1、龍校點招積分考試強化提升核心團隊第四十章等差數列概念等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的 前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列若干個數排成一列， 稱為數列。數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為 首項，最后一項稱 為末項，數列中數的個數稱為 項數。從第二項開始，后項與其相鄰的前項之 差都相等的數列稱為等差數列，后項與前項的差稱為 公差。引例等差數列：3、6、9、，、 96,這是一個首項為3,末項為96,項數為 32,公差為3的數列。計算等差數列的相關公式：(1)通項公式：第幾項=首項+(項數-1)X公差(2)項數公式：項數二(末項-首項)+公差+1(3)

2、求和公式：總和=(首項+末項)X項數+ 2注：在等差數列中，如果已知首項、末項、公差，求總和時，應先求出 項數，然后再利用等差數列求和公式求和。例題1 .小王看一本書第一天看了 20頁，以后每天都比前一天多看 2頁，第 30天看了 78頁正好看完。這本書共有多少頁？2 .文麗學英語單詞，第一天學會了 3個，以后每天都比前一天多學會 1 個，最后一天學會了 21個。文麗在這些天中共學會了多少個英語單詞？3 .李師傅做一批零件，第一天做了 25個，以后每天都比前一天多做 2 個，第20天做了 63個正好做完。這批零件共有多少個？4 .小李讀一本短篇小說，她第一天讀了 20頁這個等差數列共有多少項？

3、5 .建筑工地上堆著一些鋼管（如圖所示），求這堆鋼管一共有多少根OOOCOCCOCX）6 .一些同樣粗細的圓木，像如圖所示一樣均勻地堆放在一起，已知最下 面一層有70根。一共有多少根圓木？7 .用3根等長的火柴棍擺成一個等邊三角形，用這樣的等邊三角形，按 下圖所示鋪滿一個大的等邊三角形，如果這個大的等邊三角形的底邊能放 10根火柴棒，那么這個大的等邊三角形中一共要放多少根火柴棒 ？158 .用相同的小立方體擺成如圖所示的形狀，如果共擺成10層，那么最卜面有多少個小立方體？9 .有50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要 試多少次？10 .有60把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都

4、配上自己的鑰匙，至多試 多少次？11 .有一些鎖的鑰匙搞亂了，已知至多要試 28次，就能使每把鎖都配上 自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了 ？12 .一輛公共汽車有66個座位，空車出發后，第一站上一位乘客，第二 站上兩位乘客，第三站上三位乘客，依次類推，第幾站后，車上坐滿乘客 ：13 .四（1）班45位同學舉行一次同學聯歡會，同學們在一起一一握手， 且每兩個人只能握一次手，同學們共握了多少次手？14 .學校進行書法大賽，每個選手都要和其他所有選手各賽一場。如果有16人參加比賽，一共要進行多少場比賽？15 .在一次元旦晚會上，一共有 48位同學和5位老師，每一位同學或老 師都要和其他同學握一次

5、手。那么一共握了多少次手？16 .一次朋友聚會，大家見面時總共握手 28次。如果參加聚會的人和其 余的每個人只握手一次，問參加聚會的共有多少人？17 .求等差數列3, 5, 7,的第10項，第100項，并求出前100 項的和。112：18 .在2、2兩數之間插入一個數，使其成為一個等差數列。19 .4個連續整數的和是94,求這4個數。20 .麗麗學英語單詞，第一天學會了 6個，以后每天都比前一天多學會 1個，最后一天學會了 16個。麗麗在這些天中共學會了多少個單詞？21 .1 +3+5+7+, +95+97+9922 . (1 + 3+5+, + 1997+1999) ( 2 + 4 + 6+

6、, + 1996+ 1998)23 .求首項為5,末項為155,項數是51的等差數列的和。24 .有60個數，第一個數是7,從第二個數開始，后一個數總比前一個 數我4。求這60個數的和。25 .在從1開始的自然數中，第100個不能被3除盡的數是多少？26 .把1988表示成28個連續偶數的和，那么其中最大的那個偶數是多 少？27 .在大于1000的整數中，找出所有被34除后商與余數相等的數，那 么這些數的和是多少？28 .盒子里裝著分別寫有1、2、3、，,134、135的紅色卡片各一張，從盒中任意摸出若干張卡片，并算出這若干張卡片上各數的和除以17的余數，再把這個余數寫在另一張黃色的卡片上放回

