1、首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出1 3.1 剛體剛體定軸轉動的描述剛體剛體定軸轉動的描述 3.2 力矩剛體定軸轉動的轉動定律力矩剛體定軸轉動的轉動定律 3.3 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理 3.4 剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定定 律律首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出23.1 剛體剛體定軸轉動的描述剛體剛體定軸轉動的描述一、剛體的引入一、剛體的引入 剛體剛體(rigid body) ：即形狀和大小完全不變的即形狀和大小完全不變的物體。是一理想模型。物體。是一理想模型。通常把剛體分成許多部分，每一部分都小到可通常

2、把剛體分成許多部分，每一部分都小到可看作質點，叫作看作質點，叫作剛體的質元剛體的質元。由于剛體不變形，各質元間距離不變。由于剛體不變形，各質元間距離不變。 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出3二、剛體的基本運動二、剛體的基本運動 剛體最基本的運動方式是剛體最基本的運動方式是平動平動和和轉動轉動 。1、剛體的平動、剛體的平動在運動過程中，若剛體內部任意兩質元間的在運動過程中，若剛體內部任意兩質元間的連線在各個時刻的位置都和初始時刻的位置連線在各個時刻的位置都和初始時刻的位置保持平行，這樣的運動稱為剛體的平動保持平行，這樣的運動稱為剛體的平動 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出

3、42、剛體的轉動、剛體的轉動 若剛體上各個質元都繞同一直線若剛體上各個質元都繞同一直線作圓周運動，這樣的運動稱作作圓周運動，這樣的運動稱作剛剛體的轉動體的轉動(rotation)，這條直線稱，這條直線稱為為轉軸轉軸（這根軸可在剛體之內，（這根軸可在剛體之內，也可在剛體之外）。也可在剛體之外）。非定軸轉動非定軸轉動：在剛體轉動過程中，轉軸的方：在剛體轉動過程中，轉軸的方向或位置隨時間變化。該轉軸稱為向或位置隨時間變化。該轉軸稱為轉動瞬轉動瞬軸軸如陀螺的旋進、車輪的滾動等。如陀螺的旋進、車輪的滾動等。定軸轉動定軸轉動：轉軸固定不動，即既不改變方向轉軸固定不動，即既不改變方向又不發生平移。該轉軸稱為

4、又不發生平移。該轉軸稱為固定軸固定軸。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出5三、剛體定軸轉動的描述三、剛體定軸轉動的描述 垂直于固定軸的平面為垂直于固定軸的平面為轉動平面轉動平面顯然，轉動平顯然，轉動平面不止一個，而有無數多個。如果以某轉動平面面不止一個，而有無數多個。如果以某轉動平面與轉軸的交點為原點，則該轉動平面上的所有質與轉軸的交點為原點，則該轉動平面上的所有質元都繞著這個原點作圓周運動。元都繞著這個原點作圓周運動。 剛體定軸轉動的基本特征是：剛體定軸轉動的基本特征是：軸上所有各點都保軸上所有各點都保持不動，軸外所有各點在同一時間間隔內轉過的持不動，軸外所有各點在同一時間間隔內轉

5、過的角度都一樣。角度都一樣。 角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度 轉動平面上任一質元對原點的位矢轉動平面上任一質元對原點的位矢r與極軸的夾角與極軸的夾角稱為角位置稱為角位置。剛體在一段時間內轉過的角度。剛體在一段時間內轉過的角度=2-1 稱為稱為角位移角位移 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出6t在時刻在時刻t到到t+t時間內的角位移時間內的角位移與與t之比稱為之比稱為剛體的平均角速度剛體的平均角速度當當t0時，平均角速度的極限稱為瞬時角速度，簡時，平均角速度的極限稱為瞬時角速度，簡稱稱角速度角速度，用，用表示表示： 0limtdtdt tdtdttlim0平均角加速度

