1、量子計算 序言序言 量子力學基礎量子力學基礎 量子計算量子計算v 量子力學對已知世界的描述是精確和完整量子力學對已知世界的描述是精確和完整的，也是理解量子計算與量子信息的基礎的，也是理解量子計算與量子信息的基礎。光子光子偏振實驗偏振實驗狄拉克表示法狄拉克表示法線性算子線性算子線性線性量子力學基礎量子力學基礎1-11-1光子的光子的偏振偏振q 基本實驗原理基本實驗原理 光子是我們可以直接觀測到的唯一的微觀粒子。下面我們將通過解釋光子及其偏振的簡單實驗說明量子力學的某些原理。試驗所需的裝置有：一個強光源，投影屏和偏振片。偏振片起“過濾”作用，即水平偏振片通過的是偏振方向是水平方向的光子，而濾掉了那

2、些非水平偏振方向的光子；垂直偏振片濾掉了那些非垂直偏振方向的光子。如果把垂直偏振片插入到水平偏振片和投影屏之間，可見到垂直偏振片的出射光的光強為零。假設入射光的偏振方向是隨機的。1-1-1偏振實驗偏振實驗光子是我們可以直接觀測到的唯一的微觀粒子。下面我們將通過解釋光子及其偏振的簡單實驗說明量子力學的某些原理。試驗所需的裝置有：一個強光源，如一臺激光光源，三個偏振片A、B和C，其偏振方向分別是水平45和垂直。如圖1所示，將一束光照射到投影屏上，假設入射光的偏振方向是隨機的。首先在光源和投影屏之間插入水平偏振片，可以看到透過A后的出射光光強只有其入射光光強的一半，而且射出的光子現在都變成了水平偏振

3、。 圖1 實驗 1實驗可見偏振片A過濾掉了那些非水平偏振方向的光子，通過的是偏振方向是水平方向的光子。由于偏振片A的入射光的偏振方向是隨機的，所以入射光中偏振方向是水平方向的光子數目極少，如果偏振片A起過濾作用，則出射光的光強應該非常弱，實際上不會是入射光的光強的一半。現將垂直偏振片C插入到偏振片A和投影屏之間，如圖2所示，可見到垂直偏振片C的出射光的光強為零。“過濾”可以解釋這一現象，因為沒有偏振方向為水平方向的光子能夠通過偏振方向為垂直的偏振片。 圖2 實驗 2最后，我們在A和C間插入偏振方向為45的偏振片B，如圖3所示，可看到投影屏上的一些微弱的光，它的光強正好是光源光強的1/8。 圖3

4、 實驗 32.1.2 實驗解釋實驗解釋如果我們使用兩個基向量 |和|分別表示垂直偏振方向和水平偏振方向，那么任意一個隨機的偏振方向都可以用這兩個基向量的線性組合形式表示： a | + b | (1.1)其中，a和b表示復數，而且 + =1。在量子力學中，兩個基向量 |和|被稱作本征態。我們感興趣的是光子的偏振方向，所以可以把一個光子的偏振狀態表示為上述形式。實際上，任意兩個相互正交的非零單位向量都可以作為狀態空間的基。對量子狀態的測量要求把該狀態分別投影到其對應的正交基上，如圖4所示。對量子狀態的測量要求把該狀態分別投影到其對應的正交基上，如圖4所示。 圖4 投影在基上的量子態的測量對該狀態進

5、行測量的時候，觀測到狀態|的概率為 ，而觀測到狀態|的概率為 。由于測測量在相互正交的基上進行的，所以若不特別說明的話，所有的基均指的是正交的。另外，對量子態的測量還將使被測量的量子態改變為測量結果所表示的態。也就是說，如果我們對量子態 | = a | + b |進行測量所得的結果是|，那么量子態|就變成了 |，如果再用相同的基進行測量，測量結果一定還是態|。由此可見，除非被測量的量子態是被測力學量的一個本征態，否則任何測量都會改變量子態，而且不能由改變后的量子態推知原來的量子態。現在我們用上述量子力學原理解釋前面的偏振試驗。插入偏振片可以看成是對光子的量子態進行一次測量。在測量的兩個正交基中

6、，一個與偏振片的偏振方向相同，而另一個與偏振片的偏振方向垂直。該測量將改變光子的偏振方向。只有那些測量后的偏振方向與偏振片的偏振方向一致的光子才能通過偏振片，而其它光子被偏振片反射回去了。例如，偏振片A用基|來測量光子的量子態，那么有的光子的量子態在測量后變成了|，有的光子的量子態在測量后變成了|，只有偏振方向為|的光子才能通過偏振片A，而所有偏振方向為|的光子則全被反射回去了。假設光源產生的光子的偏振方向是隨機的，各種偏振方向的光子出現的概率相同，那么這些光子的量子態經過偏振片A后，光子狀態被偏振片A、B和C改變的概率為50。所以，偏振方向變為水平方向的光子占所有光子的50，這些光子的量子態

