1、基于灰色馬爾科夫鏈模型的交通事故傷亡人數預測摘要：道路交通系統是一個基于人、車、路的動態系統，影響交通安全的因素很多，作用機理復雜，因此道路交通事故的發生具有很大的隨機性和偶然性。傳統的GM(1,1)模型和馬爾科夫模型都能單獨解決有關時間序列白預測問題，但各有優缺點：GM(1,1)模型能預測出事物發展的總體趨勢和大體方向，對預期遠、波動大的數據的預測誤差較大；而馬爾科夫模型對于波動性大的數據序列的預測精度較高，但其主要是對具有平穩隨機過程的問題進行的預測，對現實問題中占絕大多數的非平穩過程問題的預測存在局限性。本文以灰色GM(1,1)模型為基礎，利用馬爾科夫鏈模型對灰色GM(1,1)模型的預測

2、結果進行誤差修正，并利用某市交通事故傷亡人數的數據對之后幾年的傷亡人數進行預測。通過對比，證明基于灰色馬爾科夫鏈模型的交通事故傷亡人數的預測更加準確。關鍵詞：交通事故預測；馬爾科夫鏈；灰色GM(1,1)模型；誤差修正1、引言交通安全是國民經濟發展和社會安定的重要方面，也是道路交通管理的兩項基本任務之一。道路交通事故預測是道路交通安全研究的一項重要內容，它的目的是為了掌握交通事故的未來狀況，以便及時采取相應的對策，有效地控制各影響因素，避免工作中的盲目性和被動性，減少交通事故的發生。因此，準確地對交通事故進行預測具有重要的現實意義。道路交通系統的非線性、隨機性、動態性以及不確定性等特點，決定了作

3、為道路交通系統行為特征量的道路交通事故預測的復雜性。本文根據現實生活中交通系統非線性、隨機性和動態性的特點，將灰色GM(1,1)模型和馬爾科夫模型的結合起來，使其優勢互補，提高對交通事故預測的準確性。2、GM(1,1)模型客觀世界的很多實際問題，其內部的結構、參數以及特征并未全部被人們了解，人們不可能象研究白箱問題那樣將其內部機理研究清楚，只能依據某種思維邏輯與推斷來構造模型。對這類部分信息已知而部分信息未知的系統，我們稱之為灰色系統。灰色系統的研究對象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統，它通過對“部分”已知信息的生成、開發實現對現實世界的確切描述和認識。信息

4、不完全是“灰”的基本含義。灰色系統理論建模的主要任務是根據具體灰色系統的行為特征數據，充分開發并利用不多的數據中的顯信息和隱信息，尋找因素間或因素本身的數學關系。通常的辦法是采用離散模型，建立一個按時間作逐段分析的模型。但是，離散模型只能對客觀系統的發展做短期分析，適應不了從現在起做較長遠的分析、規劃、決策的要求。事實上，微分方程的系統描述了我們所希望辨識的系統內部的物理或化學過程的本質。由于灰系統對一切隨機量都可看作是在一定范圍內變化的灰色量，因此，為適應灰系統建模需要，提出“生成”的概念，“生成”即指對原始數據做累加(或累減)處理。累加生成一般可寫成AGO。若計x(0)為原始數列，x(r)

5、為r次累加生成后數列，即x(0)=x(0)(1),x(0)(2),x(0)(n),、(2-1)x(r)=x(1),x(r)(2),x(r)(n)則r次累加生成算式為kx(r)(k)=x(r,)(1)x(r,)(2)-k)=x(r-1)(i)=i(2-2)x(r4)(1)x(r4)(k-1)x(rJ)(k)=x(r)(k-1)x(r,)(k)一般常用的是一次累加生成，即kx(k)=、x(0)(i)=x(1)(k-1)x(0)(k)(2-3)i1建立GM模型，實際就是將原始數列經過累加生成后，建立具有微分、差分近似指數規x=1x(k1)x(k)2(2-13)顯然，當時間密化值定義為1,即當4T1時

6、，上式可記為記為離散形式dx=x(t1)x(t)出dx(0)L(t(t)=x(t1)這實際也表明，模型是以生成數x(x是以x(0)的一次累加)為基礎的。當或足夠小時，x(t)到x(t+4t)不會發生突變，因此可取x(t)與x(t+At)的平均值作為&T0時的背景值，因此，背景值便可記為dx=x(1)(t1)-x(t)=x(0)(t1)dt律兼容的方程，稱為灰色建模。GM(m,n)稱為m階n個變量的灰色模型，其中GM(1,1)模型是GM(1,n)模型的特例，是灰色系統最基本的模型，也是常用的預測模型，其簡單的微分方程形式(白化形式的微分方程)是dxax=udt(2-4)利用常數變易法解得

