1、章章S S域分析、極點(diǎn)與零域分析、極點(diǎn)與零點(diǎn)點(diǎn)決定系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)決定系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)決定系統(tǒng)頻率響應(yīng)決定系統(tǒng)頻率響應(yīng)決定系統(tǒng)穩(wěn)定性決定系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)零狀態(tài)下，響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)系統(tǒng)零狀態(tài)下，響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)拉氏變換之比叫作拉氏變換之比叫作系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)，記作，記作H(s).可以是電壓傳輸比、電流傳輸比、轉(zhuǎn)移可以是電壓傳輸比、電流傳輸比、轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納、策動(dòng)點(diǎn)阻抗或?qū)Ъ{阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納、策動(dòng)點(diǎn)阻抗或?qū)Ъ{)()()(sEsRsH系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布niimjjpszsksH11)()()(j0z1z2z0p1p2p5.1 由系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分

2、布決定由系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布決定 時(shí)域特性時(shí)域特性（1）時(shí)域特性）時(shí)域特性h(t)niimjjpszsksH11)()()(反變換niinitpiniiithekpskLthi1111)()(第 i個(gè)極點(diǎn)決定總特性Ki與零點(diǎn)分布有關(guān)（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布幾種典型的極點(diǎn)分布(a)一階極點(diǎn)在一階極點(diǎn)在原點(diǎn)原點(diǎn)j01pSsH1)(t)(th)()(tuth（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布幾種典型的極點(diǎn)分布(b)一階極點(diǎn)在一階極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸負(fù)實(shí)軸SsH1)(teth)(t)(thtej01p（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布幾種典型的極點(diǎn)分布(c)一階極點(diǎn)在一階極點(diǎn)在正實(shí)軸正實(shí)軸j0SsH1)(teth)()(t

3、ht0te1p（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布幾種典型的極點(diǎn)分布(d)一階共軛極點(diǎn)在一階共軛極點(diǎn)在虛軸上虛軸上2121)(SsH)(.sin)(1tuttht)(th0j01j1j1p2p212)(SSsH)(.cos)(1tutth（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布幾種典型的極點(diǎn)分布(e)共軛極點(diǎn)共軛極點(diǎn)在虛軸上在虛軸上，原點(diǎn)原點(diǎn)有一零點(diǎn)有一零點(diǎn)t)(th0j01j1j1p2p（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布幾種典型的極點(diǎn)分布(f)共軛極點(diǎn)在共軛極點(diǎn)在左半平面左半平面2121)()(SsH)(.sin)(1tutethtt)(th0j01j1j2p1p（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布幾種典型的極點(diǎn)分布(g)共軛極點(diǎn)在

4、共軛極點(diǎn)在右半平面右半平面2121)()(SsH)(.sin)(1tuttht)(th0j01j1j1p2p（3） 有二重極點(diǎn)分布有二重極點(diǎn)分布(a)在原點(diǎn)在原點(diǎn)有二有二重極點(diǎn)重極點(diǎn)j21)(SsH)(tht0tth)(j2)(1)(SsHtteth)()(tht0（3） 有二重極點(diǎn)分布有二重極點(diǎn)分布(b)在負(fù)實(shí)軸在負(fù)實(shí)軸上有上有二重極點(diǎn)二重極點(diǎn)（3） 有二重極點(diǎn)分布有二重極點(diǎn)分布(c)在在虛軸虛軸上有二上有二重極點(diǎn)重極點(diǎn)2212)(2)(SSsHttth1sin)(j)(tht0（3） 有二重極點(diǎn)分布有二重極點(diǎn)分布(d)在左半平面有二重共軛極點(diǎn)在左半平面有二重共軛極點(diǎn)2212)()(2)(S

