1、 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換第四章第四章 級數級數學習要點學習要點冪級數和洛朗級數的運算和收斂性冪級數和洛朗級數的運算和收斂性將解析函數展成泰勒級數和洛朗級數的將解析函數展成泰勒級數和洛朗級數的方法方法復數項級數和復變函數項級數的概念和復數項級數和復變函數項級數的概念和性質性質 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換第一節第一節 復數項級數復數項級數復數列 ：一列有次序的復an=an+ibn,n=1,2,復數列的極限：設a=a+ib為一確定的復數. 如果任意給定e0, 相應地能找到一個正數N(e), 使|an-a|N時成立,

2、則a稱為復數列an當n時的極限, 記作 此時也稱復數列an收斂于a.aannlim定理1. 復數列an(n=1,2,.)收斂于a的充要條件是bbaannnnlim,lim 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換11(1);(2)() ;1(3)sin.12nnnnniiinniaaa-：判定下列復數列的斂散性；如果收斂， 則求出它的極限 例解題思路：首先分解an=an+ibn ，然后分別考察an和bn的極限，再確定an的收斂性110(1)limlim1,110(3)lim sinlimlim22nnnnnnnnniniinniiineeeeniii- - 哈爾濱工程

3、大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換1+111(2)22221111, lim0,2221+lim=02nnnnnnniiii 因 此 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換52. 復數項級數 設an=an+ibn(n=1,2,.)為一復數列, 表達式121nnnaaaa111 ,lim. ,nnnnnnnnnnssssaaa和如果部分和數列收斂 則級數稱是的并且極限稱為級數的如果數列不收斂 則級數稱收斂是發散的.稱為復數項級數, 其前面n項的sn=a1+a2+.+an稱為級數的部分和. 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與

4、積分變換1111 2 lim0.nnnnnnnnnnabaaa級數收斂的充要條件是級數和都收斂.定理 將復數項級數的收斂問題轉化成實數項級數的收斂問題，對收斂的實數項級數，我們知道，其通項是趨于0級數收斂定理2.定理3條.的必要件是 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換1111111111|,|.|nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabaaaaaaaa3.絕對收斂和條件收斂如果收斂 則稱級數是的.發散,而收斂,則稱級數是定義5. 絕對收斂定義6. 定理4. 推論的 絕對收斂當且僅當和絕對收斂。如果收斂，條件 那么也是 收斂. 收斂的。 哈爾濱工程大學哈爾濱工

5、程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換11111(34 )(1).( 1)(2).!cos(3).(4).2nnnnnnnniinnninin-. 判斷下列級數的斂散性， ， ， 2 例2112111111( 1)( 1),( 1)1( 1)nnnnnnnnnnnnniinnnniabnninn-解：(1). 因為是條件收斂的，是絕對收斂的，因此是條件收斂的。 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換1111111(34 )(34 )5(2).!5,!(34 ).!cos(3).limlim22cos2nnnnnnnnnnnnnnnnnniinnnnininee

6、in- 由正項級數的比值判別法知, 是收斂的故是絕對收斂的，由于， 因此是發散的 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換1111111111(cossin)(cossin)2222(4).cossin221nnnnnnnnnnnnnnnnnniiinnnnnabnniinnn，注意到和都是收斂的級數，而=是發散的， 因此是條件收斂的。 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換1111 2 lim0.nnnnnnnnnnabaaa級數收斂的充要條件是級數和都收斂.定理 將復數項級數的收斂問題轉化成實數項級數的收斂問題，對收斂的實數項級數，我們

7、知道，其通項是趨于0級數收斂定理2.定理3條.的必要件是 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換121. 基本概念 設fn(z)(n=1,2,.)為一復變函數序列,其中各項在區域D內都有定義.表達式) 1 . 2 . 4()()()()(211zfzfzfzfnnn稱為復變函數項級數.前面n項的和 sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)稱為該級數的部分和.第二節第二節 冪級數冪級數 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換000Dz ,lim()()nnszs z如果對于 內的某一點極限存在，則稱復變函數項級數(4.2.1)在z

8、0收斂,（或z0 是其的收斂點） 而s(z0)稱為它的和，其收斂點的全體稱為它的收斂域。級數在其收斂域D內處處收斂, 則它的和一定是z的一個函數 s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.稱之為級數(4.2.1)的和函數 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換14特殊情形:2012020120()()()()(4.2.2)(4.2.3)nnnnnnnnnnc zacc zac zac zac zcc zc zc z-或00.,(),(4.2.3)nnnnnnzac zac-這種級數稱為冪級數如果令則以后為了方便 今后常就的形式予以討論。 哈爾濱工程大學哈爾

