1、1.7定積分的簡單應用定積分的簡單應用定積分在幾何中的應用定積分在幾何中的應用 幾種典型的平面圖形面積的計算：幾種典型的平面圖形面積的計算：類型類型1.1.求由一條曲線求由一條曲線y=f(x)y=f(x)和直線和直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x軸所圍成平面圖形的面積軸所圍成平面圖形的面積S SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(| )3(badxxfS)( ) 1 (badxxfS)( )2(2)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab練習練習. . 求拋物線求拋物線y=xy=x2 2-1-1，直線，直線x=2x=2

2、，y=0y=0所圍成的所圍成的 圖形的面積。圖形的面積。y解：解：如圖：由如圖：由x x2 2-1=0-1=0得到拋物線與得到拋物線與x x軸軸的交點坐標是的交點坐標是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面積所求面積如圖陰影所示：如圖陰影所示：所以：所以：112212) 1() 1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解類型類型2 2：由兩條曲線由兩條曲線y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直線，直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所圍成平面圖形的面積

3、所圍成平面圖形的面積S Syxoba)(xfy )(xgy (2)(xfy )(xgy (1) baf xg xdx注：例例1 1. . 計計 算算 由由 兩兩 條條 拋拋 物物 線線xy 2和和2xy 圍圍 成成 圖圖 形形 的的 面面 積積 . . 解解: :作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的圖象如圖所示的圖象如圖所示: :即兩曲線的交點為即兩曲線的交點為(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)1 12 20 0S =( x -x )dxS =( x -x )dx323102()|33xx.31 邊邊曲梯形OABC曲梯形OABDS= S-Soxy2yx2yx2xy y

4、xABCDO11200 xdxx dx11002yxyxxyxy或解方程組 兩曲線圍成的平面圖形的面積的計算兩曲線圍成的平面圖形的面積的計算求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟: :(1)(1)作出示意圖作出示意圖;(;(弄清相對位置關系弄清相對位置關系) )(2)(2)求交點坐標求交點坐標;(;(確定積分的上限確定積分的上限, ,下限下限) )(3)(3)確定積分變量及被積函數確定積分變量及被積函數; ;(4)(4)列式求解列式求解. .2:,4yxyxx=8y=4解方程組得直線直線y=x-4與與x軸交點為軸交點為(4,0)88042(4)xdxxdx

5、4881204422(4)SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282042 2140|(4 )|323xxx2yx4 xy解解:作出作出y=x-4, 的圖象的圖象如圖所示如圖所示:2yxS1S280124 (84)2sxdx 38202 2|83x2 24016 2 833 4201(4)2syy dy234011(4)|26yyy2311404 444263 解解1 求兩曲線的交點求兩曲線的交點:).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy8281202222( 24)SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822024 22 2

6、1166426|(4 )|18332333xxxx28022 2( 24)xdxxxdx2解解:求兩曲線的交點求兩曲線的交點:(0,0),( 2,4),(3,9). 236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6 )xAxx dx2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：說明：注意各積分區間上被積函數的形式注意各積分區間上被積函數的形式2xy xxy63 1A2A定積分在物理中的應用定積分在物理中的應用Oab( )vv ttv設做變速直線運動的物體運動的速度設做變速直線運動的物體運動的速度v=v

7、(t)v=v(t)0，則此物體在時間區間則此物體在時間區間a, ba, b內運動的距離內運動的距離s s為為( )basv t dt1、變速直線運動的路程、變速直線運動的路程:1.73.1min.例一輛汽車的速度時間曲線如圖所示求汽車在這行駛的路程o102030405060102030CBAs/ ts/m/v37.1圖圖o102030405060102030CBAs/ ts/m/v37. 1圖圖:時間曲線可知由速度解.60t40,90t5. 1;40t10,30;10t0, t3 tv:min1程是行駛的路因此汽車在這dt90t5.1dt30tdt3S60404010100 .m1350t90

8、t43t30t236040240101002.m1350min1行駛的路程是汽車在這答 法二：由定積分的幾何意義，直觀的可以得出路程即為如圖所示的梯形的面積，即30 6030 13502s2.變力做功.FsWF),m:(sF,N:F所作的功為則力單位相同的方向移動了果物體沿著與力如的作用下做直線運動單位一物體在恒力變力所做的功：變力所做的功：物體在變力（物體在變力（x x）的作用下做直線運動，并）的作用下做直線運動，并且物體沿著與（且物體沿著與（x x）相同的方向從）相同的方向從x=ax=a移動到移動到x=bx=b（abab），那么變力（），那么變力（x x）所作的功）所作的功( )baWF x dxOab( )yF xxFlQF47.1圖圖11.74,.lm例 ： 如圖在彈性限度內 將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置處 求彈力所作的功 .k,kxxF,xxF)(,是比例系數數其中常即成正比的長度或壓縮