7、為|，它們通過偏振片A。而偏振片C用基|來對量子態為|的光子進行測量，光子狀態改變的概率為0，其量子態仍然保持|。所以沒有任何光子通過偏振片C，從而偏振片C的出射光強為0。在A和C間插入偏振片B時，由于偏振片B的正交基可以表示為： (| + | ), (| | ) （1.2）我們把它們寫為：| ,| 。量子態為| 的光子將通過偏振片B。因此，通過偏振片A后量子態為| 的光子被偏振片B測量，光子狀態改變的概率為50，其中有50的光子狀態變成| ，也就是說通過偏振片A的光子中有50可以通過偏振片B。同樣，通過偏振片B的光子被偏振片C測量后，其中有50的光子狀態變成 |。所以，能夠通過偏振片A、B和

8、C，最終到達投影屏的光子數量是光源產生的光子數量的1/8。因此投影屏的光強是光源的1/8。從這個實驗中我們可以看到，量子態可以是本征態，也可以是疊加態。若將通過偏振片看作測量，你就會發現，量子態經過測量會發生狀態塌縮，由最初的狀態塌縮到測量給出的狀態上。2121q態的疊加態的疊加 如果我們使用兩個基向量|和|分別表示垂直偏振方向和水平偏振方向，那么任意一個隨機的偏振方向(任意一個態) 都可以用這兩個基向量的線性組合形式表示： a | + b | (2.1) 其中，a和b表示復數，而且 |a| + |b| =1。在量子力學中，兩個基向量 | 和 | 被稱作本征態。 我們感興趣的是光子的偏振方向,

9、 所以可以把一個光子的偏振狀態表示為上述形式。實際上，任意兩個相互正交的非零單位向量都可以作為狀態空間的基。22基態測量基態測量 對量子狀態的測量要求把該狀態分別投影到其對應的正交基(本征態)上，如圖1所示。 圖 1 投影在基上的量子態的測量 對該狀態進行測量的時候，觀測到狀態|的概率為|a| ，而觀測到狀態|的概率為|b| 。 22 由于測量在相互正交的基上進行的，所以若不特別說明的話，所有的基均指的是正交的。 另外，對量子態的測量還將使被測量的量子態改變為測量結果所表示的態。也就是說，如果我們對量子態 | = a | + b |進行測量所得的結果是|， 那么量子態|就變成了 |，如果再用相

10、同的基進 行測量，測量結果一定還是態|。 從這個實驗中我們可以看到，量子態可以是本征態，也可以是疊加態。若將通過偏振片看作測量，你就會發現，量子態經過測量會發生狀態塌縮，由最初的狀態塌縮到測量給出的狀態上。1-2 狀態空間和狀態空間和狄拉克表示法狄拉克表示法 一個量子系統的狀態空間由各種粒子的位置、動量、偏振、自旋等組成，并且隨時間的演化過程遵循 Schrdinger 方程，而它的狀態空間可以用波函數的Hilbert空間來描述。對于量子計算，我們不必考慮這些波函數的細節。只需涉及有限的量子系統和考慮由抽象波函數如|張成的，具有內積的有限維復向量空間。 量子力學系統由Hilbert空間的向量表示

11、，表示量子態的向量稱為狀態向量。1-2-1 狄拉克符號狄拉克符號 一般量子狀態空間和作用在其上的變換可以使用向量、矩陣來描述，而物理學家狄拉克提出了一套更為簡潔的符號 (bra/ket) 表示狀態向量。使用稱為右矢(ket)的符號| x表示量子態，使用稱為左矢(bra)的符號共軛轉置。 例如， 一個二維復向量空間的正交基可以表示為|0,|1。任意向量 都可以表示為|0和|1的線性組合a|0 + b|1。T TTba ),(T1-2-2 內積和外積表示內積和外積表示 兩個向量 |x 和 |y 的內積記為 。例如，對于基|0,|1有 =1，=0。 兩個向量 |x 和|y 的外積記為 |x ,|1

12、，由于 | 0 = | 0 | 0 = 因此，|0對轉換為|0，對而將 |0轉換 的變換。00T)0 , 0(例子例子01 如果令|0 = ，|1 = ，那么有 0 | = (1,0), 和| 1的變換。 T)0,1(T)1 ,0(00011-3 1-3 線性算子線性算子 算子是向量空間的一個重要概念。在量子力學中出現的算子大多為線性算子。一些重要算子的概念定義1 設V 為向量空間，A 為函數，A：VV。A稱為V上的的線性算子當且僅當下式成立 在復向量空間中，一個線性算子A 可被寫為如下nn的矩陣 A |注：線性算子一般滿足可加性和連續性，只滿足前者為加法算子。|)(|)(|)|(AAAAAA