7、盒內，經過若干次這樣的操 作后，盒內還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片，已知這兩張紅色的卡片上 寫的數分別是19和97,求那張黃色卡片上所寫的數。29 .下面的各算式是按規律排列的:1+1, 2+3, 3+5, 4+7, 1+9, 2+11, 3+13, 4+15, 1+17, 那么其 中第多少個算式的結果是1992?30 .已知兩列數：2、5、8、11、,、2+(200- 1) X3; 5、9、13、17、，、5+(200- 1)X4。它們都是200項,問這兩列數中相同的項數共有多少對？31 .某工廠11月份工作忙，星期日不休息，而且從第一天開始，每天都 從總廠陸續派相同人數的工人到分廠工作，

8、直到月底，總廠還剩工人240人如果月底統計總廠工人的工作量是 8070個工作日(一人工作一天為1個工作 日)，且無人缺勤，那么，這月由總廠派到分廠工作的工人共多少人？32 .小明讀一本英語書，第一次讀時，第一天讀 35頁，以后每天都比前 一天多讀5頁，結果最后一天只讀了 35頁便讀完了 ；第二次讀時，第一天讀 45頁，以后每天都比前一天多讀 5頁，結果最后一天只需讀40頁就可以讀 完,問這本書有多少頁？33 .7個小隊共種樹100棵，各小隊種的查數都不相同，其中種樹最多 的小隊種了 18棵，種樹最少的小隊最少種了多少棵 ？34 .將14個互不相同的自然數，從小到大依次排成一列，已知它們的總 和

9、是170,如果去掉最大數和最小數，那么剩下的總和是150,在原來排成的次序中，第二個數是多少？35 .已知一列數：2,5,8,11,14 80,求80是這列數中第幾個 數。36 .有一列數是這樣排列的：2,11,20,29,38,47,56,，求785是第幾個 數。37 .有一串自然數2、5、8、11、，問這一審自然數中前61個數的和 是多少？38 .15個連續奇數的和是1995,其中最大的奇數是多少？39.把210拆成7個自然數的和，使這7個數從小到大排成一行后，相 鄰兩個數的差都是5,那么，第1個數與第6個數分別是多少？40.已知等差數列15, 19, 23,443,求這個數列的奇數項之和

10、與偶數項之和的差是多少？41 .在1100這一百個自然數中，所有能被 9整除的數的和是多少？42 .一個等差數列4,8,12,16,20,24,28,32, 36這個數列的和是多少？43 .所有兩位單數的和是多少？44 .數列1、5、9、13、，這串數列中，前91個數和是多少？45 . (2005+2006+2007+2008+2009+2010+201)1 /2008=46 .把248分成8個連續偶數的和，其中最大的那個數是多少？47 .在等差數列中4、10、16、22、，中，第48項是多少？ 508是這個數列的第幾項？48 .全部三位數的和是多少？49 .求從1到2000的自然數中，所有偶

11、數之和與所有奇數之和的差50 .自然數中被10除余1的所有兩位數的和。51 .若干人圍成8圈，一圈套一圈，從外向內各圈人數依次少4人，如果共有304人，最外圈有幾人？52 .從1到50這50個連續自然數中，取兩數相加，使其和大于50,有多少種不同的取法？53 .求下列方陣中100個數的和。0、1、2、3、,8、9;1、2、3、4、,9、10;2、3、4、5、,10、11;9、10、11、12、,17、1854.1 +2+3+4+, + 2007+ 2008=?55 .有從小到大排列的一列數，共有 100項，末項為2003,公差為3, 求這個數列的和。56 .一個劇院的劇場有20排座位，第一排有

