1、04_07_能態密度和費米面 能帶理論04_07 能態密度和費密面能態密度和費密面 1 能態密度函數能態密度函數 固體中電子的能量由一些準連續的能級形成的能帶固體中電子的能量由一些準連續的能級形成的能帶 能量在能量在E E+ E之間之間 能態數目能態數目 Z能態密度函數能態密度函數0( )limEZN EE E01/3604_07_能態密度和費米面 能帶理論等能面等能面 3)2(V3(2 )VZdSdk 狀態在狀態在k空間是均勻分布的空間是均勻分布的 動量標度下的能態密度動量標度下的能態密度 EE+ E之間的能態數目之間的能態數目應用關系應用關系kdkEE 狀態密度狀態密度( )Econsta

2、ntk04_07_能態密度和費米面 能帶理論能態密度能態密度kEdkE3(2 )VZdSdk3(2 )kVdSZEE3( )2(2 )kVdSN EEEdSVENk3)2()(考慮到電子的自旋，能態密度考慮到電子的自旋，能態密度kdkEE 04_07_能態密度和費米面 能帶理論1) 自由電子的能態密度自由電子的能態密度22( )2kEmk電子的能量電子的能量k空間空間, 等能面是半徑等能面是半徑22mEk 的球面的球面04_07_能態密度和費米面 能帶理論dkdEEkmk2在球面上在球面上能態密度能態密度EdSVENk34)(24dSk22( )2kEmk3/22222( )(2 )VmN E

3、E05/3604_07_能態密度和費米面 能帶理論2) 近自由電子的能態密度近自由電子的能態密度 晶體的周期性勢場對能量的影響表現在布里淵區附近晶體的周期性勢場對能量的影響表現在布里淵區附近等能面的變化等能面的變化 二維正方格子二維正方格子第一布里淵區的等能面第一布里淵區的等能面04_07_能態密度和費米面 能帶理論第一布里淵區的等能面第一布里淵區的等能面 接近布里淵區的接近布里淵區的A點，能量受到周期性勢場的微擾點，能量受到周期性勢場的微擾 能量下降，等能面向邊界凸現能量下降，等能面向邊界凸現 在在A點到點到C點之間點之間 等能面不再是完整的閉合面等能面不再是完整的閉合面 分割在各個頂點附近

4、的曲面分割在各個頂點附近的曲面 04_07_能態密度和費米面 能帶理論能態密度的變化能態密度的變化 k接近接近A點，等能面向邊界凸現點，等能面向邊界凸現 兩個等能面間的體積不斷增大兩個等能面間的體積不斷增大, 能態密度增大能態密度增大 在在A點到點到C點之間，等能面發生殘缺點之間，等能面發生殘缺 達到達到C點時等能面縮成一個點點時等能面縮成一個點, 能態密度減小為零能態密度減小為零04_07_能態密度和費米面 能帶理論第二布里淵區能態密度第二布里淵區能態密度 能量能量E越過第一布里淵區邊界越過第一布里淵區邊界A點點 從從B點開始能態密度由零迅速增大點開始能態密度由零迅速增大能帶不重疊能帶不重疊

5、04_07_能態密度和費米面 能帶理論第二布里淵區能態密度第二布里淵區能態密度 能量能量E越過第一布里淵區邊界越過第一布里淵區邊界A點點 從從B點開始能態密度由零迅速增大點開始能態密度由零迅速增大能帶重疊能帶重疊10/3604_07_能態密度和費米面 能帶理論3) 緊束縛模型的電子能態密度緊束縛模型的電子能態密度 簡單立方格子的簡單立方格子的s帶帶 等能面為球面等能面為球面 k=0附近附近)coscos(cos2)(10akakakJEkEzyxs)(2)(222*2minzyxkkkmEkE 隨著隨著E的增大，等能面與近自由電子的情況類似的增大，等能面與近自由電子的情況類似04_07_能態密

6、度和費米面 能帶理論32221( )8(sinsinsin)xyzVdSN EaJk ak ak a等能面能態密度能態密度)sinsin(sin22221akakakaJEzyxk)coscos(cos2)(10akakakJEkEzyxsEdSVENk34)(04_07_能態密度和費米面 能帶理論102JEEX出現微商不連續的奇點出現微商不連續的奇點 等能面與布里淵區相交等能面與布里淵區相交帶底帶底106JEE102JEE和和)sinsin(sin22221akakakaJEzyxkX點點,0,0ka04_07_能態密度和費米面 能帶理論出現微商不連續的奇點出現微商不連續的奇點 等能面與布里

