1、 隨著社會的進步，隨著現代經濟的飛速發展，高等數學知識在社會各個領域的應用日益廣泛，很顯然高等數學理論在其中確實發揮出了十分積極的作用，這些都在實踐中得到了運用與驗證。當代西方經濟工作者認為，經濟學的基本方法是首先對經濟變量之間的關系進行精準的分析，利用高等數學知識建立相應的經濟模型，使得人們能從理論上分析有關的經濟模型，從而給出合理的解釋，并且從中引申出經濟原則和理論，更好的對經濟建設起指導作用，已經有越來越多的人認識到高等數學與現代經濟管理是相輔相成的，它們相互促進， 共同發展。從長遠的角度看，高度抽象的數學理論的發展，定會使數學與經濟學，乃至整個客觀世界更深刻、 更復雜、 而又更奇妙地聯

2、系著，這無疑給了數學這門古老的、 周密的、 深刻的經典科學在當今社會大放異彩的機會，更加凸顯了數學是科學界的一朵奇葩。 高等數學理論應用于現代經濟管理的可行性分析 現代經濟管理是經濟學門類的綜合性應用學科，它融社會科學、自然科學等多學科知識， 側重于總結、 摸索實踐經驗， 追求數據分析預測的精準性與思維邏輯的嚴密性。研究的對象主要是社會的資源配置及社會的經濟關系如何進行合理調節與組織的規律與方法。 如： 通過對財務狀況的研究， 對未來形勢進行預測； 通過對國民經濟管理研究，分析各種可以預見的經濟問題；通過對財政與稅收的研究，對財政收入、 財政支出、 稅收、 財政管理體制、 財政政策等問題進行分

3、析研究。 由此可見， 經濟數據的分析與預測在現代經濟管理中占有一定份量，有必要借助和運用高等數學這一嚴密、 精確、 實用的思維工具來解決一些經濟問題。那么，讓我們來看幾個高等數學知識在經濟管理方面的應用實例。一、導數在最佳營運資金決策上的應用 導數是什么呢？簡單來說，導數是函數關于自變量的變化率，在經濟學中，也存在變化率的問題。因此我們可以把微觀經濟學中的很多問題歸結到數學中來，用我們所學的導數知識加以研究并解決。經濟活動的目的，除了考慮社會效益，對于一個具體的公司，決策者更多的是考慮經營的成果，如何降低成本，提高利潤；如何能讓公司的資金最大程度的周轉，來使公司具備最佳的償債能力等問題。 營運

4、資金又是什么呢？營運資金，也叫營運資本。 廣義的營運資金又稱總營運資本，是指一個企業投放在流動資產上的資金，具體包括現金、有價證券、應收賬款、存貨等占用的資金。 狹義的營運資金是指某時點內企業的流動資產與流動負債的差額。其作用是，可以用來衡量公司或企業的短期償債能力，其金額越大，代表該公司或企業對于支付義務的準備越充足，短期償債能力越好。當營運資金出現負數，也就是一家企業的流動資產小于流動負債時，這家企業的營運可能隨時因周轉不靈而中斷。 一家企業的營運資金到底多少才算足夠，才稱得上具備良好的償債能力，是決策的關鍵。如何能讓企業具備最佳的償債能力，這就可以用到導數來進行計算其最佳營運資金。設 T

5、 為一個周期內現金總需求量，F 為每次轉換有價證券的固定成本，Q 為最佳現金持有量， K 為有價證券利息率，TC 為現金管理相關總成本。根據公式：現金管理相關總成本 = 持有機會成本 + 固定性轉換成本，我們可以得出： 令： 得： 所求的Q的值就是其最佳營運資金。 上述導數在的經濟分析中的應用，只是數學在浩人煙海的經濟應用中點滴晶瑩的水花，其應用頗為廣泛。不僅此而已，對企業經營者來說，對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具，不但可以給企業經營者提供精確的數值，而且在分析的過程中，還可以給企業經營者提供新的思路和視角，這是數學應用性的具體體現。因此，作為一個合格的企業經營者，應