6、平均角加速度瞬時角加速度，簡稱瞬時角加速度，簡稱角加速度角加速度 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出7剛體定軸轉動的特點剛體定軸轉動的特點:所有質點的角量都相同所有質點的角量都相同 ；質點的線量與該質點的軸矢徑大小成正比質點的線量與該質點的軸矢徑大小成正比 。 vriiiira 2inira首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出8一、力矩一、力矩 1 1、力對固定點的力矩、力對固定點的力矩 1）定義：作用于質點的）定義：作用于質點的力對慣性系中某參考點的力對慣性系中某參考點的力矩，等于力的作用點對力矩，等于力的作用點對該點的位矢與力的矢積，該點的位矢與力的矢積，即即FrM 力矩

7、是矢量，力矩是矢量，M的方向垂直于的方向垂直于r和和 F所決定的平面所決定的平面，其指向用右手螺旋法則確定。，其指向用右手螺旋法則確定。2）力矩的單位力矩的單位: 牛牛米米(Nm)o MFmr3.2 力矩剛體定軸轉動的轉動定律力矩剛體定軸轉動的轉動定律首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出9FrMzyxFFFzyxkjiMyzxzFyFMzxyxFzFMxyzyFxFM 3）力矩的計算：力矩的計算： M的大小、方向均與參考點的選擇有關的大小、方向均與參考點的選擇有關sinFrM 在直角坐標系中，其表示式為在直角坐標系中，其表示式為)()(kFjFiFkzjyixzyxkyFxFjxFzF

8、izFyFxyzxyz)()()(kMjMiMzyx首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出10 力矩在力矩在x,y,z軸的分量式，或稱軸的分量式，或稱力對力對軸的矩。軸的矩。例如上面所列例如上面所列x,My,Mz,即即為力對軸、軸、軸的矩。為力對軸、軸、軸的矩。 、力對軸的矩、力對軸的矩：sinrFMzrFrFFFrsinsin式中式中為力為力F到軸的距離到軸的距離 若設力的作用點到軸的位矢為若設力的作用點到軸的位矢為r，則力對軸的則力對軸的力矩為力矩為rFzMF/F力對固定點的力矩為零的情況：力對固定點的力矩為零的情況：力力F等于零，等于零，力力F的作用線與矢徑的作用線與矢徑r共線（共

9、線（力力F F的作用線穿過的作用線穿過0 0點點, , 即，有心力對力心的力矩恒為零即，有心力對力心的力矩恒為零）。）。 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出11任一對作用力和反作用力（內力）對同點（同軸）的任一對作用力和反作用力（內力）對同點（同軸）的力矩之和為零：力矩之和為零： ijfjifjrirjiijffjijijijifrfrMM00力對固定軸的力矩為零的情況：力對固定軸的力矩為零的情況：jiijjif)rr (MM000jijifr若力的作用線與軸平行若力的作用線與軸平行若力的作用線與軸相交若力的作用線與軸相交則力對該軸無力矩作用則力對該軸無力矩作用首首 頁頁 上上 頁頁

10、 下下 頁頁退退 出出12二、剛體定軸轉動的轉動定律二、剛體定軸轉動的轉動定律 在剛體上任取一質元在剛體上任取一質元mi，半徑為，半徑為ri，設它所受的合外力為，設它所受的合外力為Fi，合內，合內力為力為fi，它們與矢徑，它們與矢徑ri的夾角分別的夾角分別為為i和和i設剛體繞軸轉動的角速設剛體繞軸轉動的角速度和角加速度分別為度和角加速度分別為和和根據根據牛頓第二定律，采用自然坐標系，牛頓第二定律，采用自然坐標系，可得質元可得質元mi的法向和切向方程，的法向和切向方程，分別為分別為2)coscos(iiiniiiiirmamfFiiiiiiiirmamfFsinsin首首 頁頁 上上 頁頁 下下

