特別對第二類斷點回歸問題進行了研究，并開始利用該方法進行實證研究。與Campbell觀點不同，Trochim認為斷點回

10、歸的應用性并非那么的狹隘，相反，其應用范圍還十分的廣泛。除此之外，他還強調了決定處置的關鍵變量不僅僅可以是一個單一變量，而且還可以是一個合成變量。隨后，斷點回歸的優勢逐漸被學界所認可，其應用也愈加廣泛。具體而言，其優勢包括兩方面：第一，斷點回歸可以應用于出于對經濟成本和倫理道德問題的考慮，隨機實驗不能進行的環境；第二，斷點回歸優越于所有其它已知的因果推斷方法，其結果十分接近于隨機實驗結果，Lee和Lemieux(2010)也通過形象的例子展示了斷點回歸和隨機實驗的相似性°Hahnetal(2001)最終為斷點回歸的模型識別和模型估計進行了嚴格意義上的理論證明，并提出了相應的估計方法，

11、由此，斷點回歸在經濟學中的應用如雨后春筍般出現在重要經濟學文獻中。三斷點回歸的實施步驟（一）確定型斷點回歸運用圖形來分析處置效應是否存在是斷點回歸分析的基礎。圖形分析在斷點回歸的實施中扮演著重要的角色，通過將樣本點和決定處置的關鍵變量在坐標系中描述出來，便可以清楚的看到臨界值附近的樣本點是否存在跳躍。如果樣本點存在跳躍，那么說明確實存在處置效應，相反，如果樣本點沒有出現相應的跳躍，那么說明斷點回歸的模型識別可能存在問題。當我們從圖形分析中發現了臨界值處存在處置效應，那么就應當做進一步更加細致的計量實證分析。為了使圖形更為直觀，需要根據決定處置的關鍵變量來劃分箱體（Bin）和箱體的范圍，并在該范

12、圍內計算變量的均值。一般而言，箱體的范圍需要大到包含足夠多的樣本使其樣本點在臨界值兩邊都比較平滑，但又要小到一定程度使得樣本點在臨界值處的跳躍能夠明顯的顯現出來。Lee和Lemieux（2010）提出兩種方法來選擇合適的箱體范圍。第一種是根據對數據的觀察決定使用個箱體；然后對個箱體的虛擬變量做回歸；隨后，將箱體范圍縮小二分之一，使得箱體由個變為個，將個箱體的虛擬變量作為解釋變量再做一次回歸。由于使用個箱體虛擬變量的回歸是內嵌于使用個箱體虛擬變量的回歸之中的，因此，可以使用標準的F檢驗來比判斷個箱體和個箱體的優劣。第二種方法是基于這樣一個原理，如果箱體足夠的小，那么被解釋變量和決定處置的關鍵變量

13、將不會出現系統的聯系，因此，可以將被解釋變量對箱體的虛擬變量以及該虛擬變量和決定處置的關鍵變量的乘積項做回歸，并使用F檢驗來判斷虛擬變量和關鍵變量的乘積項是否顯著的為0。通過以上方法得到合適箱體范圍后，便可以分別對臨界值兩邊的樣本進行估計，得到臨界值兩邊的平滑曲線，具體實施步驟如下：第一步，構造箱體，其中為臨界值，為箱體的范圍；其次，計算每一個箱體中的樣本數量，其中為決定處置的關鍵變量；再次，求出每個箱體的平均值，；最后，畫出和二者之間的曲線關系。第二步，同時利用臨界值兩邊的樣本進行回歸。這就好比在非參數回歸中使用了rectangular的核，選取葉寬（bandwidth），將樣本的估計局限在

14、范圍內。一般而言，可以使用非參數回歸，但是如Hahnetal.（2001）指出的，非參數回歸會產生高階數的偏差，簡單的非參數估計往往并不具有吸引力，所以對于樣本的回歸可以采取局部線性回歸(LocalLinearRegression)，即最小化下式：這其中存在葉寬選擇的問題，Hahn等(2001)提出最優的葉寬與成比例。例如，樣本增加32倍，那么為1/2，葉寬就可以減少一半，但是這并沒有解決如何選擇葉寬的問題。計量經濟學和統計學的文獻中有兩種選擇葉寬的方法：第一種方法是根據拇指規則(RuleofThumb)對整個樣本的數據進行估計以求得最優葉寬。比如，對于rectangular的核，最優葉寬可以