6、該掌握相應的數學分析方法，從而為科學的經營決策提供可靠依據。2、 微分方程在新產品的推廣中的應用 微分方程作為數學科學的中心學科，已經有三百多年的發展 歷史，其解法和理論已日臻完善，可以為分析和求得方程的解（或數值解）提供足夠的方法，使得微分方程模型具有極大的普遍性、有效性和非常豐富的數學內涵。邏輯斯諦方程, 即常微分方程其意義：當一個物種遷入到一個新生態系統中后，其數量會發生變化。假設該物種的起始數量小于環境的最大容納量，則數量會增長。設有某種新產品要推向市場，t 時刻的銷量為x(t)，由于產品性能良好，每個產品都是一個宣傳品，因此 t 時刻產品銷量的增長率與x(t)成正比，同時考慮到產品銷

7、量存在一定的市場容量N，統計表明與尚未購買該產品的潛在顧客的數量 N-x(t)也成正比,于是有：符合邏輯斯諦(Logistic)方程的模型，其通解為 ，當，有，表明銷量單調增加，當時，；時，；時，即當銷量達到最大需求量 N 的一半時，產品最暢銷，當銷量不足一半時，銷量速度不斷增大，當銷量超過一半時，銷量速度逐漸減少。 研究與調查表明：許多產品的銷售曲線與 Logistic 曲線十分接近，許多分析家認為，在新產品推出的初期，應采用小批量生產并加強廣告宣傳，而在產品用戶達到 20% 到 80% 期間，產品應大批量生產，在產品用戶超過 8 0 % 時，應適時轉產，可以達到最大的經濟效益。 利用微分方

8、程理論針對各種實際問題建立的數學模型。一般而言都是動態模型，雖然它的推導過程稍顯繁瑣，但是其結果卻相當簡明，并且可以給出合理的解釋，從而很好的指導了新產品的推廣。三、概率與數理統計在風險衡量中的應用 概率與數理統計是研究隨機現象的一門學科；是對未來和未知進行展望和判斷,以求合理的使用人力、物力、財力、高瞻遠矚地獲得最大經濟效益已廣泛的應用于經濟管理領域中 。風險通常是指某種行動結果所具有的變動性，是財務管理中的一個很重要的概念，在風險的衡量中用到的主要是隨機變量的數學期望、方差、標準離差率、協方差等。現在的公司企業將期望和方差運用到管理估算的決策中。期望和方差的數字特征含義可以幫助我們進行合理

9、的選擇，為我們科學的決策提供良好的依據，從而最優的實現目標。 1 . 單一資產投資風險衡量。決策者主要通過求標準離差率將決策方案風險加以量化，并據此做出決策：對于單個方案，決策者可根據其標準離差率的大小，并將其通社定的可接受的此項指標最高限制對比，然后進行決策；對于多個方案，選擇低風險高收益的方案。例：某企業由 A 、B 兩個投資項目，兩個投資項目的收益率及其概率分布情況如表所示：項目實施情況該種情況出現的概率投資收益率項目A項目B項目A項目B好0.200.3015%20%一般0.600.4010%15%差0.200.30010%同理可以看出A的風險較大。2. 投資組合風險的衡量。 投資者通常

10、不是把自己的全部資金都投放在單一資產上，而是同時向多項資產投資。這時投資組合的總風險由投資組合收益率的方差和標準離差() 來衡量。例：某企業擬分別投資與 A 資產和 B 資產，其中投資與 A 資產的期望收益率為 8%，計劃投資 500 萬元；投資于 B 資產的期望收益率為 12% ，計劃投資 500 萬元。假設投資 A 、B 資產期望收益率的標準離差均為9%。 計算相關系數為+1 時，投資組合的。 通過上述例子我們可以看出，決策者在決策前后，往往存在許多不能知曉的可變因素，從而所作出的決策不一定符合客觀實際情況，所以決策是有風險的。只有符合客觀環境的科學的決策才能使決策者獲得最大的經濟利潤，才

11、能盡可能地節約成本。而通過概率與數理統計的分析可以幫助我們進行合理的選擇，為我們的科學決策提供良好的依據，從而最優的實現目標。4、 高等數學建模分析處理經濟管理問題 一般來說，數學不能直接處理經濟管理領域的客觀情況。為了能用數學解決經濟管理領域中的問題，就必須建立數學模型。數學模型是為了解決經濟管理領域中的問題而作的一個抽象的、簡化結構的數學刻畫。或者說，經濟管理中的數學模型就是為了管理的經濟目的，用字母、數字及其他數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構的刻畫。 在現代經濟管理中，經濟數據與形勢的預測和分析是一項重要的任務。鑒于此，要將高等