11、 頁頁退退 出出13將切向方程的兩邊各乘以將切向方程的兩邊各乘以ri，可得，可得 2sinsiniiiiiiiirmrfrFiiiiiiiirmamfFsinsin切向方程：切向方程：把上式對剛體所有質元求和，并考慮到各質元角加把上式對剛體所有質元求和，并考慮到各質元角加速度相同，有速度相同，有 iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2 JM 因為因為0siniiiirfiiiirFMsiniiirmJ2令令：合外力矩合外力矩轉動慣量轉動慣量首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出142i iJm r 單位：千克單位：千克米米2（kgm2）三、轉動慣量的計算三、轉動慣量的計算對

12、于單個質點對于單個質點 2Jmr質點系質點系 21ni iiJmr2mJr dm若物體質量連續分布若物體質量連續分布，JM 上式為剛體定軸轉動的轉動定律：繞定軸轉動的剛剛體定軸轉動的轉動定律：繞定軸轉動的剛體的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，體的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。與剛體的轉動慣量成反比。牛頓第二定律：牛頓第二定律：F=ma。 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出15()質量元的選取：質量元的選取：)(dldxdm或線分布線分布面分布面分布 dsdm體分布體分布 dvdm (3)由于剛體是一個特殊質點系，即各質點之間無相由于剛體是一個

13、特殊質點系，即各質點之間無相對位移，即對于給定的剛體其質量分布不隨時間變化對位移，即對于給定的剛體其質量分布不隨時間變化，故對于，故對于給定軸而言，剛體的轉動慣量是一個常數。給定軸而言，剛體的轉動慣量是一個常數。(1)剛體的轉動慣量剛體的轉動慣量 與剛體的質量有關，與剛體的質量有關， 與剛體的質量分布有關，與剛體的質量分布有關， 與軸的位置有關。與軸的位置有關。 轉動慣量計算舉例：轉動慣量計算舉例： 注意：2mJr dm首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出16解：在棒上任取一質量元解：在棒上任取一質量元 dxdmMl線密度線密度 2dJx dm2202llJxdx于是于是例例3 31

14、1 求質量為求質量為 M M，長為長為l的均質細棒對過穿過棒的均質細棒對過穿過棒之中心并與棒垂直的軸的轉動慣量。之中心并與棒垂直的軸的轉動慣量。xxdx2l2ldm32111212lMl22331llx首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出17解：與上例做法相同，只是坐標原點由中點移至端點，解：與上例做法相同，只是坐標原點由中點移至端點，積分限改變。積分限改變。20lAJxdx例例3 32 2 求上述細棒對過棒之一端并與棒垂直的軸的求上述細棒對過棒之一端并與棒垂直的軸的轉動慣量轉動慣量. .dxxxl0dm321133lMl首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出18解：在細圓環上任

15、取一質解：在細圓環上任取一質元元dm，dm到軸的距離為，故到軸的距離為，故 2dJR dm因所有質元到軸心的距離均為，因所有質元到軸心的距離均為，22MJR dmMR例例3 33 3 求質量為求質量為M M，半徑為的細圓環繞過圓心并半徑為的細圓環繞過圓心并與環面垂直的軸的轉動慣量與環面垂直的軸的轉動慣量Rdl首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出19解：設圓盤厚為解：設圓盤厚為 h,h,則整個圓盤可看成是由無窮多個則整個圓盤可看成是由無窮多個半徑為半徑為r r，寬為寬為drdr的圓環所組成，的圓環所組成，設體密度為設體密度為dVdm2dJr dm302RJhr dr421122hRMR

16、2()MR h例例3 34 4 求求質量為質量為M，半徑為的半徑為的均質圓盤（或圓柱均質圓盤（或圓柱）對過質心且與盤面垂直的轉軸的轉動慣量。）對過質心且與盤面垂直的轉軸的轉動慣量。hrdr 2drrh32hrdr首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出20四、剛體定軸轉動的轉動定律的應用四、剛體定軸轉動的轉動定律的應用作定軸轉動的剛體，其轉動角加速度與外力對轉軸作定軸轉動的剛體，其轉動角加速度與外力對轉軸的力矩之和成正比，與剛體對轉軸的轉動慣量成反比。的力矩之和成正比，與剛體對轉軸的轉動慣量成反比。 其在定軸轉動中的地位與牛頓定律在質其在定軸轉動中的地位與牛頓定律在質點運動中地位相當。點運

