1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 習(xí)題課習(xí)題課級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開(kāi)級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開(kāi) 第十二章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(0 xunn 求和)(xS展開(kāi)(在收斂域內(nèi)進(jìn)展)(0 xunn根本問(wèn)題：判別斂散；根本問(wèn)題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開(kāi).為傅立葉級(jí)數(shù).xnbxnaxunnnsincos)(當(dāng)為傅氏系數(shù)) 時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);0 xx 當(dāng)nnnxaxu)(當(dāng)時(shí)為冪級(jí)數(shù);nnba ,(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1

2、nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分審斂法部分和極限1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 恣意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)1nnuLeibniz審斂法審斂法: 假設(shè)假設(shè),01nnuu且,0limnnu那么交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnu1) 1(收斂 ,概念概念:且余項(xiàng).1nnur1nnu假設(shè)收斂 ,1nnu稱(chēng)絕對(duì)收斂1nnu假設(shè)發(fā)散 ,1nnu稱(chēng)條件收斂目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 假設(shè)級(jí)假設(shè)級(jí)數(shù)數(shù)11nnnnba 與均收斂 , 且nnnbca, ),2, 1(n證明級(jí)數(shù)1nnc收斂 .證證: nnnnabac0, ),2,1(n那么由題設(shè))(1nnnab 收斂

3、)(1nnnac 收斂1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收斂練習(xí)題練習(xí)題: P320 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解答提示解答提示:P320 題2. 判別以下級(jí)數(shù)的斂散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn提示提示: (1) nnnnn11lim, 1據(jù)比較審斂法的極限方式, 原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nnn1lim發(fā)散11nn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 12nnnnn10ln1lim原級(jí)數(shù)發(fā)散 :2) !()2(122nnn:2cos)3

4、(132nnnn:ln1)4(210nn故原級(jí)數(shù)收斂21nn發(fā)散,收斂,22) 1(2 ! ) 1(limnnn222) !(nn,22cos032nnnnnn1nnn10lnlimxxx10lnlimxxx9ln10lim28910limxx用洛必達(dá)法那么nnnn2lim21, 原級(jí)數(shù)發(fā)散 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 : )0,0()5(1sanansn時(shí)收斂 ;時(shí), 為 p 級(jí)數(shù)時(shí)收斂;1s時(shí)發(fā)散.1s1a時(shí)發(fā)散.1a1asnsnnanan) 1(1limsnnna1lima目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P320 題3. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu和1nnv12)(nnnvu也收斂 .法法1 由

5、題設(shè)由題設(shè),0limlimnnnnvu,)(1收斂nnnvu )(limnnnvu 0根據(jù)比較審斂法的極限方式知結(jié)論正確.都收斂, 證明級(jí)數(shù)nnnnnvuvu2)(lim法法2 因因 ,0limlimnnnnvu故存在 N 0,當(dāng)n N 時(shí),0)(limnnnvu)(nnvu 2)(nnvu , 1)(0nnvu從而 再利用比較法可得結(jié)論目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P320 題4. 設(shè)級(jí)數(shù)1nnu收斂 , 且,1limnnnuv1nnv能否也收斂？闡明理由.但對(duì)恣意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂 .,) 1(nunn問(wèn)級(jí)數(shù)提示提示: 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知由比較判別法可知1nnv級(jí)數(shù)1n

6、nu收斂 ,1nnvnnnuvlim收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ;1ln) 1()3(1nnnnP320 題5.討論以下級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) p 1 時(shí), 絕對(duì)收斂 ;0 p1 時(shí), 條件收斂 ;p0 時(shí), 發(fā)散 .(2)故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.nnn11lim,1sin) 1(1111nnnn,111收斂nn, 11目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11ln) 1()3(nnnn)11(ln1

7、lnnnnun因單調(diào)遞減, 且但對(duì)nnn1ln1nkkk1ln)1ln()1ln( n)(n所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂 .kkSnkn1ln1由Leibniz審斂法知級(jí)數(shù)收斂 ;0limnnu目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn1e1所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法 規(guī)范方式冪級(jí)數(shù): 先求收斂半徑 R : 再討論Rx 非規(guī)范方式冪級(jí)數(shù)經(jīng)過(guò)換元轉(zhuǎn)化為規(guī)范方式直接用比值法或根值法處的斂散性 .P320 題7. 求以下級(jí)數(shù)