7、，通解為atUx(t)=ce-a(2-5)若初始條件為t=0,x(t)=xo,則可得到微分方程的特解為u、對ux(t)=(xo)eaa(2-6)或時間響應函數x(t1)=(x(1)(1)-u)e-atuaa(2-7).dx.一一其中白化微分方程中的ax項中的x為匕的背景值，也稱為初始值；a,u為常數(有時也將dtu寫成b)。按白化導數定義有差分形式的微分方程，即dx涼=1回x(t:=t)-x(t)(2-8)dxdt=iimjx(tLx。)(2-9)(2-10)這顯然表明dx是一次累計生成,dt因此上述方程可改寫為(2-11)(2-12),”(%-1)于是便有YN-aXuE于是白化的微分方程.(

8、1)dxdt+ax(1)=u可改寫為x(0)(k1)1ax(1)(k1)x(1)(k)=u2(2-14)x(0)(k1)=-ax(1)(k1)x(k)u2(2-15)x(0)(0)x1(1)(1)=-ax(1)(2)x(1)(1)u(3)=；ax(2)x(1)u(2-16)x(0)(n)=一：ax(n)x(n-1)u因此，上述方程可以改寫為矩陣方程形式，即-x(0)ax(2)x(1)引入下列符號，設YN=x(0)(3)_x(0)(n).(0)1x(0)(3)-浜x-lax(1)(n)x(1)(n-1)2一11x十一11(2-17)x(1)為x(2-18).x(0)(n)一(2-19)-lax(

9、1)(2)+x(1)(1)11-al.1ax(1)(2)+x(1)(1)1a=,B=X:E=I2：1ax(1)(n)+x(n1)1則a|YN=aX+uE=X：E|=Ba1U1解得a=a=(BTB)BTYN_u將求解得到的代入微分方程的解式(也稱時間響應函數)，則(1)(1)ukux(k1)=(x(1)-)e一aa由于x(0)(1);x(1)(1),因此求導還原得(0)(0)u、_akx(k1)=-a(x(1)-)ea上述兩式便為GM(1,1)的時間響應式，及灰色系統預測模型的基本算式，當然上述兩式計算結果只是近似計算值。3、馬爾科夫模型馬爾科夫過程是由俄國著名數學家馬爾科夫提出的，馬爾科夫過程

10、既適用于區間序列同樣也適用于時間序列，是一個典型的隨機過程，該理論主要是研究序列的狀態和轉移規律。假設一個序列有幾種狀態，該序列目前處于某種狀態，而下一時間段可能會轉移到另一個狀態，通過研究各狀態的初始概率及各狀態之間的轉移概率，來確定各狀態的變化趨勢，從而進行預測，這樣離散時間之下的隨機過程就是馬爾科夫過程。馬爾科夫鏈是最簡單的馬爾科夫過程。馬爾科夫過程的數值是連續的，任意兩值之間都可以無限分割，狀態也有無限多個。而馬爾科夫鏈模型的時間以及狀態參數都是離散數值，狀態也是有限可列的。馬爾科夫過程的特點是將來的狀態只與現在有關，而與歷史無關。也就是說，系統在時刻t1的狀態，僅僅與時刻t所處的狀態

11、有關，而不受時刻t之前所處狀態的影響。這種特點就是馬爾科夫過程的無后效性也稱為馬氏性，當然馬爾科夫鏈模型是特殊的馬爾科夫過程同樣也具有無后效性。3.1馬爾科夫過程的無后效性假設馬爾科夫過程X,twTT為離散的時間集合，即丁=0,1,2,3,其狀態空間(2-20)(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)為可數的I。考慮有限維分布函數，對nA0,t1Mt2Mtn書,tkwT(k=1,2，n+1),及狀態i0,12，*，北4匚1由乘法公式可以得到：PX(t1)=i1,X(t2)=i2,X(tn1)=in.1=PX(t1)=iMPX(t2)=i2|X(t=iX(3-1)MPX(tnQ=in+|