17、動中地位相當。JM 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出21 轉動定律說明了轉動定律說明了J J是物體轉動慣性大小的量度。因為：是物體轉動慣性大小的量度。因為：說明：說明：J越大的物體，保持原來轉動狀態的性質就越越大的物體，保持原來轉動狀態的性質就越強，轉動狀態越難改變，即轉動慣性越大。強，轉動狀態越難改變，即轉動慣性越大。 如一個外徑和質量相同的實心圓柱與空心圓如一個外徑和質量相同的實心圓柱與空心圓筒，若筒，若 受力和力矩一樣，誰轉動得快些呢？受力和力矩一樣，誰轉動得快些呢？MM減小增大則一定時，JMJM首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出22例例35 質量為質量為m1， m

18、2 （ m1 m2）的兩物體，的兩物體，通過一定滑輪用繩相連，通過一定滑輪用繩相連，已知繩與滑輪間無相對滑已知繩與滑輪間無相對滑動，且定滑輪是半徑為動，且定滑輪是半徑為R、質量為質量為 m3的均質圓盤，忽的均質圓盤，忽略軸的摩擦。求：略軸的摩擦。求：(1) m1 、m2的加速度；的加速度；(2)滑輪的角滑輪的角加速度及繩中的張力。加速度及繩中的張力。（繩輕且不可伸長）（繩輕且不可伸長）m1m2m3R首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出23gm11T1am1M2Tgm22am2N/2T/1Tgm3R解解 對m1 、m2，滑輪作受力分析， m1 、m2作平動，滑輪作轉動，)(2211TTT

19、T，amTgm111amgmT2222312Jm RRa JRTRT21首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出24解得gmmmmmmmTgmmmmmmmTgRmmmmmgmmmmma32132212321312113212132121)(24)(24)(2)(2)(2)(2：請注意與教材：請注意與教材P27之例題之例題2.4比較，其有兩處不同。比較，其有兩處不同。其一此處滑輪質量不可忽略，大小不可忽略，所以其一此處滑輪質量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到轉動定律；要用到轉動定律；其二繩與滑輪間無相對滑動，所以，滑輪兩邊之張其二繩與滑輪間無相對滑動，所以，滑輪兩邊之張力不相等。力不相等。

20、回上頁回上頁下一頁下一頁回首頁回首頁首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出25例例3-6N 如圖如圖2.37(a)所示，質量均為所示，質量均為m的兩物體的兩物體A，B. A放在傾角放在傾角為為的光滑斜面上，通過定滑輪由不可伸長的輕繩與的光滑斜面上，通過定滑輪由不可伸長的輕繩與B相連相連.定滑輪是半定滑輪是半徑為徑為R的圓盤，其質量也為的圓盤，其質量也為m.物體運動時，繩與滑輪無相對滑動物體運動時，繩與滑輪無相對滑動.求繩中求繩中張力張力 和和 及物體的加速度及物體的加速度a(輪軸光滑輪軸光滑).1T2T1sinATmgma解物體A，B，定滑輪受力圖見圖2.37(b).對于作平動的物體A，

21、B，分別由牛頓定律得2BmgTma1122,.TTTT又對定滑輪，由轉動定律得21T RT RJ首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出26由于繩不可伸長，所以ABaaR212JmR又聯立式，得12+3sin5Tmg2(1-sin)5ABaag23+2sin5Tmg首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出27例例3-7轉動著的飛輪的轉動慣量為轉動著的飛輪的轉動慣量為J，在，在t0時角速度為時角速度為 .此后飛輪經此后飛輪經歷制動過程，阻力矩歷制動過程，阻力矩M的大小與角速度的大小與角速度的平方成正比，比例系數為的平方成正比，比例系數為k(k為為大于零的常數大于零的常數)，當，當 時，飛