5、SsHttetht1sin)(j1j1j)(tht0一階極點(diǎn)j二重極點(diǎn)j極點(diǎn)影響小結(jié)：極點(diǎn)影響小結(jié)：極點(diǎn)落在左半平面極點(diǎn)落在左半平面 h(t) 逞衰減趨逞衰減趨勢(shì)勢(shì)極點(diǎn)落在右半平面極點(diǎn)落在右半平面 h(t)逞增長(zhǎng)趨逞增長(zhǎng)趨勢(shì)勢(shì)極點(diǎn)落在虛軸上只有一階極點(diǎn)極點(diǎn)落在虛軸上只有一階極點(diǎn) h(t) 等幅振蕩，不能有重極點(diǎn)等幅振蕩，不能有重極點(diǎn)極點(diǎn)落在原點(diǎn)極點(diǎn)落在原點(diǎn) h(t)等于等于 u(t)（4） 零點(diǎn)的影響零點(diǎn)的影響221)()(asassH222)()(asssH0ztethatcos)()()cos(1)(12atgtaethat0z零點(diǎn)移動(dòng)到原點(diǎn)（4） 零點(diǎn)的影響零點(diǎn)的影響零點(diǎn)的分布只影響時(shí)域

6、函數(shù)的幅度零點(diǎn)的分布只影響時(shí)域函數(shù)的幅度和相移，不影響振蕩頻率和相移，不影響振蕩頻率tethatcos)()()cos(1)(12atgtaethat幅度多了一個(gè)因子多了相移結(jié)論H(s)的極點(diǎn)決定了自由響應(yīng)的振蕩頻率，的極點(diǎn)決定了自由響應(yīng)的振蕩頻率，與激勵(lì)無(wú)關(guān)與激勵(lì)無(wú)關(guān)自由響應(yīng)的幅度和相位與自由響應(yīng)的幅度和相位與H(s)和和E(s)的零的零點(diǎn)有關(guān)，即零點(diǎn)影響點(diǎn)有關(guān)，即零點(diǎn)影響 K i , K k 系數(shù)系數(shù)E(s)的極點(diǎn)決定了強(qiáng)迫響應(yīng)的振蕩頻率，的極點(diǎn)決定了強(qiáng)迫響應(yīng)的振蕩頻率，與與H(s) 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)用用H(s)只能研究零狀態(tài)響應(yīng)，只能研究零狀態(tài)響應(yīng)， H(s)中零中零極點(diǎn)相消將使某固有頻率丟失極

7、點(diǎn)相消將使某固有頻率丟失。激勵(lì)E(s)的極點(diǎn)影響激勵(lì)激勵(lì)E(s)的極點(diǎn)也可能是復(fù)數(shù)的極點(diǎn)也可能是復(fù)數(shù)增幅，在穩(wěn)定系統(tǒng)的作增幅，在穩(wěn)定系統(tǒng)的作用下穩(wěn)下來(lái)，或與系統(tǒng)用下穩(wěn)下來(lái)，或與系統(tǒng)某零點(diǎn)相抵消某零點(diǎn)相抵消等幅，穩(wěn)態(tài)等幅，穩(wěn)態(tài)衰減趨勢(shì)，暫態(tài)衰減趨勢(shì)，暫態(tài)0Rekp0Rekp0Rekp例：周期矩形脈沖輸入下圖電路，求其暫態(tài)和穩(wěn)例：周期矩形脈沖輸入下圖電路，求其暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)態(tài)響應(yīng)。T)(tetRC) (te)(0tv（1）求）求e(t)的拉氏變換的拉氏變換)1 ()1 (1)1 (1)(0sTsnsnTseeseessE（2）求系統(tǒng)函數(shù)）求系統(tǒng)函數(shù)H(s)sCsRCssHRC111)(j（3）求系

8、統(tǒng)完全響應(yīng)的拉氏變換）求系統(tǒng)完全響應(yīng)的拉氏變換)(0sV)1)()1 ()().()(0sTsessesHsEsV)()()(000sVsVsVst暫態(tài)穩(wěn)態(tài)(5) 求第一個(gè)周期引起的響應(yīng)的拉氏變換V01(t)()1 ()().()(101ssesEsHsVs（4）求暫態(tài)響應(yīng)，它在整個(gè)過程中是一樣的。sKsVt10)(TseessVK11)(01tTteeetv.11)(0固定常數(shù)衰減因子（7）求第一周期的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）求第一周期的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)seessesVsVsVTsts1.11)()1()()()(00110)().1 ()(.111 )()()(10tuetueeetvttTTs1)(1tVos