12、38個座位，往后每排比前 一排多2個座位，這個劇院一共有多少個座位？57 .一個物體從高空落下，已知第一秒下落距離是 4.9米，以后每秒落 下的距離是都比前一秒多9.8米50秒后物體落地。求物體最初距地面的高 度。58 .已知數列J 2、5、8、11、14, ,47應該是其中的第幾項？59 .有一個數列：6、10、14、18、22,這個數列前 100項的和是多 少？60 .在等差數列1、5、9、13、17,401中，401是第幾項（101） ?第50項是多少？答案及解析1 .提示：根據條件“以后每天比前一天多看 2頁”可以知道他每天看的 頁數都是按照一定規律排列的數，即 20、22、24、，、

13、 76、78。要求這本 書共有多少頁也就是求出這列數的和。解：由題意可知，這列數是一個等差數列，首項 =20,末項=78,項數 二30,所以這本書共有（20+78） X 30+2=1470 （頁）答：這本書共有1470頁。2 .解：文麗每天學會的單詞個數是一個等差數列，即3、4、5、6、，21。首項=3,末項=21,項數=（21-3） +2+1=10。所以，文麗在這些天中共 學會了（3+21） X10+ 2=120（個）答：文麗在這些天中共學會了 120個英語單詞。3 .答：（25+63） X 20 + 2=880 （個）4 .答：這個等差數列共有29項。5 .提示：根據圖可以知道，這是一個以

14、 3為首項，以1為公差的等差數 列，求鋼管一共有多少根其實是求這列數的和。解：求鋼管一共有多少根，其實就是求 3+4+5+ +9+10的和。項數二(10-3) +1+1=8,根據公式求和為：3+4+5+, +9+10=(3+10) X8+2 =13X 8+ 2 =52(根)。答：這堆鋼管一共有52根。6 .答案：2485根。7 .解：如果把圖中最上端的一個三角形看做第一層，與第一層緊相連的 3個三角形(2個向上的三角形，一個向下的三角形)看做第二層，那么這個 圖中一共有10層三角形。不難看出，這10層三角形每層所需火柴棒根數，自上而下依次為：3,6,9, 3X 10。它們成等差數列，且首項為3

15、,公差為3,項數為10。求火柴的總根數，也就是求這個等差數列各項的和。即：3+6+9+, +30=(3+30) X 10 + 2二33 X 5二165(根)答：這個大的等邊三角形中一共要放 165根火柴棒。8 .答案：55個9 .提示：開第一把鎖時，如果不湊巧，試了 49把鑰匙還不行，那所剩 的一把就一定能把它打開，即開第一把鎖至多需要試 49次，同理，開第二 把鎖至多需要48次，開第三把鎖至多需試47次，一等打開第 49把鎖， 剩下的最后一把不用試，一定能打開。解：根據以上分析，可以把本題轉化為求一個等差數列的和，即 49+48+47+, +2+1=(49+1) X49+ 2=1225(次)

16、答：至多要試1225次。10 .解：59+58+57+ +2+1=(59+1)X59 + 2=1770(次)11 .答：一共有8把鎖的鑰匙搞亂了。12 .答：第11站后，車上坐滿乘客。13 .提示：假設45位同學排成一隊，第1位同學一次與其他同學握手， 一共握了 44次，第2位同學因與第1位同學已握手，只需要與另外 43位同 學握手，一共握了 43次，這樣第3位同學只需與另外的42位同學握手，一 依次類推。握手白次數分別為：44, 43, 42, , 3, 2, 1,這樣應用等差 數列求和公式即可解答。解：根據以上分析，可以把本題轉化為求一個等差數列的和即 44+43+42+, +3+2+1=

17、(44+1)義 44+2=990 (次)答：同學們共握了 990次手。14 .答案:15+14+13+ , +3+2+1= (15+1) X 15 + 2=120 (場)15 .解：根據題意，一共有48+5=53 (人)參加了這次晚會。所以，一 共握手的次數為：52+51+50+ +3+2+1= (52+1) X 52 + 2=1378 (次)答：一共握了 1378次手。16 .解：設共有n人參加了聚會，因為要求參加聚會的人和其余的每個 人只握手一次，所以一共握手(n-1 ) + (n-2) +, +2+1=nX (n-1 ) +2,因 為共握手28次，所以nX (n-1) +2=28,即nX