22、輪的角加速度是多少？從開始制動到時，飛輪的角加速度是多少？從開始制動到現在經歷的時間是多少？現在經歷的時間是多少？0013解(1)由題知 ，故由轉動定律有 2Mk 2kJ2kJ 即將 代入，求得這時飛輪的角加速度為013209kJ 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出28(2)為求經歷的時間t，將轉動定律寫成微分方程的形式，即dMJJdt2dkJdt分離變量，并考慮到t0時， ，兩邊積分0001t320kdtJd 013故當 時，制動經歷的時間為02.Jtk首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出29一、剛體的轉動動能一、剛體的轉動動能212JkEikiEiiivm221iiirm

23、2221iiirm22)(21 可見，剛體的轉動動能等于剛體的轉動慣量與角速度可見，剛體的轉動動能等于剛體的轉動慣量與角速度平方乘積的一半。平方乘積的一半。i質點的動能質點的動能 2221122kiiii iEm vm r 整個剛體的動能整個剛體的動能 對對i求和求和下一頁下一頁注意比較注意比較212kEJ轉動動能轉動動能Emvk122平動動能平動動能回上頁回上頁回首頁回首頁3.3剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出30二、力矩的功二、力矩的功 對于對于i 質點其受外力為質點其受外力為 Fi，iiiiiirdFrdFdWvvvcos對對i求和

24、，當整個剛體轉動求和，當整個剛體轉動d ，則力矩的元功則力矩的元功MddMdMdWii)( 式中式中M為作用于剛體上外力矩之和為作用于剛體上外力矩之和-其表明：力矩的其表明：力矩的元功等于力矩與角位移之乘積（元功等于力矩與角位移之乘積（內力矩之和為零）內力矩之和為零） 當剛體轉過有限角時，力矩的功為當剛體轉過有限角時，力矩的功為 21MdWiriFiirddidsimMiidsFdMdrFiii首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出31三、剛體定軸轉動的動能定理：三、剛體定軸轉動的動能定理： 2121()2MdJ 力矩對剛體所做的功，等于剛體轉動動能的增量。力矩對剛體所做的功，等于剛體轉

25、動動能的增量。 2122211122J dJJ dJddtdJdtdtdJMdW首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出32四、剛體的勢能四、剛體的勢能 ciiiPmgygymE其中其中m為剛體的總質為剛體的總質量量, yc為剛體質心的為剛體質心的高度高度質量分布均勻而質量分布均勻而有一定幾何形狀有一定幾何形狀的剛體，質心的的剛體，質心的位置為它的幾何位置為它的幾何中心。中心。OXY miMCCviyCy首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出33五、機械能守恒定律五、機械能守恒定律系統機械能守恒，即系統機械能守恒，即222111222cmvJmghkx 恒量)(或只有保守力作功若內非

26、外 0 AA 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出34例例3-83-8如圖如圖2.392.39所示，一根質量為所示，一根質量為m m，長為，長為l l的均勻細棒的均勻細棒OAOA，可繞固定點，可繞固定點O O在豎直平面內轉動在豎直平面內轉動. .今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成成3030角時中心點角時中心點C C和端點和端點A A的速度的速度. .解棒受力如圖2.39所示，其中重力G對O軸的力矩大小等于 ，是的函數，軸的支持力對O軸的力矩為零.由轉動動能定理，有cos2lmg等式左邊的積分為重力矩的功.即60mgcos

27、d24GllAmg 222600mgcos d2222llllJJJ 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出35則中心點C和端點A的速度分別為1624clvgl將 及 代入式，得4GlAmg213Jml32gl162Avlgl首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出361212122(mm )g2(mm )MMa例例3-9 如圖如圖2.40所示，物體的質量為所示，物體的質量為 ， ，且，且 .圓盤狀定滑圓盤狀定滑輪的質量為輪的質量為 和和 ，半徑為，半徑為 ， ，質量均勻分布，質量均勻分布.繩輕且不可伸長繩輕且不可伸長，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光