9、t0（8）整個(gè)周期矩形信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)0100) 1()()()(nssTntunTtunTtvtv暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)BBATeeA11TeeB115.2 由系統(tǒng)函數(shù)決定系統(tǒng)頻由系統(tǒng)函數(shù)決定系統(tǒng)頻率特性率特性什么是系統(tǒng)頻率響應(yīng)？什么是系統(tǒng)頻率響應(yīng)？不同頻率的正弦激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般為復(fù)數(shù)，可表示為下列兩種形式：一般為復(fù)數(shù)，可表示為下列兩種形式：)()()()()()(jjejHjHjjIjRjHtEtem0sin)(2020)(sEsEmniiijjpskjskjsksHsEsR10000)()()(由正弦激勵(lì)的極點(diǎn)決定的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如系統(tǒng)是穩(wěn)定的，該項(xiàng)最

10、后衰減為零000)(jeHjH000)(jeHjHjeHEsRjskjmjsj2)()(0000jeHEsRjskjmjsj2)()(0000)sin()(000tHEtrm)()(000002)(tjtjmweejHEsR穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有關(guān)的tEtem0sin)(幅度該變相位偏移000)(jeHjH)()()(jjejHjH若 換成變量 0系統(tǒng)頻率特性幅頻特性相位特性用幾何法求系統(tǒng)頻率特性用幾何法求系統(tǒng)頻率特性nllmiijnmniimjjeMMMNNNkpjzjkjH11)(212111)()()(j1p1z111jeNzj111jeMpj2p例：已知例：已知 試求當(dāng)試求當(dāng)時(shí)的幅頻和相位時(shí)的幅頻

11、和相位1221)(23ssssH11M11 j0145414. 1M)231)(231)(1(1)(jsjsssH2M1 j202215517. 0M3M31 j03375932. 1M 0000321135)751545(1211) 1(jMMMjH5.3 一階系統(tǒng)和二階非諧振系統(tǒng)的一階系統(tǒng)和二階非諧振系統(tǒng)的S平面分析平面分析已知該系統(tǒng)的已知該系統(tǒng)的H(s)的極零點(diǎn)在的極零點(diǎn)在S平面平面的分布，確定該系統(tǒng)的幅頻特性和的分布，確定該系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性的漸近線相頻特性的漸近線（1）一階系統(tǒng)）一階系統(tǒng)一零點(diǎn)，一在實(shí)軸的一零點(diǎn)，一在實(shí)軸的極點(diǎn)極點(diǎn)一在原點(diǎn)的零點(diǎn)，一一在原點(diǎn)的零點(diǎn)，一在實(shí)軸的極點(diǎn)

12、在實(shí)軸的極點(diǎn)只有無(wú)窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)只有無(wú)窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)一在實(shí)軸的極點(diǎn)一在實(shí)軸的極點(diǎn)11)(pszsKsH1)(pssKsH1)(psksH例：求一高階系統(tǒng)的頻率特性例：求一高階系統(tǒng)的頻率特性+U1 +U2CRRCssscRRsUsUsH11)()()(12MN-1/RC)()(jeMNjH01, 0, 0MNRCMN21,2011,45,MNMNRCRCRC12UURC10900450, 1,MN例：例： 求一階低通濾波器的頻率特性求一階低通濾波器的頻率特性RC+U1_+U2_RCsRCRUUsHCsCs11.1)(1112M沒有零點(diǎn)RC1j)(11)(jeMkjH12UURC111, 012UUR