15、根據下式求出：其中是斷點回歸的標準差，表示斷點回歸方程的二階導數，是斷點回歸方程估計時的范圍，2.702是使用rectangular核估計的常數。另一種方法是交叉驗證法(cross-validation)，即首先對臨界值兩邊的樣本分別進行回歸，得到：交叉驗證準則即為選擇合適的葉寬以最小化：此外，斷點回歸中也可以加入其它的控制變量，如此做的原因是消除小樣本偏差，同時使得估計更為精確。具體而言：如果控制變量的以為條件的分布在臨界值處是連續的，那么的加入對處置效應的估計幾乎沒有影響，因為是獨立于處置效應的；同時，只要接近臨界值，那么的加入并不會對估計的偏差產生任何影響，但是，實際應用中，樣本的選擇往

16、往并不能保證足夠接近于臨界值，因此，在計量模型中加入控制變量可以消除這些由于這些額外變量造成的偏差，并且，如果與被解釋變量有關，控制變量的加入還可以改進估計的精確性。第三步，對斷點回歸的結果進行穩健性檢驗。首先，需要檢驗其它控制變量在臨界值處是否存在跳躍，如果其它的控制變量在臨界值處存在顯著的跳躍，那么被解釋變量在臨界值處的跳躍將不僅僅是由于處置效應所帶來的，這使得斷點回歸不能進行有效的因果推斷；其次，需要檢驗決定處置的關鍵變量的條件密度是否存在不連續的情況，如果條件密度發生了跳躍，那么說明存在個體操作關鍵變量的可能。為此，可以計算每個箱體中樣本的數量，將其作為縱軸，將關鍵變量作為橫軸，通過圖

17、形和回歸分析來考察關鍵變量的分布在臨界值處是否存在跳躍。如果存在跳躍，則個體可能存在操作處置的可能，從而使斷點回歸方法失效；再次，需要檢驗當臨界值取其它值時，變量是否存在跳躍。如果變量不僅在臨界值處存在跳躍，而且也在其他值處存在跳躍，那么變量的跳躍是由處置效應造成的這一推斷就值得懷疑，可能還存在其它因素決定了變量在臨界值處的跳躍；最后，需要在計量模型估計時，使用不同的葉寬，并且分別考慮加控制變量和不加控制變量的情況，以此來考察不同的計量模型形式是否對結論產生了顯著的變化。（二）模糊型斷點回歸第一步，與確定型斷點回歸一樣，運用圖形來分析變量是否存在跳躍以及個體在臨界值處接受處置的概率是否存在跳躍

18、。第二步，使用兩階段最小二乘（TSLS）的方法來估計處置效應。具體步驟如下：首先根據下式求出和，其中。然后，利用和之比求出處置效應。由于，模糊型斷點回歸中需要進行兩次計量回歸求出和，因此最優葉寬的選擇需要同時考慮這兩次回歸的結果，Lee（2008）提出使用以下的準則來求出最優葉寬：第三步，對斷點回歸的結果進行穩健性檢驗。檢驗步驟與確定型斷點回歸一樣。四斷點回歸在經濟學中的應用（一）勞動和教育經濟學領域由于在勞動力市場和教育部門中，政府外生制定的政策和法規種類較多，所以斷點回歸在勞動和教育經濟學領域中的應用十分常見。Angrist和Lavy（1999）利用以色列教育制度對班級大小的規定，即班級大

19、小必須小于等于40人，如果超過40人，必須將原來的班級分成兩個班級，通過斷點回歸來研究班級的大小對學生成績和教育質量的影響，他們發現班級學生人數越小，其學生的考試成績越好。Black（1999）利用家庭所屬入學區不同這一特征，將入學區之間臨界線兩側的樣本作為研究對象，作者使用了享樂價格函數（HedonicPriceFunction）估計了入學區之間存在的教育質量差異對房屋價格的影響，并以此考察了為獲得更優質的教育，家庭的支付意愿，其研究結果表明，如果小孩測試分數提高5%,家長愿意多支付2.5%。Hoxby（2000）運用斷點回歸研究了班級大小對教育質量的影響，他同樣利用了Angrist和Lav