28、滑.試求當試求當 下降了下降了x距離時兩物體距離時兩物體的速度和加速度的速度和加速度.1m2m1m2m1M2M2R1R1m解以兩物體、兩滑輪、地球成為一系統， ，故機械能守恒.以 下降x時的位置為重力勢能零點，則有00AA外內非，1m22221221211221111mmm2m vm v2222gxgxg xJJ由于 ，可解得22112211122211M RM R22vRR，J，J12212124 mmgx2 mmMMv由于運動過程中物體所受合力為恒力，a為常數， 2ax，故有2v首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出3721解法二222111111112222222111222112

29、2(1)(2)(3)(4)11(5)22(6)Tm gm am gTm aT RTRJT RT RJJM RJM RaRR聯解以上6個方程得：1212122(mm )g2(mm )MMa因為加速度是一個常數，所以202vax1212124(mm )gx2(mm )MMv首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出38一.質點的角動量質點作勻速圓周運動時質點作勻速圓周運動時 morLcmr 3.4剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律定義定義: 質點相對于質點相對于O點的矢徑點的矢徑 與質點的動量與質點的動量 的矢積的矢積定義為該時刻質點相對于定義為該時

30、刻質點相對于O點的角動量，用點的角動量，用 表示表示 r mLp0rL prL 大小大小: L=rpsin 方向：右螺旋方向：右螺旋單位：單位： kgm2s-1首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出39在直角坐標系中表示在直角坐標系中表示 mrL )()(kpjpipkzj yi xzyx yzxzpypL zxyxpzpL xyzypxpL 當質點作圓周運動時當質點作圓周運動時 Lrm =mr2 morL首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出402.質點的角動量定理質點的角動量定理prL )(prdtddtLd dtpdrpdtrd)( 由牛頓定律由牛頓定律dtpdrFr)( F

31、rmdtLd Fr dtLdM 質點角動量定理質點角動量定理微分形式微分形式 作用在質點上的力矩等于質點角動量對時間的變作用在質點上的力矩等于質點角動量對時間的變化率。稱化率。稱質點質點對固定點的對固定點的角動量定理。角動量定理。 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出4100LLdtMtt 質點角動量定理質點角動量定理積分形式積分形式dtMtt 0叫沖量矩叫沖量矩 力矩對時間的積累作用力矩對時間的積累作用注注: M和和L必須是對同一點而言必須是對同一點而言 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出42二、質點角動量守恒律dtLdM 若若 ,則則 0 M mrL =常矢量常矢量 質點

32、所受外力對某固定點的力矩為零，則質質點所受外力對某固定點的力矩為零，則質點對該固定點的角動量守恒，這就是質點的點對該固定點的角動量守恒，這就是質點的角動角動量守恒定律量守恒定律. 角動量守恒定律是物理學的基本定律之一，它角動量守恒定律是物理學的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系。不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出4301()mmMvv例例3-103-10在光滑的水平桌面上，放有質量為在光滑的水平桌面上，放有質量為M的木塊，的木塊，木塊與一彈簧相連，彈簧的另一端固定在木塊與一彈簧相連，彈簧的另一端固定在O點，彈簧點，彈簧的勁度系數

33、為的勁度系數為k，設有一質量為，設有一質量為m的子彈以初速的子彈以初速 垂直于垂直于OA射向射向M并嵌在木塊內并嵌在木塊內. .彈簧原長彈簧原長 ，子彈擊，子彈擊中木塊后，木塊中木塊后，木塊M運動到運動到B點時刻，彈簧長度變為點時刻，彈簧長度變為l，此時此時OB垂直于垂直于OA，求在，求在B點時，木塊的運動速度點時，木塊的運動速度 . .0v0l2v解解擊中瞬間，在水平擊中瞬間，在水平面內，子彈與木塊組成面內，子彈與木塊組成的系統沿的系統沿 方向動量守方向動量守恒，即有恒，即有0v首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出44在由在由AB的過程中，子彈、木塊系統機械能守恒的過程中，子彈、木塊