13、CM0124521,2,1UURCMRC012900,UUM045090RC1幅頻特性相位特性（2） 二階非諧振系統(tǒng)的二階非諧振系統(tǒng)的S平面分析平面分析只考慮單極點(diǎn)使系統(tǒng)逞低通特性只考慮一極點(diǎn)和一零點(diǎn)使系統(tǒng)逞高通特性中間狀態(tài)是個(gè)常數(shù)低通高通)(jH總體是個(gè)帶通例：1V2V1R1C3KV2C2R)(11)()()(211122111112pspssCRkCRsCRssCRksVsVsH)(21)(2111121111211211)(jjjjjeVVeMMNCRkeMeMeNCRkjH1111CRp2221CRp221111CRCR)(21111211)(jeMMNCRkjH2M1M1N2221C

14、Rp1111CRp高通低通2M1M 較小時(shí)較小時(shí) 起作用起作用0,11111CRM)(1121121)(jeCRMMkNjH2M1Nj0)(,)(45)(,1,21)(022jkHjCRjH221CR0k221CR2p0190)(, 0)(jjH 逐漸增加高通)(j)(jH0900450221CR2 較大時(shí)較大時(shí) 起主要作用起主要作用)(1121111)(jeCRMMkNjH1Mj011090)(, 0)(1,21)(,45)(jHCRjHj111CR0低通特性k1p11)(jeMkjH0121290,NM 逐漸增加11111CRp2221CRp112211CRCRk)(jH帶通090090)

15、(j22111122,11CRCRCRCR01212111190,0,1jNMCRM)(21111211)(jeMMNCRkjH0)()(00jkkejHj例：若已知H(s)零極點(diǎn)分布如圖(a)-(h)試粗略給出它們的)(jH)(a22pj1M2M11p)(2121211)()(1 )(jeMMjHpspssH)(jH)(b22pj1M2M)(21121211)()()(jeMMNjHpspsssH)(jH1N)(c22pj1M2M)(21212122121)()()(jeMMNNjHpspsssH)(jH1N2N)(d2j1M2M)(21112211)()()(jeMMNjHssssH)(j

16、H1N)(e122jpj1M2M)(211212211)()()(jeMMNjHsssH)(jH1N1111jp)( f122jpj1M2M)(211212222211)()()(jeMMNjHsSsH1N111jp2N1j2j2j12)(jH)(g122jpj1M2M)(2112122211)()()(jeMMNjHsSsH111jp1)(jH)( fj2M221222212222)()(jHsSsH1N2N1j2j2j12)(jH1M5.4 5.4 二階諧振系統(tǒng)的二階諧振系統(tǒng)的S S域分析域分析諧振頻率衰減阻尼因子頻率變化影響高品質(zhì)因素（一）諧振頻率ARLC)(111)(21pspssCs

17、LsCGsZdjjLCCGCGp220222, 1122衰減因素 諧振頻率 LC10CG2220d(二)阻尼衰減因子 的影響CG20若 不變，則共軛極點(diǎn)總是落在以原點(diǎn)為圓心，以 為半徑的左半圓弧上000) 1 (01jp 02jpt)(th00)2(0jdjdj0jdjp1djp2)(tht等幅震蕩衰減震蕩00021dpp)(tht 臨界不起振01p2p2022, 12120cGppp實(shí)數(shù)根本不起振（三）頻率變化影響當(dāng)頻率變化時(shí) 在S平面沿著虛軸移動(dòng)，將 代入Z(s)， 則為系統(tǒng)頻率特性，幅度、相位均沿 變化。jsjs)(jZ)()(21121)(1)(1)(21jjjejZeMMNCpjpj

18、jCjZ21)(j討論 的前提下， 不變 而 變化的情況0) 1 (090012102111. 0)(90)(00jejZjMMNz1z1p2p0)(jZ0090090)(j00)2()(90)(9000001212111jZjMMNz1z1p2p0)(jZ0090090)(j1N0) 3(GCNNCjZMMMMNjNz12121)(20)(909001121211211010210111z1p2p0)(jZ0090090)(j斜邊乘高直 角邊之積0jG11N1z1p2p0j0)(90)(180,0)(9090021002121101021011jZMMjjNz0)(jZ0090090)(jG