20、y（1999）所使用的政府對班級大小的規定，并考慮到入學對年齡的要求會導致不同年級的人數會有差別，而這差別又會對班級大小產生影響這一機制，其實證結果并沒有支持Angrist和Lavy（1999）的結果。Lalive（2007，2008）使用斷點回歸研究了失業工人補貼時限的延長對勞動力市場的影響，由于奧地利對50歲以上失業人員補貼的時限與50歲以下失業人員補貼時限不一致，因此，通過比較50歲上下失業人員的情況，就可以發現這種失業補貼時限不一致對失業時間以及新找工作的待遇和類型的影響；同時，由于這種政策的實施還存在地理位置上的差異，因此，通過比較地區間臨界線兩側的樣本同樣可以發現失業補貼時限對失業

21、的影響，作者證實了補貼時限越長，工人失業的時間就越長。Chiang（2009）利用了美國弗羅里達州實施的對教學質量沒有達標的學校進行懲罰這一規定，使用斷點回歸的方法研究了這種激勵措施對教學質量的直接影響，他發現受益于這種激勵，學校的教學質量，特別是學生的數學成績有了一定幅度的改進，同時，學校也加大了教學基礎設施建設、實驗工具和老師培訓方面的支出。Clark（2009）利用了英國中學必須獲得學生家長一定份額的票數才能進行自治這一規定，通過斷點回歸研究了通過投票方式獲得自治的學校和沒有獲得自治的學校在教學質量上的差別，他發現得到自治權的學校在考試通過率上表現更好。雷曉燕等（2010）利用了中國政府

22、對退休年齡的規定，運用斷點回歸的方法分析了退休對健康的影響，他們發現在正常退休年齡退休對男性健康有顯著的負面影響，相反，這種負面影響并沒有在女性群體表現出來。（二）政治經濟學領域在政治經濟學研究領域中，由于政黨選舉通常需要得到一定的選票，而獲得多少選票可以當選是由法律規章制度預先設定的，因此，存在一個當選與不當選的選票臨界值。斷點回歸便是利用了這一臨界值附近的樣本來考察選民對政策的影響、在職者的政治優勢和政府的開支等等一系列問題。在美國眾議院選舉中，一個政黨如果能夠獲得所屬選區50%以上的選票，那么就能夠贏得該選區的選舉。Leeetal.（2004）利用了50%得票率是獲選與否的關鍵決定因素這

23、一特征考察了選民對競選者政策選擇的影響?，F有理論中存在兩種關于選舉對政策影響的觀點，第一種觀點認為，競選者傾向于采取符合處于中位數選民偏好的政策，即所謂的唐斯收斂效應（DownsianConvergenceEffect）；第二種觀點認為，考慮到政治家的承諾在選舉后并不能完全兌現，選民傾向于選擇當前最有利于他們權益的政策，Lee等人通過考察競選者面臨相近的選票時，即選舉的壓力加大時，是否會改變自己所提倡的政策，其實證結果表明唐斯收斂效應并不存在。相反，選民會在兩黨競選者中選擇出制定了對自己最有利政策的競選者。在同樣的背景下，Lee（2008）也利用了必須獲得50%以上選票當選這一個規則，使用了斷

24、點回歸方法研究了美國眾議院在職者是否會利用本次當選所得到的權利，從而有利于在下一屆眾議院選舉中再次當選這個問題，他發現眾議院的在職者贏得下一次選舉的概率更大。Albouy（2009）以美國兩黨制為背景，研究了國會（包括參議院和眾議院）議員的黨派身份對聯邦政府在國會議員所屬區域支出的影響，由于一個黨派在參議院和眾議院獲得超過50%選票便能夠成為該院占多數的黨派，進而能夠對議案的通過產生影響，因此，50%的選票便是一個臨界值，通過比較臨界值附近的樣本差異，便可以得到獲得國會多數席位的國會議員黨派身份對聯邦政府的支出的影響，他的研究結果表明，在國會獲得多數席位的議員黨派往往能夠為該黨派議員所屬州爭取

25、更多的政府支出，并且對于不同的黨派身份，這種政府支出的表現形式還存在差異，當共和黨獲得國會多數席位時，其議員所屬州將會得到更多的國防開支，而當民主黨獲得國會多數席位時，其議員所屬州將會得到更多教育和城市發展方面的政府開支。Ferreira和Gyourko（2009）同樣使用斷點回歸的方法分析了政黨選舉對政治經濟的影響。與之前研究不同的是，他們使用的是美國城市的數據，考察的對象是市長的選舉，其研究結果表明，在職者仍然能夠以較大概率贏得下一任的選舉，但是國會選舉所表現出來的黨派政治對政策和經濟的顯著影響這一結論并不適用于市長選舉，此時，黨派政治對市政府的規模、公共品的支出和犯罪率并沒有明顯的影響，