12、數學的理論應用于現代經濟管理之中，首先就是要將一個待解決的經濟問題歸納總結為與之相對應的數學（或數字）問題，而后運用對應的數學理論，去分析經濟問題，得出分析的結果。而這個思維過程，其本身就是高等數學的一個基本理論，即數學建立模型的過程。同時，針對不同類型經濟管理問題我們需要建立不同的數學模型如： 供需與價格關系數學模型、 邊際收益模型、 價格彈性模型、經濟增長的索羅模型、生產函數模型、均衡價格的差分方程模型、利益分配的合作博弈模型、乘數加速數模型、投入產出模型、經濟增長與最優財政支出規模模型、稅收收入 AR 預測模型、消費稅稅率優化設計模型、 斯坦克伯格雙寡頭壟斷動態博弈模型等等。 在這里需要

13、注意的是，由于經濟始終處于動態變化之中，在經濟管理中建立數學模型要根據實際問題區別對待和解決，要將所建立數學模型的適用性與準確性放在首位進行考慮，因為在經濟學歷史上能夠經過實踐驗證，為經濟管理人士所普遍應用的數學模型多具有一定的代表性，且能描述事物總體趨勢的數學模型。 既然數學建模在經濟管理中有如此重要的應用，那么，如何準確的進行數學建模就尤為重要。要盡量使所建立的模型精準明確、有據可依、 簡便實用，要盡量運用標準的數學模型，并要遵循如下步驟： 1.模型準備。要對準備建模的經濟管理問題進行周密的調研了解， 明確預期目的。 通過對問題所涉及的基本情況進行調研和了解，以獲取所需的數據資料，并對其進

14、行分組劃類。因為經濟數據資料的完備性關系到假設是否成立及數學模型對經濟分析與預測的質量與精確程度。 2.模型假設。在明確建模目的，掌握必要經濟數據的前提上，通過對各組數據進行綜合計算分析，找出起決定性作用的經濟數據，確定其為主要的變量，對次要的數據予以適當忽略，并提出假設。在這里需要明確的是，經濟管理問題的不同假設對經濟分析與預測將起到至關重要的影響，所以在進行假設的過程中，要多層次、多角度地進行綜合考慮，要將經濟活動的內在規律、數據來源的分析以及經驗都要作為假設的理論依據，抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、 均勻化，寫出假設時，語言要精確。 3.建立模型。 根據所做的假設，將經濟

15、管理問題運用數學語言進行描述，建立出相應的數學結構， 得出數學模型。 在建模過程中應注意區分變量的不同類型，并合理地運用數學的工具，如：確定型的變量大多用微積分、 線性規劃、圖論、 微分方程、 網絡等， 隨意的變量多用隨機微分方程、 統計、 概率等。同時還要注意簡化變量之間的關系，建模要精確，符合經濟問題對數字精度的要求。 4.模型驗證。有了模型之后要反復的推敲，要分析模型能否真正的反映現實問題，能否說明變量之間的關系。還要考慮模型是否有解，有什么樣的解，求解過程是否簡便，以及有無矛盾之處等。此外，模型的解也可以帶入到現實問題中加以驗證，看能否解決現實問題，這一點也是至關重要的。 5. 模型求

16、解。可以通過計算軟件或相應程序在計算機上對經濟管理問題開展模擬試驗，對假設方案進行比較與篩選。 6.模型改進。模型必須不斷地驗證，不斷檢驗，不斷完善。在建模過程中，要重視出現的問題，針對問題加以分析，檢查建模時的假設和前提是否正確，考慮變量之間關系能否進行重新調整，針對問題進行調整，然后再重復檢驗，重復修改，直到符合要求為止，所以這個過程往往是循環反復的，不斷推進的。 7.模型應用。只有通過多次檢驗，符合實際問題的數學模才可以用。利用模型研究各種現象之間的關系，推測現象的發展趨勢，預測可能出現的各種結果。對于好的結果，要加以繼續擴大應用；不利的結果要未雨綢繆，提前做好準備，加以控制和干預，爭取