19、10)4( 顯著增長(zhǎng)，而 增長(zhǎng)緩慢些21MM1N(四)高品質(zhì)因素的影響品質(zhì)因素定義為品質(zhì)因素定義為 包括了包括了 兩方面的影響兩方面的影響 高，若諧振頻率一定，則高，若諧振頻率一定，則 小，損小，損耗小，容易震蕩，頻率特性尖銳耗小，容易震蕩，頻率特性尖銳 低，則相反低，則相反200GcQ, 0QQ例如：當(dāng) 時(shí)的情況 10Q20:1:202000Q0jdj當(dāng) 在 附近時(shí)0)()(9029001010202010111hjddhjjeMjeMMN01000900900211)()(11)()1 (11)(211)(00211hhhhjjjjjtgjGjZjGjeeCeMeMeNCjZ21)45(1

20、)(00jZGMaxjZ0000)(jZ2121)45(1)(00jZGMaxjZ000)(jZ21QfffBQjj021012001020201012245)(,45)(, 1, 1邊帶帶寬 高帶窄Q0例如：高階系統(tǒng)（極零點(diǎn)靠近虛軸）1i2C1CL2v無(wú)損電路，即 很小)()(1)()1(1)()()(2222121212122212sssCCLCCCssLCsCsIsVsZ21212122111CCCCLLC1p2p3p1z2zj1212090090)(jZ)(j1p2p3p1z2zj1212090)(jZ)(j有非?？拷撦S的零極點(diǎn)090)(jZ)(j5.5 全通網(wǎng)絡(luò)和最小相移網(wǎng)絡(luò)5.5

21、全通網(wǎng)絡(luò)和最小相移網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)位于極點(diǎn)左半平面，零點(diǎn)位于右半系統(tǒng)位于極點(diǎn)左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，且零點(diǎn)極點(diǎn)對(duì)于平面，且零點(diǎn)極點(diǎn)對(duì)于 軸互為鏡象對(duì)軸互為鏡象對(duì)稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成為全通函數(shù)，此稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成為全通函數(shù)，此系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)，或全通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)，或全通網(wǎng)絡(luò)。全通，即幅頻特性為常數(shù)全通，即幅頻特性為常數(shù)相移肯定不是零相移肯定不是零j全通網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)分布1N2N3N1z2z3z1p2p3p1M2M3M332211NMNMNM從對(duì)稱零點(diǎn)極點(diǎn)之和為180度逐漸減少最后為-360度)()()(2222sssssHKjH)()()(321321321321)(jeMMMNNNKjH

22、K01800360)(j例：一些對(duì)稱性強(qiáng)的網(wǎng)絡(luò)可能是全通網(wǎng)絡(luò)一些對(duì)稱性強(qiáng)的網(wǎng)絡(luò)可能是全通網(wǎng)絡(luò)LLCCRLRsLRssLRsLRsH)(最小相移網(wǎng)絡(luò)零點(diǎn)位于右半平面，矢量夾角的絕對(duì)值零點(diǎn)位于右半平面，矢量夾角的絕對(duì)值較大較大零點(diǎn)為于左半平面，矢量夾角的絕對(duì)值零點(diǎn)為于左半平面，矢量夾角的絕對(duì)值較小較小定義：零點(diǎn)僅位于左半平面或虛軸上的定義：零點(diǎn)僅位于左半平面或虛軸上的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為“最小相移網(wǎng)絡(luò)最小相移網(wǎng)絡(luò)”非最小相移網(wǎng)絡(luò)可以看成最小相移網(wǎng)絡(luò)非最小相移網(wǎng)絡(luò)可以看成最小相移網(wǎng)絡(luò)和全通網(wǎng)絡(luò)的極聯(lián)和全通網(wǎng)絡(luò)的極聯(lián)相互抵消乘jjj0900360)(j222222min)()()()(ssssHs