7、淵區相交等能面與布里淵區相交22212(sinsinsin)kxyzEaJk ak ak a04_07_能態密度和費米面 能帶理論0EE 的等能面的等能面102JEEX的等能面的等能面15/3604_07_能態密度和費米面 能帶理論2 費米面費米面 固體中有固體中有N個自由電子個自由電子 按照泡利原理它們基態按照泡利原理它們基態 N個電子由低到高填充的個電子由低到高填充的N個量子態個量子態mkE2)(22k3334)2(2FkVN電子的能級電子的能級 電子填充電子填充k空間半徑為空間半徑為kF的球的球 球內的狀態數球內的狀態數04_07_能態密度和費米面 能帶理論3334)2(2FkVN1/3

8、1/3328FNkV1/3328Fnk 球內的狀態數球內的狀態數球的半徑球的半徑NnV電子密度電子密度04_07_能態密度和費米面 能帶理論 費米波矢費米波矢 費米動量費米動量 費米速度費米速度 費米溫度費米溫度 費米能量費米能量22/2FFEkm 費米球半徑費米球半徑2FFkmE費米動量費米動量費米速度費米速度FFkp/FFmvp費米溫度費米溫度/FFBTEk04_07_能態密度和費米面 能帶理論 自由電子球半徑自由電子球半徑3341srnNV133()4srn1.92Fskr343srn3/1832nkF 電子密度電子密度 費米半徑費米半徑FFpvm604.2010/Fsvm sr a 費

9、米速度費米速度04_07_能態密度和費米面 能帶理論10023300.529 1010/2 6samncmr a222FFkEm20)/(1 .51areVEsFFE1.515eVeV1.92Fskr 費米半徑費米半徑 費米能量費米能量20/3604_07_能態密度和費米面 能帶理論 晶體中的電子晶體中的電子 滿帶滿帶 電子占據了一個能帶中所有的狀態電子占據了一個能帶中所有的狀態空帶空帶 沒有任何電子占據沒有任何電子占據(填充填充)的能帶的能帶導帶導帶 一個能帶中所有的狀態沒有被電子占滿一個能帶中所有的狀態沒有被電子占滿 即不滿帶，或說最下面的一個空帶即不滿帶，或說最下面的一個空帶價帶價帶 導

10、帶以下的第一個滿帶導帶以下的第一個滿帶禁帶禁帶 兩個能帶之間不允許存在的能級寬度兩個能帶之間不允許存在的能級寬度04_07_能態密度和費米面 能帶理論 周期性勢場的影響使得電子的能級周期性勢場的影響使得電子的能級 形成一系列的準連續的能帶形成一系列的準連續的能帶 N個電子填充這些能帶中最低的個電子填充這些能帶中最低的N個狀態個狀態半導體和絕緣體半導體和絕緣體 電子剛好填滿最低的一系列能帶，形成滿帶電子剛好填滿最低的一系列能帶，形成滿帶 導帶中沒有電子導帶中沒有電子 半導體帶隙寬度較小半導體帶隙寬度較小 1 eV 絕緣體帶隙寬度較寬絕緣體帶隙寬度較寬 10 eV04_07_能態密度和費米面 能帶

11、理論金屬金屬 電子除了填滿一系列的能帶形成滿帶電子除了填滿一系列的能帶形成滿帶 還有部分電子填充其它能帶形成導帶還有部分電子填充其它能帶形成導帶 電子填充的最高能級為費密能級電子填充的最高能級為費密能級 位于一個或幾個能帶范圍內位于一個或幾個能帶范圍內 在不同能帶中在不同能帶中 形成一個占有電子與不占有電子區域的分解面形成一個占有電子與不占有電子區域的分解面 面的集合稱為面的集合稱為費密面費密面04_07_能態密度和費米面 能帶理論金屬金屬_半導體半導體_絕緣體的能帶絕緣體的能帶04_07_能態密度和費米面 能帶理論堿金屬堿金屬 體心立方格子，一個原胞有體心立方格子，一個原胞有1個原子個原子n

12、2的能級的能級 原子的量子態數為原子的量子態數為8，電子填充數為，電子填充數為8個個 晶體中相應的能帶晶體中相應的能帶2s_1個、個、2p_3個，共個，共4個能帶個能帶 N個原子構成的晶體個原子構成的晶體 各滿層電子能級相應分成各滿層電子能級相應分成2N個量子態的能帶個量子態的能帶 內層電子剛好填滿了相應的能帶內層電子剛好填滿了相應的能帶 每個能帶所容許的量子態每個能帶所容許的量子態2N _ 8N個量子態個量子態 可以填充可以填充8N個電子個電子25/3604_07_能態密度和費米面 能帶理論堿金屬堿金屬 體心立方格子，一個原胞有體心立方格子，一個原胞有1個原子個原子 ns態所對應的能帶可以填