18、 (n-1) =56.又因為n是正 整數,通過計算，可知8X7=56, n=8,所以參加聚會的共有8人。答：參加聚會的共有8人。17 .提示：我們觀察這個等差數列，可以知道首項 a1=3,公差d=2,直 接代入通項公式，即可求得a10=a1+(10-1)Xd=3 + 9X2 = 2 a© =a1+(10O-1)x：d =3 + "父2=201.同樣的，我們知道了首項3,末項201以及項數100,利用等差數列求和公式即可求和：3+5+7+- 201 =(3+201)100:2=10200.解答：由已知首項 4=3,公差d=2,所以由通項公式an =& +(n-1)Xd

19、 ,得到a10 =a1 (10-1) d = 3 9 2 = 21a100 =a1(100-1) d =3 99 2 =201 o同理，由已知，a1=3, a100 =201,項數n=100代入求和公式得 3+5+7+ 201= (3+201)100- 2=10200.18 .解答：根據第幾項=首項+ (項數1) x公差，22 J那么第三項a3=a1+2d,即：2= 2+2d,所以d=0.5/C 11- 2-故等差數列是，2、2、 2。19 .解答：由于4個數是連續的整數，那么這 4個數就是公差d=1的等 差數列，不妨設第一個數為 ，那么第二個數就是 同+1,同理：第3個數，第4個數分別是5+

20、2,司+3那么由已知，這四個整數的和是94,所以a1+ (a+1) + (a+2) + (4+3) =94,因此a=22,所以 這4個連續分別是22、23、24、25。20 .解答：因為麗麗從第二天開始，每天都比前一天多學會1個單詞,因此麗麗每天學會的單詞個數是一個等差數列，并且這個等差數列的首項=6,公差d =1 ,末項an=16,若想求和，必須先算出項數 n,根據公式 項 數=(末項首項)+公差+ 1，即n= (16-6) +1+1=11那么麗麗在這些大中共學會的單詞個數為：6+7+8+,+16 =( 6+16)11 + 2=12121 .解答：1 + 3+5+7+ , + 95+97+9

21、9=(1 + 99) X 50+2=250022 .解答：(1 + 3+5+, + 1997+1999) ( 2+4+ 6+, + 1996+ 1998)=(1 + 1999) X 1000-2- (2+ 1998) X 999+2=1000000- 999000=100023 .解答：(5+155) X 51-2=160X 51 + 2=80X 51=408024 .解答：(1)末項為：7+ 4義(601)=7+ 4X59=7+ 236=243(2) 60 個數的和為：(7+243) X 60+ 2=250X 60+ 2=750025 .解答：我們發現：1、2、3、4、5、6、7、，中，從1

22、開始每三個數一組，每組前2個不能被3除盡，2個一組，100個就有100+ 2=50組， 每組3個數，共有50X 3=150,那么第100個不能被3除盡的數就是150- 1=149.26 .解答：28個偶數成14組，對稱的2個數是一組，即最小數和最大 數是一組，每組和為：1988+14=142,最小數與最大數相差 28-1=27個公差, 即相差2X27=54,這樣轉化為和差問題，最大數為（142+54）+2=98。27 .解答：因為34X28+28=35X 28=980<1000,所以只有以下幾個數： 34X29+29=35X2934X30+30=35X3034X31+31=35X3134

23、X32+32=35X3234X33+33=35X33以上數的和為 35X (29+30+31+32+33)=542528 .解答：因為每次若干個數，進行了若干次，所以比較難把握，不妨 從整體考慮，之前先退到簡單的情況分析：假設有2個數20和30,它們的和除以17得到黃卡片數為16,如果分開算分別為3和13,再把3和13 求和除以17仍得黃卡片數16,也就是說不管幾個數相加，總和除以17的余數不變，回到題目 1+2+3+,+134+135=136X 135+ 2=9180, 9180+ 17=540, 135個數的和除以17的余數為0,而19+97=116, 116+17=6,14 ,所以黃卡片