23、Hj5.6 系統(tǒng)穩(wěn)定性一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)于有界激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生有一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)于有界激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生有界的響應(yīng)函數(shù)界的響應(yīng)函數(shù)穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵(lì)情況無(wú)關(guān)否穩(wěn)定與激勵(lì)情況無(wú)關(guān)系統(tǒng)沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)能表征系統(tǒng)的系統(tǒng)沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)能表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性穩(wěn)定性的三種情況穩(wěn)定性的三種情況穩(wěn)定系統(tǒng)：穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)全部極點(diǎn)落在左半平面全部極點(diǎn)落在左半平面（除虛軸外）（除虛軸外）不穩(wěn)定系統(tǒng)：不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有極點(diǎn)在右半平面，有極點(diǎn)在右半平面，或虛軸有二階以上重極點(diǎn)，不收斂?；蛱撦S有二階以上重極點(diǎn)，不收斂。邊界穩(wěn)定系統(tǒng)：邊界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有一階

24、極點(diǎn)，等幅有一階極點(diǎn)，等幅震蕩震蕩0)(limtht穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)零極點(diǎn)的要求 在右半平面不能有極點(diǎn)，全在左半在右半平面不能有極點(diǎn)，全在左半面面 在虛軸上只能有一階極點(diǎn)在虛軸上只能有一階極點(diǎn) 分子方次最多比分母方次高一次，分子方次最多比分母方次高一次，即：轉(zhuǎn)移函數(shù)即：轉(zhuǎn)移函數(shù) 策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)策動(dòng)點(diǎn)函數(shù) 中分母的中分母的 的因子只能是的因子只能是 的形式，其中的形式，其中 都是正值，乘得的都是正值，乘得的系數(shù)也是正值系數(shù)也是正值。 )(sH)(sH)(sHnm 1nm)()()(sBsAsH)(sB)(),(),( ,22dscbssassdcba, 從最高次冪到最低次冪無(wú)缺項(xiàng)，從最高次冪到最低次冪無(wú)缺

25、項(xiàng)，b 0 可以為零。可以為零。要么全部缺偶次項(xiàng)要么全部缺偶次項(xiàng)要么全部缺奇次項(xiàng)要么全部缺奇次項(xiàng) 的性質(zhì)也使用于的性質(zhì)也使用于)(sB)(sB)(sA2. 羅斯羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則霍爾維茲準(zhǔn)則設(shè)n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 01110111)()()(asasbsabsbsbsbsAsBsHnnnnmmmm式中，mn，ai(i=0, 1, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是實(shí)常數(shù)。H(s)的分母多項(xiàng)式為 0111)(asasasasAnnnn H(s)的極點(diǎn)就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。 A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條

26、件是：A(s)的各項(xiàng)系數(shù)ai都不等于零，并且ai全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。若ai全為負(fù)實(shí)數(shù)，可把負(fù)號(hào)歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai0。顯然， 若A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則霍爾維茲準(zhǔn)則(R-H準(zhǔn)則準(zhǔn)則)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則霍爾維茲準(zhǔn)則 (R-H準(zhǔn)則)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)。 若n為

27、偶數(shù)，則第二行最后一列元素用零補(bǔ)上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計(jì)算： 羅斯判據(jù)羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則羅斯準(zhǔn)則) 指出： 多項(xiàng)式A(s)是霍爾維茲多項(xiàng)式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。 若第一列元素的值不是全為正值， 則表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符號(hào)改變的次數(shù)(從正值到負(fù)值或從負(fù)值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準(zhǔn)則和霍爾維茲多項(xiàng)式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)相同(全為正值)，則H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面， 因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)不完全相同， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系