12、X(t1)=i1，X(t2)=i2；X(tn)=in上式最簡單的情況為：PX(t2)=iz|X(t1)=PX&)1PX&)=i3|X(t1)=i1,X(t2)=i2=PX(t3)=i3:(3-2)PX(tn書)=:|X(t1)=i1,X(t2)=i2，X(tn)=in=PX(tn書)=in書此時：PX(t1)=i1,X(t2)=i2,X(tn1)=in.1二(3-3)PX(t1)=iJPX(t2)=i2PX(tn1)=顯然上式中任意的i0,i1,i2，in,in書門都成立，那么x(t1),x(t2)，x(tn書)相互獨立。但在實際中這種都相互獨立的情況很少見，下式為不獨立的情況

13、：PX(t3)=i3|X(t1)=i1,X(t2)=i2=PX(t3)=i3IX(t2)=i2(3-4)PX(t4)=i4X(t1)=i1,X(t2)=i2,X(t3)=i3=PX(t4)=i41X(t3)=i3此時：PX(t1)=i1,X(t2)=i2,X(tn1)=in1(3-5)=PX(t1)=ijPX(t2)=i2PX(tn由)=inX(tn)=in將上式中的性質稱之為無后效性，即表示在當前的情況下，系統未來的變化不受過去的影響，只依賴于目前系統所處的狀態。設X(t),tT是 定 義 在I率 空 間C,f,P上 的 隨 機 過 程 ， 狀 態 空 間 為I, 若 對 任 意 的n0,t

14、t2ii,iii2iiin(3-8)則一步轉移概率Vi,jw|,PXn4=j|Xn=i=Pj(n)(3-9)稱為n時刻從狀態i經過一步轉移到狀態j的概率。系統所有狀態一步轉移概率集合所組成的矩陣稱為一步狀態轉移概率矩陣。其形式如下：Ri年PincP21P22P2nP；(3-10)壬1Pn2Pnn_此矩陣具有以下兩個性質：1)非負性：Pj-0,i,j=1,2,nn2)行元素和為1,即Pj=1,i=1,2，n那么，兩步轉移概率：7_2W,jW|,PXn.=j|Xn=i=Pj2(n)(3-11)稱為n時刻從狀態i經過兩步轉移到狀態j概率。那么隨機過程X(t),tWT的兩步轉移概率矩陣為：P=Pj(n

15、)(3-12)同理，k步轉移概率：(k)Vi,ju|,PXn=j|Xn=i=Pj(n)(3-13)稱為n時刻從狀態i經過k個時刻到狀態j的概率。因此，系統的k步轉移概率矩陣就是由所有狀態的k步轉移概率集合所組成的矩陣。其形式如下：那么，式(3-14)則為X(t),tT的k步轉移概率矩陣。此矩陣同樣具有以下兩個性質：1)非負性：pjk)0,i,j=1,2,，nP(k)P|1D(k)P12D(k)P1nP(k)=D(k)P21D(k)P22-,P2n(9D(k)_Pn1Pn2的P(k)On(3-14)n2)行元素和為1,即Pi(k)=1,i=1,2,，nj(k)對于式(3-ii),一般情況下，p(

16、)不僅和狀態i,j有關，而且和時刻n有關。當和時刻n無關時，表示馬爾科夫鏈具有平穩轉移概率。如果vi,jwI,馬爾科夫鏈X(t),twT的轉移概率p(k)(n)與n無關，就稱馬爾科夫鏈是齊次的。應用上主要研究的是齊次馬爾科夫鏈。馬爾科夫鏈的一步轉移概率矩陣和k步轉移概率矩陣之間的關系：設p：*)是馬爾科夫鏈X(t),twT的S步轉移概率，則Pijs*)(n)=pn)pkt)(n+s)k三I當馬爾科夫鏈具有齊次性時，則轉移概率就具備了平穩性，也就是用僅與時間、間距、i和j有關，即pjs)(m)=pjs)(n)。此時，C-K方程可簡寫為pi(s*=ppk；，可得k步轉移概率矩陣p(k)為一步轉移概

17、率矩陣p的k次方。即：(k)kp=p(3-16)3.3馬爾科夫鏈預測模型一個時間序列X(t),twT,其可能的觀測數據Xt可以取r個離散的值，即序列可以處于r個狀態。 設序列Xt處于狀態q的狀態概率為A=P(Xt=i)。 序列從e轉到一下狀態6j的轉移概率為P,則由馬爾科夫鏈的無后效性可知Pj=P(xt書=j|xt=i)。引入狀態概率向量和一步轉移概率矩陣式：rA=Q,a?,a.(t)ai=1,tT(3-19)4、灰色馬爾科夫模型4.1灰色GM(1,1)模型灰色GM(1,1)模型首先通過對原始數據進行累加，建立均值生成序列和矩陣B與Y,然后通過最小二乘回歸和微分等數學方法建立模型，最后通過模型