24、的數是17-14=3。29 .解答：先找出規律：每個式子由2個數相加，第一個數是1、2、3、4的循環，第二個數是從1開始的連續奇數。因為1992是偶數，2個加數中第二個一定是奇數，所以第一個必為奇數，所以是 1或3,如果是1:那 么第二個數為1992-1=1991, 1991是第(1991+1)+2=996項，而數字1始終 是奇數項，兩者不符，所以這個算式是3+1989=1992是(1989+1)+2=995個算式。30 .解答：易知第一個這樣的數為5,注意在第一個數列中，公差為 3, 第二個數列中公差為4,也就是說，第二對數減5即是3的倍數又是4的倍 數，這樣所求轉換為求以5為首項，公差為1

25、2的等差數的項數，5、17、 29、，由于第一個數列最大為2+(200- 1)X3=599;第二數列最大為5+(200- 1)X4=801。新數列最大不能超過 599,又因為5+12X 49=593, 5+12X 50=605,所以共有 50對。31 .解答：11月份有30天。由題意可知，總廠人數每天在減少，最后 為240人，且每天人數構成等差數列，由等差數列的性質可知，第一天和最 后一天人數的總和相當于 8070+15=538也就是說第一天有工人 538- 240=298人，每天派出(298- 240) + (30-1)=2人，所以全月共派出2*30=60 人。32 .解答：第一方案：35、

26、40、45、50、55、,35 第二方案：45、50、55、60、65、，,40 二次方案調整如下：第一方案：40、45、50、55、，,35+35(第一天放到最后；第二方案：40、45、50、55、，,(最后一天放到第一天)這樣第二方案一定是 40、45、50、55、60、65、70,共385 頁。33 .解答：由已知得，其它6個小隊共種了 100-18=82棵，為了使釘俚 男又值式第繳僭膠茫？敲戳？個應該越多越好，有：17+16+15+14+13=75 棵，所以最少的小隊最少要種82-75=7棵。34 .解答：最大與最小數的和為170-150=20,所以最大數最大為20- 1=19, 當最

27、大為 19 時，有 19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+1=170 當最大為 18 時,有 18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+2=158 所以 最大數為19時，有第2個數為7。35 .提示：仔細觀察這列數可以發現，后項與其相鄰的前項之差等于3,所以這是一個以2為首項，以公差為3的等差數列，求80是這列數中第幾 個數，實際上是求該數列的項數。解：這列數的首項是2,末項是80,公差是3,運用公式：項數=(末 項-首項)+公差+1。即( 80-2) +3+1=27,所以80是該數列的第27項。36 .解答：785是第88個數。3

28、7 .解：即求首項是2,公差是3,項數是61的等差數列的和，根據末 項公式：末項=2+ (61-1) X 3=182根據求和公式：和=(2+182) X61 + 2=5612答：561238 .15個連續奇數的和是1995,其中最大的奇數是多少？解：由中項定理，中間的數即第 8個數為：199515133,所以這個數列 最大的奇數即第15個數是：1332158147答：147。39 .解：由題可知：由210拆成的7個數必構成等差數列，則中間一個 數為210+ 7=30,所以，40.一把鑰匙和一把鎖配著，現在有 10把鑰匙和10 把鎖混著了，最多要打多少次才能把鑰匙和鎖都配好？這7個數分別是15、

29、20、25、30、35、40、45。 即第1個數是15,第6個數是40。答：第1個數：15;第6個數：40。40 .解：公差=19-15=4 項數=（443-15） +4+1=108 倒數第二項=443- 4=439奇數項組成的數列為：15, 23, 31, 439,公差為8,和為（ 15+439） X 54+2=12258偶數項組成的數列為：19, 27, 35, 443,公差為8,和為 （19+443） X 54+2=12474 差為 12474-12258=216答案：21641 .解：每9個連續數中必有一個數是 9的倍數，在1100中，我們很 容易知道能被9整除的最小的數是9=9*1,最大的數是99=9*11,這些數構 成公差為9的等差數列，這個數列一共有：11+1-1=11項，所以，所求數的 和是：9+18+27+ +99=(9+99)*11/2=594 .也可以從找規律角度分析.答案：59442 .解：根據中項定理，這個數列一共有 9