13、充態所對應的能帶可以填充2N電子電子 N個電子只填充了半個布里淵區個電子只填充了半個布里淵區 費密球與布里淵區邊界不相交費密球與布里淵區邊界不相交 費米面接近球面費米面接近球面 N個自由電子，只填充了半個能帶而形成個自由電子，只填充了半個能帶而形成導帶導帶04_07_能態密度和費米面 能帶理論二價堿土金屬二價堿土金屬 最外層最外層2個個s態電子態電子 2N個電子個電子剛好填充滿和剛好填充滿和s相應的能帶相應的能帶 ns態所對應的能帶可以填充態所對應的能帶可以填充2N電子電子 與與s對應的能帶和上面的能帶發生重疊對應的能帶和上面的能帶發生重疊 2N個電子尚未填充滿個電子尚未填充滿s態能帶，開始填

14、充上面的能帶態能帶，開始填充上面的能帶 兩個能帶都是部分填充兩個能帶都是部分填充二價堿土金屬二價堿土金屬 是絕緣體！是絕緣體！04_07_能態密度和費米面 能帶理論 第一布里淵區尚未填滿第一布里淵區尚未填滿 堿土金屬為金屬導體堿土金屬為金屬導體二價堿土金屬二價堿土金屬 最外層最外層2個個s態電子態電子 費米面由兩部分構成費米面由兩部分構成 第二布里淵區已填充電子第二布里淵區已填充電子04_07_能態密度和費米面 能帶理論金剛石結構的金剛石結構的IVB族元素族元素 C、Si和和Ge電子的填充電子的填充 IVB原子外層有原子外層有4個電子個電子 形成晶體后成鍵態對應形成晶體后成鍵態對應4個能帶在下

15、面個能帶在下面 反鍵態對應反鍵態對應4個能帶在上面個能帶在上面 每個能帶每個能帶 可容納可容納2N個電子個電子 成鍵態的成鍵態的4個能帶剛個能帶剛 好可以容納好可以容納 8N 電子電子04_07_能態密度和費米面 能帶理論每個原胞有兩個原子每個原胞有兩個原子 共共8個電子個電子 Si和和Ge為半導體為半導體 成鍵態的成鍵態的4個能帶剛好可以容納個能帶剛好可以容納8N電子電子 晶體中晶體中8N個電子全部填充成鍵態的個電子全部填充成鍵態的4個能帶形成滿帶個能帶形成滿帶 反鍵態則是空帶反鍵態則是空帶 金剛石為絕緣體金剛石為絕緣體 30/3604_07_能態密度和費米面 能帶理論能態密度的實驗結果能態

16、密度的實驗結果 X射線將原子內層電子激發射線將原子內層電子激發 產生空的內層能級產生空的內層能級 導帶中的電子躍遷填充內層能級時發射導帶中的電子躍遷填充內層能級時發射X射線光子射線光子04_07_能態密度和費米面 能帶理論 X射線將射線將Na原子的內層電子激發后原子的內層電子激發后 產生了諸如產生了諸如1s, 2s和和2p等空的內層能級等空的內層能級 K : 電子到電子到1s能級的躍遷能級的躍遷 LI : 電子到電子到2s能級的躍遷能級的躍遷 LII : 電子到電子到2p能級的躍遷能級的躍遷 LIII: 電子到電子到3s能級的躍遷能級的躍遷04_07_能態密度和費米面 能帶理論 導帶中電子能量

17、從帶底能量到最高能量導帶中電子能量從帶底能量到最高能量E0 各種能量的電子均可發生躍遷產生不同能量的各種能量的電子均可發生躍遷產生不同能量的X光子光子 發射出發射出X光子能量形成一個連續能量譜光子能量形成一個連續能量譜X光子發射強度決定于光子發射強度決定于（能態密度）（能態密度）（發射幾率）（發射幾率） 根據不同固體的根據不同固體的X光子光子 發射譜可以獲知能態密發射譜可以獲知能態密 度的信息度的信息04_07_能態密度和費米面 能帶理論 在低能量區域在低能量區域, , X光子發射能量逐漸上升的光子發射能量逐漸上升的 電子的能量從帶底逐漸增大，能態密度逐漸增大電子的能量從帶底逐漸增大，能態密度逐漸增大 在高能量的一端，在高能量的一端， X光子發射譜陡然下降光子發射譜陡然下降 導帶未填充滿，最高能量的電子對應的能態密度最大導帶未填充滿，最高能量的電子對應的能