9、濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換二、冪級數的斂散性質1. 收斂域的結構首先，我們有一個與微積分課程中有關冪級數 收斂的一個類似結果。定理一(阿貝爾Abel定理).,|,|,)0(00000級數必發散的則對滿足級數發散如果在級數必絕對收斂的則對滿足收斂在如果級數zzzzzzzzzzzcnnn 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換1600000000000000,lim0,0,|.| |,1,| |.|1,|.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnc zc zMnzzc zMzzqc zc zMqzzMqMqc zMqc zc z證

10、明：因收斂 則則存在使對所有的 都有如果則而由于為公比小于 的等比級數 故是收斂的，因此也是收斂的，從而級數是絕對收斂的如果級數000000,| |,(,.nnnnnnnnnzzc zc zc z發散 且用反證法)假設收斂，則根據之前結論可導出收斂 與題設矛盾 因此發散 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換172. 收斂圓和收斂半徑 利用阿貝爾定理, 可以定出冪級數的收斂范圍, 對一個冪級數來說, 它的收斂情況不外乎三種:1) 對所有的正實數都是收斂的. 這時, 根據阿貝爾定理可知級數在復平面內處處絕對收斂.2) 對所有的正實數除z=0外都是發散的. 這時, 級數

11、在復平面內除原點外處處發散.3) 既存在使級數收斂的正實數, 也存在使級數發散的正實數. 設z=a (正實數)時, 級數收斂, z=b (正實數)時, 級數發散. 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換18RCROa ab bCa aCb bxy 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換12111111| 1(1)1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnc zzzznnc zc zc zc z-級數在收斂區域的邊界上是否收斂?如級數和，在上的收斂性是不一樣的.問：是否存在級數在是z=4收斂的，在z=0 是發散的答：不存在證明：設 級數收斂，

12、而發散注意.，證明： 則的收斂半徑為 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換203.收斂半徑的求法10lim|()lim |(),01,200,nnnnnnnnncccc zR ：如果比值法 或根值法 ，那么級數的收斂為理半徑定 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換21例1 求下列冪級數的收斂半徑 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換22111112122121(1).lim1,1,11limlim.11lim10,.(2).limlim1,11(1)11,(1)nnnnNnnNNnnnnnnnnnnnnn

13、ncRczzzzzzzzcnRcnzznnzn-解：當| |=1時,則故發散當|=1時,則故是絕對收斂的 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換231112222!(3).limlim0,.(1)!(4).limlimmax,max,()2max,max,1max,nnnnnnnnnnnnnnncnRcncaiba ba baba ba bRa b 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換244. 冪級數的運算和性質 12000000001 1012001( ),( ),.( )( )(), |;( ) ( )()|.min( , );(

14、)( )nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnf za zRrg zb zRrf zg za zb zab zzRf z g za zb za baba b zzRRr rf zaa zag z-設；那么，20120100 011 10 122 01 10 2,nnnzcc zc zbb za zab cabcb cab cbcb c其中， 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換25注：加減乘除后得到的新級數的收斂半徑可能與 都無關。還有更重要的運算：復合運算，它在求解函數的展開式中有著廣泛的應用。1212min( , )rrRr r， 和00(

15、)|,|( )|( )|,|, ( ) ( ) .nnnnnnf za zzrzRg zg zrzRf g za g z：設并且在內解析且滿足則當時命題 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換2600001001100.( )() ,( )(1)(2)( )(),(3)( )d()1( )d() d|4,|nnnnnnznnannnnCCf zc zzzzRf zzzRfzc n zzzzRcfzanf zzczazCzaR-設那么和函數在其收斂圓內具有如下性質:是解析函數；可逐項微分：可逐項積理分： 定或 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與

16、積分變換27第三節第三節 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)級數級數一、泰勒定理一、泰勒定理定理1(泰勒展開定理) 設 f (z)在區域D內解析, z0為D內的一點, d為z0到D的邊界上各點的最短距離, 則當|z-z0|d 時, ( )01,(),0,1,2,!nncfznn成立且是唯一的 其中.稱該式是f (z)在z0的泰勒展開式, 它右端的級數稱為 f (z)在z0處的泰勒級數.00( )()nnnf zc zz- 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換證明：設函數 f (z)在區域D內解析, 而|z-z0|=r為D內以z0為中心的任何一個圓周, 它與它