17、最大程度的減小損失。 當然，在模型建立的過程中，這些步驟不是一成不變的，有事可以反復進行，比如檢驗后發現模型和實際問題問題相差甚遠，就要重新分析問題，重新加以簡化，重新完善原始假定等。所以建模過程是一個完整的過程，不能生搬硬套，需要靈活應用。 為了體現數學模型在經濟管理中的應用價值，下面通過兩個簡單的例子加以說明。（1） 問題提出 假設有甲乙兩家企業，其邊際成本分別為需求的反函數為為兩家企業的總產量，。其中為兩個正常數，為產品的價格，分別為兩家企業的產量。若乙企業先宣布其產量是，問兩家企業如何安排生產，才能使各自的利潤達到最大值。（2）分析解決問題 本題是一個如何安排生產的問題，最終甲乙兩家企

18、業要使各自的利潤達到最大化，不妨設甲乙兩家企業的利潤函數分別為則一方面，由于乙企業先宣布其產量，那么甲企業應該根據乙的選擇加以抉擇，也就是選擇合適的，使其利潤函數達到最大值，故需要，即.從上式可求出，并記為，則=另一方面，乙企業在率先宣布其產量為時，就能預測到甲企業會選擇產量，故乙企業會在其利潤函數達到最大值時，安排生產。鑒于兩個企業產量決策有先有后，就產生了博弈，此時的模型就是一個動態的博弈模型。當乙企業的利潤函數達到最大值時，需要=0，即=0從上式可求出，并記為，則 =再把 代入，得 =此時，滿足斯坦特伯格（Stacklberg)均衡，即能使兩個企業的利潤均達到最大值企業的管理者即可據此加

19、以決策生產。當然模型還得作進一步的檢驗和改進，在這就不多做說明了。 在高等數學知識里面還有一個重要的數學模型線性規劃模型，成為現代經濟管理中經常被采用的基本方法之一。它是幫助人們進行科學管理的一種有效的數學方法。發展生產力，提高經濟效益是人類發展不可或缺的要求。而提高經濟效益有兩種途徑：一是技術改進：如開發新工藝，新能源等；二是生產組織與生產計劃的改進，即是合理利用現有的人力，物力資源，使經濟效益達到最好。而線性規劃研究的是：在一定條件下，合理安排人力物力資源，使經濟效益達到最好。 一般地，線性規劃的目標是求目標經濟函數在線性約束條件下的最大值與最小值問題。決策變量，約束條件，目標函數是線性規

20、劃的三要素，其中決策變量是實際問題中的未知因素，也是決策系統中的可控因素。目標函數是將實際系統中的目標用數學形式表示出來，常用等式或不等式來表示；約束條件是指實現目標的限制因素，它涉及到經濟管理的各個方面，如原材料的供應，計劃指標，市場銷售狀態，產品質量要求等。線性規劃數學模型是描述實際問題的數學形式，它反映了實際問題數量間的本質規律。由于實際問題往往比較復雜，建立線性規劃數學模型時，對某一個問題要認真分析，抓住最本質的因素，用簡單的數學式子將其描述出來，使建立的數學模型既簡單又能正確地反映問題的本質。下面介紹一個關于投資的線性規劃的數學模型案例：案例1：投資模型設有下面4個投資機會：項目：從

21、第一年到第四年每年年初需要投資，并與次年年末回收本利115%；項目b：從第三年年初需要投資到第五年末回收本利125，但規定最大投資額不超過4萬元；項目c：第二年初需要投資，到第五年末才能回收本利140，但規定最大投資額不超過3萬元；項目d：五年內每年初可買公債，于當年末歸還，并加利息6。該部門現有資金10萬元，問它應如何確定給這些項目每年的投資額，使到第五年末擁有的資金的本利總額最大?試建立求出最優投資方案的數學模型。1建模步驟：（1）確定問題的決策變量，即分別為第i年投向a，b，c，d項目的投資額(i=1，2，3，4，5)。(2)確定問題的目標函數：設Z為第五年末擁有資金的本利息總額，通過下面分析來找Z的表達式。（3）資金流轉分析：確立約束條件。 原則1：每年年初將手頭全部資金投出去，因此第一年年初應將10萬元全部投給a，b兩個項目即。 原則2：第一年年底回收各項投資的本息即為第二年年初手頭擁有的投資總額，又全部投入第二年初可能有的投資機會，故有。 以此類推，每年年初投資額=頭年末返回本利總額，于是有： 以上資金流轉分析，再加上各種金額的限制，即為問題的約束條件。目標函數應該是四項投資在第五年末回收的本