18、得到的值經過還原數據，得到預測結果。它的建模過程為：1)根據模型在各個時刻的值，建立如式(4-1)所示的原始數據序列x(0)=x(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)2)對原始數據序列進行累加，得(3-15)(3-17)11P12P21P22P=.,Fr1Pr2由狀態轉移的馬氏性以及式P1r1P2r,(Pj-0,i,jIJPj=1,iI)(3-18)(3-16)可以寫出馬爾科夫鏈的基本方程:(4-1)式中：Pj(m)M)MiP(m)P1IP(m).P2P(m)PrR(m)=D(m)P213D(m),4P229AP2?D(m)_r1p(m)Pr2P(m)1(4-8)4.2馬爾科夫模型馬爾科

19、夫鏈是根據所觀察的離散狀態，以經驗為主的估計轉移概率參數化的隨機過程。它是對原始數據進行狀態劃分，求出轉移概率矩陣，得出未來的預測值。以灰色馬爾科夫鏈模型為例，其一般步驟如下：4.2.1狀態劃分根據灰色模型預測值與實際值間的相對誤差，把相對誤差分成r類狀態。狀態劃分數量并無嚴格規定，是綜合考量樣本數量、擬合的誤差范圍等相關因素而確定，一般分成35類比較合適。4.2.2建立狀態轉移概率矩陣假設Pj(m)是狀態i到j的m步轉移概率，Mi(m)是狀態i到j的m步轉移次數，Mi屬于i個狀態的數量，狀態轉移概率矩陣如式(4-8)所示3)x(1).x(1)(1),x(1)(2),x(1)(n)對(4-2)

20、式序列作均值，生成序列z(k)=gx(1)(k)x(k-1)4)利用式(4-1)與式(4-3),建立矩陣Y與B,得一x(0)1z(2)x(0)(3)3(0)(k)_B=-z(1)(3)z(k)5)對參數進行最小二乘估計，得出a與b的值M=(BTB)BTY=a,b6)確定模型形式，并還原得到的灰色預測值，如式(4-6)、式(4-7)所示鏟(k)=x21).(baax(0)(k)=b)(k)，)(k1)(4-2)(4-3)(4-4)(4-5)(4-6)(4-7)4.2.3計算預測值假設時間序列在k時刻處于狀態j,根據狀態j的殘差區間wj_,wj 的中值， 與灰色預測值X(0)(k),可以得出灰色馬

21、爾科夫鏈模型的預測值為？(k+1),如式(4-9)所示：4.3對模型精度的檢驗灰色預測模型建立以后，對模型的實用性以及模型的精度進行驗證。GM(1,1)模型通過計算殘差、平均相對誤差、均方差比值、小誤差概率等指標后，查找灰色預測模型精度檢驗等級表(見表1),從而可以判斷模型的精度等級。表 1 灰色模型的精度檢測表步度等級指標范圍相對誤差()均方差比值(C)小誤差概率(P)一級(好)0,1C0,95二級(合格)0.010,050.35C0,50,8P0,95三級(勉強合格)0.05A0,010.5C0,650,7P0,8四級(不合格)0.01A0,65P7計算過程和算式如下：1)分別計算出原始數

22、據序列的殘差k),相對誤差A(k)與平均相對誤差區；(k)=x(0)(k)-0)(k)(4-10)(k)=|*(4-11)|x(k)l1：=一(k)nkd2)分別算出原始數據與殘差的標準差,S2。根據6,6分別算出均方差比值C和小誤差概率P6=盧x(0)(k)-X2.n心(4-14)(wjwj.)70、處)=1jw(4-9)(4-12)(4-13)P=儀k)-e0.674565、案例分析利用馬爾科夫鏈對灰色GM（1,1）模型的預測誤差進行修正，以某市20072013年的傷亡人數為基礎，對某市20142016年的交通事故傷亡人數進行預測。5.1建立GM（1,1）預測模型灰色GM（1,1）模型的建