17、的內部全含于D, 把它記作K, 又設z為K內任一點.z0Kzr 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換按柯西積分公式, 有1( )( )d ,2Kff ziz-且且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzz-由于積分變量取在圓周 上 點 在 的內部所以101000101( )d( )()2()1( )()d .2()NnnnKnnn NKff zzzizfzziz-z0Kzr 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換由解析函數高階導數公式,上式可寫成( )1000010()( )()(

18、 )!1( )( )()2()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdiz-其中( )000lim( )0,()( )()!NNnnnRzKfzf zzzn-如果能證明在 內成立 則在K內成立, 即 f (z)可在K內用冪級數表達.000zzzzqzr-令，這里q與積分變量無關, 且0q1.z0Kzr 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換K含于D, f (z) 在D內解析, 在K上連續, 在K上有界, 因此在K上存在正實數 M 使| f (z) | M.01221d| )(|21d)()()(21| )(|000010 - NNNnnKNnnKNn

19、nnNqMqrqrMszzzzfszzzfzR因此, 下面的公式在K內成立:( )000()( )()!nnnfzf zzzn- 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換32利用逐項積分，展開式的唯一性是容易驗證的. 注： 1.如果 f (z)在z0解析, 則使 f (z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑 R等于從z0到 f (z)的距z0最近一個奇點a 的距離, 即R=|a-z0|.2.函果 f (z)在z0處解析的充要條件是f (z) 在 z0的某個鄰域內有泰勒展開式 。 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換33二、一些初等函數的泰

20、勒展開式二、一些初等函數的泰勒展開式基本方法：1.直接展開法：2.間接展開法：借助一些已知函數的展開式, 利用變量替換、逐項微（積）分、冪級數的運算、待定系數法等方法, 得出函數在指定點附件的泰勒展開式( )01() (0,1,2,)!nncfznn公式 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換例1.求 ez 在 z = 0處的泰勒展開式, 由于(ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有2e1.2!nzzzzzn 因為ez在復平面內處處解析, 上式在復平面內處處成立, 收斂半徑為+.同樣, 可求得sin z與cos z在z=0的泰勒展開式:352

21、1242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzznzzzzzn- - - - 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換350035210sinzz011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn- .用間接展開法求在的泰勒展開式2解：例 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換3622221121 z=0(1+ )z1,11, z.(1+ )11( 1),| 1.11123( 1),| 1.(1)nnnnzzzzzzzzzznzzz

22、- - - - - -. 求函數在處的泰勒展開式.解:由于函數有一奇點而在內處處解析 所以可在該區域內展開成 的冪級數因為 將上式兩邊求導得例3 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換37例4 求對數函數的主值分支ln(1+z)在z=0處的泰勒展開式.解： ln(1+z)在從-1向左沿負實軸剪開的平面內是解析的, -1是它的奇點, 所以可在|z|1內展開.01ln(1)( 1),1nnnzzz-因為逐項積分得0001dd( 1)d,1zzznnz-231ln(1)( 1)| 1.231nnzzzzzzn- -即 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函

23、數與積分變換38 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換39ln(1)ln(1)201212(1) ()( ),(0)10( )1,| 1.( )(1)( )( )1( )(1),2!zznnzf zefzf zrzfzez fzf zzf zcc zc zc zccaaaaaaa aa-.求函數為復數 的主值分支在處的泰勒展開式.解：由于在從向左沿負實軸剪開的復平面內解析，所以它在原點處泰勒展開式的收斂半徑收斂區域， 設，例求的6可(1)(1)!nncna aa- 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換404 洛朗級數洛朗級數一、洛朗級

24、數定義1 形如10010()()()nnnnnczzczzczz-0100()()nncc zzczz-00010()()()nnnnnnnnnc zzczzc zz-的級數稱為，為其，為其，當這兩部分都收斂洛朗級數解析部分主要部分時，則稱洛朗級數是收斂的. 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換z0R1R2例如級數10110(),1,| |,| |.| | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzzzabzbabazbab與 為復常數中的負冪項級數當即時收斂 而正冪項級數則當時收斂 所以當時,原級數在圓環域收斂;當時,原級數處處發散 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換定理1 (洛朗展開式定理)設 f (z)在圓環域 R1 |z-z0| R2內解析, 則0( )()nnnf zc zz-C為在圓環域內繞z0的任何一條正向簡單閉曲線.二、環形區域上解析函數的洛朗展開二、環形區域上解析函數的洛朗展開101( )d . (0, 1, 2,)2()nnCfcniz -其中 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換在收斂圓環域內也具有. 例如, 可以證明, 上述級數在收斂域內其和函數是解析的, 而且可以逐項求積和逐項求導.現在反問, 在圓環域內解析的函數是否