28、統(tǒng)。 綜上所述，根據(jù)H(s)判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的方法是：首先根據(jù)霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件檢查A(s)的系數(shù)ai(i=0, 1, 2, , n)。 若ai中有缺項(xiàng)(至少一項(xiàng)為零)，或者ai的符號(hào)不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項(xiàng)式， 故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。若A(s)的系數(shù)ai無(wú)缺項(xiàng)并且符號(hào)相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件，然后進(jìn)一步再利用羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 例例 4.8-2 已知三個(gè)線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為 2321)(1232312)(5322)(233234522341sssssHsssssssHsssssH判斷三個(gè)系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。 解解 H1(s)的分

29、母多項(xiàng)式的系數(shù)a1=0，H2(s)分母多項(xiàng)式的系數(shù)符號(hào)不完全相同，所以H1(s)和H2(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。H3(s)的分母多項(xiàng)式無(wú)缺項(xiàng)且系數(shù)全為正值，因此，進(jìn)一步用R-H準(zhǔn)則判斷。H3(s)的分母為 232)(233ssssAA3(s)的系數(shù)組成的羅斯陣列的行數(shù)為n+1=4，羅斯陣列為 2221dc0023dc根據(jù)式(4.8 - 20)和式(4.8 - 21)， 得 2022221222312122dc0000221002012100dc因?yàn)锳3(s)系數(shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據(jù)R-H準(zhǔn)則，H3(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 例例 4.8-3 圖 4.8-4 所示為線性連

30、續(xù)系統(tǒng)的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為 圖圖 4.8-4 例例 4.8-3 圖圖 )10)(1()(1sssKsHK取何值時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 F(s)X(s)H1(s)Yf(s)解解 令加法器的輸出為X(s)， 則有 )()()()()()()()()(11sYsFsHsXsHsYsYsFsXfff由上式得 KsssKsHsHsFsYsHsFsHsHsYff1011)(1)()()()()()(1)()(23111122111dc0010dcK根據(jù)H(s)的分母構(gòu)成羅斯陣列，得 由式(4.8-20)和式(4.8-21)計(jì)算陣列的未知元素，得到陣列為 KK11101110010K根據(jù)R-H準(zhǔn)

31、則，若 和-K0，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 根據(jù)以上條件，當(dāng)K0時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 01110K4.8.5 拉普拉斯變換與傅里葉變換拉普拉斯變換與傅里葉變換 0)()()(dtetfdtetfjFtjtjdtetfsFst)()(0Res 若f(t)為因果信號(hào)，則f(t)的傅里葉變換F(j)和單邊拉普拉斯變換F(s)分別為 由于s=+j，因此，若能使=Res等于零，則F(s)就等于F(j)。但是，能否使等于零，這取決于F(s)的收斂域。 F(s)的收斂域?yàn)镽es0, 0為實(shí)數(shù)，稱為收斂坐標(biāo)收斂坐標(biāo)。0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。 1. 00 如果00，則F(s)的收斂域包含j軸(虛軸)，F(xiàn)(s)

32、在j軸上收斂。若令=0，即令s=j，則F(s)存在。這時(shí)，f(t)的傅里葉變換存在，并且令s=j，則F(s)等于F(j)。 即 jssFjF)()(例如， ，其單邊拉普拉斯變換為) 1()()1(2tetft2)(sesFs2Res 的傅里葉變換為)(tf2)()(jesFjFjjs2. 0=0 miiiNjsKsFsF1)()( 若收斂坐標(biāo)0=0，F(xiàn)(s)的收斂域?yàn)镽es0，F(xiàn)(s)的收斂域不包含j軸，故F(s)在j軸上不收斂。若令s=j，則F(s)不等于F(j)。和虛軸上都有極點(diǎn)，并且虛軸上的極點(diǎn)為m個(gè)一階極點(diǎn)ji(i=1, 2, , m)。將F(s)展開為部分分式，表示為 式中，F(xiàn)N(s)表示左半平面極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分式。令FN(s)的原函數(shù)為fN(t)，則F(s)的原函數(shù)為 )()()()()(11tftfeKtfsFLtfMNmitjiNimitjiMteKtfi1)()( 的傅里葉變換為)(tf)()(