34、系統機械能守恒 222120111(mM)(mM)()222k llvv在由在由AB的過程中木塊在水平面內只受指向的過程中木塊在水平面內只受指向O點的點的彈性有心力，故木塊對彈性有心力，故木塊對O點的角動量守恒，設點的角動量守恒，設 與與OB方向成方向成角，則有角，則有2v012(mM)(mM)sinllvv2220202k()m(mM)mMllvv0022200marcsinmk() (mM)llllvv首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出45三三、質點系的角動量定理1.質點系對固定點的角動量定理質點系對固定點的角動量定理iFir0mijifijf對對i質點質點iiiMtprrrrd

35、)d()( ijijiifFr外對對i求和，得求和，得: iijijiiiiiifrFrtL)(dd外0 iijijifrM)(內內 iiiFrM外外稱為稱為質點系所受合外力矩質點系所受合外力矩外外M于是得于是得 iiiiiiprdtdFr外首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出46或或tLMdd 外外iiiiiprLL 作用于質點系的外力矩的矢量和等于質點系角作用于質點系的外力矩的矢量和等于質點系角動量對時間的變化率動量對時間的變化率.這就是質點系對固定點的角動這就是質點系對固定點的角動量定理量定理. 常常矢矢量量，則則若若外外 LM 0 質點系角動量守恒定律質點系角動量守恒定律2.質

36、點系對軸的角動量定理質點系對軸的角動量定理 tLMdd 外ktLkM dd外 tLMzzdd 外質點系對軸的角動量定理質點系對軸的角動量定理首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出47 簡單地簡單地,設質點系內各質點均在各自的轉動平面內設質點系內各質點均在各自的轉動平面內繞同一軸轉動，并設固定轉動軸為繞同一軸轉動，并設固定轉動軸為z軸軸 zzL iipmiir iiiiiizzrpLL sin iiiiirm siniiir 2 i因因有：有：iiiizrmL 2若質點系內所有質點繞軸轉動的角速度若質點系內所有質點繞軸轉動的角速度 相同，則相同，則 )(iiizrmL22iizrmJ 令令

37、dtdLJdtdMzzniiz )(1 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出48四、剛體對軸的角動量守恒定律1.剛體對定軸的角動量定理剛體對定軸的角動量定理 作定軸轉動剛體，其質元角速度作定軸轉動剛體，其質元角速度 相同，因此，相同，因此， dtdLJdtdMzniiz )(1 000)( JJdLdtMLLzttz 定軸轉動剛體的角動量的增量等于合外定軸轉動剛體的角動量的增量等于合外力矩對沖量矩。力矩對沖量矩。2.定軸轉動的角動量守恒定軸轉動的角動量守恒0 izM若若則則 L=J = 恒量恒量 外力對某軸的力矩之和為零，則該物外力對某軸的力矩之和為零，則該物體對同一軸的角動量守恒體對

38、同一軸的角動量守恒.首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出49 剛體組繞同一軸轉動時的角動量守恒剛體組繞同一軸轉動時的角動量守恒 總角動量總角動量 L= J1 1 +J2 2 += 常量常量 角動量守恒定律的兩種情況：角動量守恒定律的兩種情況：(1) 轉動慣量保持不變的剛體轉動慣量保持不變的剛體00,0 則時，當JJM例：回轉儀例：回轉儀(2) 轉動慣量可變的物體轉動慣量可變的物體當當J增大時，增大時， 就減小就減小 當當J減小時，減小時， 就增大就增大 而而 保持不變保持不變 J例：旋轉的舞蹈演員例：旋轉的舞蹈演員J1 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出50物體組內各質點以相同角速物體組內各質點以相同角速度度繞同一軸轉動繞同一軸轉動時的角動量時的角動量守恒守恒 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出51D:D:實際中的一些現象實際中的一些現象開始不旋轉的物體，當其一部分旋轉開始不旋轉的物體，當其一部分旋轉時，必引起另一部分朝另一反方向旋轉。時，必引起另一部分朝另一反方向旋轉。藝術美、人體美、物理美相互結合藝術美、人體美、物理美相互結合高！高！高！高！芭蕾舞演員的高難動作芭蕾舞演員的高難動作首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁退退 出出5