23、立過程如下:4）對參數進行最小二乘估計，得出a與b的值CT,Ta0.031712i?=(BTB)BTY=b111032.1554525）將a和b的值帶入式（4-6）,得出模型如式（5-3）所示聲網=32547.78797-31500.78797sWP根據式（5-3）,并根據式（4-6）還原數據，得出某市20072013年的傷亡人數灰色預測值，結果如表2所示。預測結果顯示，08年和09年的模型相對誤差較大，分別為7.96%和-9.29%。最后可得到20142016年傷亡人數灰色預測值分別為813人、788人、763人。表 2 某市交通事故實際傷亡人數與灰色模型預測值的對比年份實際傷亡人數灰色模型

24、預測值殘差誤差/%20071047104700.0020081068983857.962009872953-81-9.292010902923-21-2.332011876894-18-2.052012846866-20-2.362013895839566.26(4-15)(4-16)1）原始數據序列為:2）對數據進行累加得:3）建立均值生成序列與B為x(0)=1047,1068,872,902,876,846,895；x(0)=1047,2115,2978,3889,4765,5611,6506；z(k),z(k)=1581,2551,3438,4327,5188,6058.5,矩陣丫106

25、8-1581872-2551111(5-1)第5一-6058.5(5-2)(5-3)67GM(1,1)模型進行精度檢驗。 利用式(4-10卜式(4-16)可以算出， 平均相對誤差為4.32%,后驗差比值為61.34%,小誤差I率為0.7143。查找表1,可知該模型的精度為3級，說明可以用于交通事故預測，但精度較低，需要進一步優化來提高模型的精度。5.2建立馬爾科夫鏈模型5.2.1狀態劃分因為本研究樣本數量較少，按照均值劃分，誤差可分為三個狀態，分別用EPE2、E3表示，如表3所示。表 3 死亡人數狀態劃分表狀態E1E2E3誤差范圍(-9.29%-3.54%)(-3.54%2.21%)(2.21

26、%7.96%)根據表3中的狀態劃分情況，可以把20072013年交通事故傷亡人數進行狀態劃分,結果如表4所示。表 4 某市 20072013 年交通事故實際傷亡人數狀態劃分情況年份實際傷亡人數灰色模型預測值誤差/%狀態2007104710470.00E2200810689837.96E32009872953-9.29E12010902923-2.33E22011876894-2.05E22012846866-2.36E220138958396.26E15.2.2構建轉移概率矩陣一010【10%,100一010%.010一一0101R=b%(5-6)(5-4)(5-5)P1015.2.3計算預測

27、值利用式(4-9)對20072013年某市傷亡人數進行擬合。例如2008年的灰色預測值為983,處于狀態？=983x1+0.5M(2.21%+7.96%),可以得出2008年的灰色馬爾科夫鏈預測值為1033人。同理，可以得出其余年份的預測值，兩種模型的殘差和誤差情況如表5所示。表 5a 灰色 GM(1,1)模型預測結果年份實際傷亡人數灰色GM(1,1)模型預測值殘差誤差/%2007104710470020081068983857.962009872953-81-9.292010902923-21-2.332011876894-18-2.052012846866-20-2.36201389583

28、9566.26表 5b 灰色馬爾科夫鏈 GM(1,1)模型預測結果年份實際傷亡人數灰色馬爾科夫鏈GM(1,1)模型預測值殘差誤差/%20071047104700200810681033353.282009872892-20-2.292010902917-15-1.662011876888-12-1.372012846860-14-1.652013895882131.45由上表可知，2008年和2009年的灰色GM(1,1)預測值相對誤差為7.96%和-9.29%,而灰色馬爾科夫鏈GM(1,1)預測值和相對誤差降到3.28%和-2.29%。從圖1可知，灰色GM(1,1)模型的預測值呈一條平滑遞減曲線，而灰色馬爾科夫鏈GM(1,1)模型的預測值具有一定的波動性，接近傷亡人數的實際值，預測結果更加可靠。1100年份年圖 1 兩種模型結果對比根據表4可知，2013年傷亡人數預測值處于狀態E3,初始行向量為1=(0,0,1)。因此，R(1)V0=(0,0,1),說明2014年處于狀態Ei,再利用式(4-9)預測出2014的傷亡人數為761人。同理，可以預測2015年、2016年傷亡人數年所處的狀態及預測值，結果如表6所示。表 6GM(1,1)模型與灰色馬爾科夫鏈預測模型對 20142016 年傷亡