8、的斂散域:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn練習(xí)練習(xí):,lim1nnnaaRnnnaR lim1或(自證) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 解解:nnnnnna)11 (limlim當(dāng)e1x因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散 ,e)11 (1nnnnuenn)11 ( nn)11 ( )(0e1n. )e1,e1(e時(shí),12)11 ()2(nnnxn,e1Re1e1x故時(shí)原級(jí)數(shù)收斂 .故收斂域?yàn)槟夸?上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nnnxn212)4()()(lim1xuxunnn解解: 因因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x當(dāng)時(shí)，即22x,2時(shí)當(dāng)x故收斂域?yàn)? )2,2(

9、級(jí)數(shù)收斂;普通項(xiàng)nun不趨于0,nlim級(jí)數(shù)發(fā)散; 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.) 1(31的收斂半徑求冪級(jí)數(shù)nnnnxn解解: 分別思索偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù)分別思索偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù),lim1nnaannnnalim極限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原級(jí)數(shù) =1)(kkx1)(kkx 其收斂半徑4121,minRRR留意: 此題目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求部分和式極限三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法

10、 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分nnnxa0)(*xS對(duì)和函數(shù)求積或求導(dǎo))(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式在收斂區(qū)間內(nèi) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和nnnxa0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù).!) 12(1) 1(120的和函數(shù)nnnxnn法法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橐浊蟪黾?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法法2 先求出收斂區(qū)間, )(xS那么xnnnxxx

11、nnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(設(shè)和函數(shù)為),(x120!) 12(1) 1(nnnxnn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí):.) 1()4(1nnnnx;212) 1()1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x 1221nnxx222211xxx22xx222)2(2xx顯然 x = 0 時(shí)上式也正確,. )2,2(x故和函數(shù)為而在2xx0,)2(2)(222xxxSP320 題8. 求以下冪級(jí)

12、數(shù)的和函數(shù)：級(jí)數(shù)發(fā)散,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (4)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd110)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110 x0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx顯然 x = 0 時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于0, 根據(jù)和函數(shù)的延續(xù)性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 時(shí),級(jí)數(shù)也收斂 . 即得)1(ln)11(1lim0 xxx0)1(lnlim10 xxx又 目錄 上頁(yè)

13、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn練習(xí)練習(xí):0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sinP320 題9(2). 求級(jí)數(shù)注注: 此題也可利用例此題也可利用例3間接求和間接求和.例3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和傅式級(jí)數(shù)展開(kāi)法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和傅式級(jí)數(shù)展開(kāi)法 直接展開(kāi)法 間接展開(kāi)法練習(xí)練習(xí):1) 將函數(shù)將函數(shù)2)2(1x展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù). 利用知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnn

14、xn)2,2(x1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2) 設(shè)設(shè))(xf0,arctan12xxxx0,1x, 將 f (x)展開(kāi)成x 的冪級(jí)數(shù) ,1241) 1(nnn的和. ( 2019考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求級(jí)數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121)

15、 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)的傅式級(jí)數(shù)展開(kāi)法函數(shù)的傅式級(jí)數(shù)展開(kāi)法系數(shù)公式及計(jì)算技巧; 收斂定理; 延拓方法練習(xí)練習(xí): xyO),上的表達(dá)式為 ),0,e)0,0)(xxxfx將其展為傅氏級(jí)數(shù) .na1xnxxdcose021)cossin(e1nnxnxnx0),2, 1,0(11) 1(e12nnnP321 題11. 設(shè) f (x)是周期為2的函數(shù), 它在解答提示解答提示目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xnxbxndsine1021)cos(sine1nnxnnxx0)

16、,2, 1(1) 1(12nnenn21e)(xf11n)sin(cosnxnnx 211) 1(enn),2,1,0,(kkx思索思索: 如何利用此題結(jié)果求級(jí)數(shù)如何利用此題結(jié)果求級(jí)數(shù)?11) 1(e02的和nnn根據(jù)傅式級(jí)數(shù)收斂定理 , 當(dāng) x = 0 時(shí), 有21e11n211) 1(enn2)0()0(ff21提示提示:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P320 6 (2); 7 (3); 8 (1), (3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12 作業(yè)作業(yè)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)),(0在nnnxa滿足解解: 設(shè)設(shè))(xy1)0(, 0)0(, 042 yyyyxy, 2, 1,122nanann,0nnnxay內(nèi)收斂, 其和函數(shù)(1) 證明(2) 求 y(x) 的表達(dá)式.那么由1)0(, 0)0(yy 22) 1(nnnxanny1, 010aa得,2nnnxaxy,121nnnxany代入微分方程得( 2019考研 )目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1)0(, 0)0(, 042 yyyyxy 22) 1(nnnxanny2nnnxaxy211nnn