13、jiijjia,|其它算子定義*)(TAA AA IAAAA|定義2 算子 稱為A 的伴隨算子。定義3 如果算子A 滿足 ，則A 稱為厄米(Hermitian)算子。 定義4 如果算子A 滿足 ，則A 稱為酉算子。 將一個酉算子作用于一個向量空間的全部向量，對其中任意向量 ，得到一個新向量 ，這一操作稱為向量的酉變換。酉變換不改變向量的模，也不改變兩向量的內積，因此不改變其正交關系。定義5 投影算子(projector) 在空間中取一組標準正交基 ，投影算子 ，作用到 上得到 ，這是基 乘以向量 在 上的分量 ，實際上這是 在 上的投影。 稱為投向 子空間的投影算子 。| i|iiPi|iP|

14、 ii i | i | i| i |iP i |1-4 Schrdinger方程方程封閉量子系統的演化由Schrdinger方程描述。該方程是量子系統狀態演化的基本規律，也是量子計算所遵循的基本規律。當量子系統沒有測量的時候，系統遵循這基本規律進行持續的。 （1.3）其中Plank常數 ，實際應用中取 。H 是Hamiltonian算子，該算子與特定的物理系統的結構有關，也就是說它的具體的形式(或近似形式)由描述這系統的物理原理確定。如果我們已知這系統在時間 t = 0 某一初態 ，我們可以定義一個算子 U(t)，使得 (1.4)于是得到算子方程 (1.5) 方程的解為 (1.6)|Hti00

15、| )(| )(tUtitHU| )0(U)()(tUtitHU0)(!1)(nnnniHtHtinetU 量子計算機基本信息表示量子計算機基本信息表示 量子門量子門 量子并行性量子并行性量子計算量子計算2-1 量子計算機基本信息表示量子計算機基本信息表示 如果我們把數據送入計算機處理，就必須把數據表示成計算機能夠識別的形式。在經典的計算機中，信息單元用二進制的1個位來表示，它不是處于0態就是處于1態。在二進制量子計算機中，信息單位稱為量子位(Qubit)，它除了處于0態或 1態外，還可處于疊加態。這是兩者重要區別之一。 n個量子位的有序集合稱為n位量子寄存器。它的態是n個量子位態的張量積（即

16、直積）。 2-1-1 2-1-1 量子位量子位 一個量子位是定義在二維復向量空間的一個單位向量。該空間 由一對特定的標準正交基 | 0， | 1 張成。這兩個基可以分別對應光子的偏振方向 |和|，或偏振方向| 和 | ，也可對應電子的自旋向上(spin-up)和自旋向下(spin-down)狀態。 取基態(本征態) | 0 和 | 1 對應經典的位 0 和 1 進行編碼。量子位可以處在| 0 和 | 1的疊加態 a|0 + b|1。讀取包含在量子位的信息只有通過測量得到。 當測量一個量子位(都對應的基 )時，量子位的疊加態就會變成它的一個本征態。因此測量的結果一定是此次測量相應的兩個基中的一個

17、 。 測量會改變量子位的狀態，因此不能用不同的基測量同一態。 在量子計算機系統中，表示計算機狀態的寄存器稱為量子寄存器。它不同與經典計算機的寄存器。首先所有的計算數據全部保存在量子寄存器中，執行計算的時候，量子變換作用在這個量子寄存器上，完成的結果仍然保存在這個量子寄存器中。 經典存儲器(n位)和量子寄存器，若它們能表示2 個狀態，但在某一時刻，前者只能保存2 態中的一個，后者卻能保存這2 個狀態。 如果量子寄存器中保存 2 個狀態，并且是一個疊加態。在沒有對它進行測量時，它以不同的概率處于這些基本狀態中，但是一旦對量子寄存器進行測量，它的狀態就會發生塌縮，變成了這2 個狀態中的一個。注： n

18、個量子位（量子比特）的有序集合稱為量子寄存器。它的態是n個量子位的張量積（直積）。nnnnn量子寄存器2-2 2-2 量子門量子門 到目前為止，我們看到的僅僅是在測量時狀態才會改變的靜態量子系統。而一個量子系統的動態特性在其未被測量前要滿足 Schrdinger 方程，動態過程必須保證正交的方法從一個狀態轉換到另一狀態，在復向量空間上保持正交的線性變換是酉變換。 在復向量空間上的任何線性變換都可以用一個矩陣來描述。設 是矩陣M的共軛轉置矩陣，若 ，則 M 是一個酉變換。一個量子態空間上的任何酉變換都是合法的量子變換，反之亦然。酉變換的一個重要特點就是這些變換都是可逆的，因此量子變換也必須是可逆的