26、他們認為這其中的原因在于城市之間較強的同質性和城市之間的競爭使得黨派政治對政策和經濟的影響有所削弱，同時也使得競選者的承諾更為可信。（三）環境經濟學領域在環境污染方面，許多國家都頒布了相關的政策和法令來控制日益嚴重的環境問題，這也提供了可以利用斷點回歸進行政策分析和研究的背景。Chay和Greenstone（2005）使用了斷點回歸的方法研究了人們對避免空氣污染的支付意愿，美國政府于二十世紀70年代頒布了清潔空氣法案（CleanAirActs），即一個地區如果污染程度超過聯邦政府所制定的臨界值，那么環保局會將該地區視為未達標地區，從而使得該地區面臨更為嚴格的監管。因此，聯邦政府為地區污染所制定

27、的排放臨界值便成為實證研究中的一個間斷點，通過比較超過排放臨界值地區和未超過排放臨界值地區的房價水平，他們發現，受到環保局更嚴格監管地區的懸浮顆?？偭繒兴陆担⑶覒腋☆w?？偭棵肯陆?，地區的房價便會提高0.4-0.5%。Davis（2008）利用了墨西哥城于1989年實行的名為HoyNoCircula的項目，即每周車輛將根據其牌照最后一位數字而被限行一天，運用斷點回歸的方法研究了這一車輛限行政策對空氣質量的影響，他發現車輛限行政策并沒有改善當地的空氣質量，相反，車輛限行提高了未被限行車輛的使用率，同時人們也轉而使用高排放量的車輛。Greenstone和Gallagher（2008）使用斷點

28、回歸的方法研究了1980年美國國會通過的并由卡特總統簽署的綜合環境反應、賠償和責任法案（ComprehensiveEnvironmentalResponse,Compensation,andLiabilityAct,CERCLA）所產生的經濟價值，CERCLA賦予環保局對污染物質排放超標或對公共健康和環境構成威脅的地區實行環境清潔計劃的權利，因此，污染物質排放水平便成為關鍵變量，它決定著一個地區是否實行了環境清潔計劃，通過比較實行環境清潔計劃地區和未實行環境清潔計劃地區的房價和房屋租金，他們發現如果一個地區實行了環境清潔計劃，那么20年后，該地區的房屋財產價值將會增加四千兩百萬美元，并且居住人

29、口也會顯著增加。Almondetal.（2009）研究了中國使用暖氣的政策對地方環境污染的影響，在1950-1980年間，由于財政不足以令全國各地都經由免費煤炭供給使用暖氣，因此，在中國，只有淮河和秦嶺以北的地區能夠得到免費的煤炭供給使用暖氣，這項政策的實施使得以淮河和秦嶺為界的南北地區空氣污染程度產生了顯著的差別，他們使用斷點回歸的方法對這一問題進行了細致的研究，其研究結果表明淮河和秦嶺以北的地區空氣中懸浮顆?？偭棵黠@高于淮河和秦嶺以南的地區，并且北方懸浮顆?？偭康闹笜耸敲绹?-8倍。（四）發展經濟學領域斷點回歸在發展經濟學領域中的應用主要利用了各個地區行政區域劃分的特點。Dell（200

30、8）利用斷點回歸的方法研究了歷史制度對區域經濟影響的持久性，并考察了歷史制度影響當前經濟績效的渠道。玻利維亞和秘魯的執政者在16世紀西班牙殖民地時期，均在波托西（Potosi）銀礦和萬卡維利卡（Huancavelica）水銀礦地區實行了名為Mita的征收勞工制度，即執政者要求征用各個地區男性人口的七分之一用于開采銀礦和水銀礦，如果一個地區與礦產的距離較遠，那么來回運輸和監督成本就會很高，因此，出于對經濟利益的考慮，一個地區是否實行了Mita制度在很大程度上取決于該地區與礦產距離的遠近，通過比較Mita制度實行區域與未實行區域之間臨界線兩側的樣本，Dell發現Mita制度的實施減少了當前地區消費的32%，并且Mita制度主要通過影響產權界定和公共物品的提供兩個渠道影響到了當前的地區經濟績效。余靜文和趙