1、第七章第七章 向量代數與向量代數與空間解析幾何空間解析幾何第二節第二節 點的坐標與向量的坐標點的坐標與向量的坐標笛卡爾笛卡爾 出生：出生：1596年年3月月31日日（法國法國安德安德爾爾-盧瓦爾盧瓦爾）逝世：）逝世：1650年年2月月11日日（瑞典瑞典斯德哥爾摩斯德哥爾摩） 一個眾一個眾“家家”纏身的法國名人：著名哲學纏身的法國名人：著名哲學家、物理學家、數學家、生理學家家、物理學家、數學家、生理學家在在西方的思想體系里，很少人能跟笛卡爾擁西方的思想體系里，很少人能跟笛卡爾擁有同樣的影響力。他的有同樣的影響力。他的方法論方法論起著革起著革命性的作用，時至今日仍作為現代哲學的命性的作用，時至今日

2、仍作為現代哲學的支柱之一。支柱之一。 笛卡兒對數學最重要的貢獻是創立了笛卡兒對數學最重要的貢獻是創立了解析解析幾何幾何。笛卡兒成功地將當時完全分開的。笛卡兒成功地將當時完全分開的代代數數和和幾何學幾何學聯系到了一起。在他的著作聯系到了一起。在他的著作幾何幾何中，笛卡兒向世人證明，幾何問中，笛卡兒向世人證明，幾何問題可以歸結成代數問題，也可以通過代數題可以歸結成代數問題，也可以通過代數轉換來發現、證明幾何性質。轉換來發現、證明幾何性質。 笛卡兒引入了笛卡兒引入了坐標系坐標系以及線段的運算概念。以及線段的運算概念。笛卡兒在數學上的成就為后人在笛卡兒在數學上的成就為后人在微積分微積分上上的工作提供了

3、堅實的基礎，而后者又是現的工作提供了堅實的基礎，而后者又是現代數學的重要基石。代數學的重要基石。 現在使用的許多數學符號都是笛卡兒最先現在使用的許多數學符號都是笛卡兒最先使用的，這包括了已知數使用的，這包括了已知數a, b, c以及未知數以及未知數x, y, z等，還有等，還有指數指數的表示方法。他還發現的表示方法。他還發現了了凸多面體凸多面體邊、頂點、面之間的關系，后邊、頂點、面之間的關系，后人稱為人稱為歐拉歐拉-笛卡兒公式笛卡兒公式。還有微積分中常。還有微積分中常見的見的笛卡兒葉形線笛卡兒葉形線也是他發現的。也是他發現的。 笛卡兒近代科學的始祖。笛卡兒是歐洲笛卡兒近代科學的始祖。笛卡兒是歐

4、洲近代哲學的奠基人之一，黑格爾稱他為近代哲學的奠基人之一，黑格爾稱他為“現代哲學之父現代哲學之父”。他自成體系，熔唯物。他自成體系，熔唯物主義與唯心主義于一爐，在哲學史上產生主義與唯心主義于一爐，在哲學史上產生了深遠的影響。同時，他又是一位勇于探了深遠的影響。同時，他又是一位勇于探索的科學家，他所建立的解析幾何在數學索的科學家，他所建立的解析幾何在數學史上具有劃時代的意義。笛卡兒堪稱史上具有劃時代的意義。笛卡兒堪稱17世世紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一，被譽為之一，被譽為“近代科學的始祖近代科學的始祖”。第二節第二節 點的坐標與向量的坐標點的坐標與

5、向量的坐標 一一 空間直角坐標系空間直角坐標系 二二 空間兩點間的距離空間兩點間的距離 三三 利用坐標作向量的線性運算利用坐標作向量的線性運算 四四 向量的方向角與方向余弦的坐標表示式向量的方向角與方向余弦的坐標表示式 五五 向量在軸上的投影與投影定理向量在軸上的投影與投影定理 六六 小結小結x橫軸橫軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標系空間直角坐標系在空間中取一點在空間中取一點O和三個和三個兩兩垂直的單位向量兩兩垂直的單位向量i,j,k,就確定了三條都以就確定了三條都以O為原為原點的兩兩垂直的數軸，依點的兩兩垂直的數軸，依次記為次記為x軸（橫軸），軸（橫軸），y軸軸（縱軸），（縱軸），z軸（

6、豎軸），軸（豎軸），統稱為坐標軸，它們組成統稱為坐標軸，它們組成一個空間直角坐標系，一個空間直角坐標系，稱為稱為Oxyz坐標系。坐標系。一、空間直角坐標系y縱軸縱軸ijkx橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標系空間直角坐標系 三個坐標軸的正方向三個坐標軸的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當右手的四個手指當右手的四個手指從正向從正向x軸以軸以2 角角度轉向正向度轉向正向y軸軸時，大拇指的指向時，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.右手系：xyz 坐標原點：坐標原點：0 坐標軸：坐標軸：x軸，軸，y軸，軸，z軸軸x軸軸(橫軸橫軸)y軸軸(縱軸縱軸)

7、z 軸軸(豎軸豎軸)o 坐標面：三條坐標軸的任意兩條可以確定一個坐標面：三條坐標軸的任意兩條可以確定一個平面，這樣的平面稱為坐標面。平面，這樣的平面稱為坐標面。面xoy面yozzox面面三個坐標面，把三個坐標面，把空間分成八個部空間分成八個部分，每一個部分分，每一個部分叫做卦限。叫做卦限。八個卦限八個卦限zyx0MxyNz(x,y,z)M (x,y,z)點的坐標點的坐標. 1. 任給向量 ，對應有點M使 ，以OM為對角線，三條坐標軸為棱作出長方體RHMK-OPNQ ,如圖OPQNKRMHxyzrOM rrP，Q，R分別稱為點分別稱為點M在在x軸，軸，y軸，軸，z軸上的投影點。軸上的投影點。試用

8、向量試用向量OP,OQ,OR表示向量表示向量OMkzjyixOMr,kzOR, jyOQ, ixOPOROQOPNMPNOPOMr 則則設設有有這樣，給定向量這樣，給定向量r，就確定了點，就確定了點 及及 三個向量，進而確定了三個向量，進而確定了x、y、z三個有序數；反三個有序數；反之，給定三個有序數之，給定三個有序數x、y、z，也就確定了向量，也就確定了向量r和點和點M.于是點于是點M、向量、向量r與三個有序數與三個有序數x、y、z之之間有一一對應關系間有一一對應關系OROQOP、).,(zyxkzjyixOMrM M),(zyxrOxyzrzyx 中中的的坐坐標標，記記作作在在坐坐標標系系

9、稱稱為為向向量量、有有序序數數),(zyxMOxyzMzyx中中的的坐坐標標，記記作作在在坐坐標標系系稱稱為為點點、有有序序數數右邊稱為向量的坐標式右邊稱為向量的坐標式的坐標分解式，的坐標分解式，上式左邊稱為向量上式左邊稱為向量即即則可寫為則可寫為若若rzyxkzjyixzyxrkzjyixr),(),( 綜上，就形成了向量的坐標表示。綜上，就形成了向量的坐標表示。向量的坐標表示在空間直角坐標系下在空間直角坐標系下,設點設點 M , ),(zyxM則則沿三個沿三個坐標軸方向的分向量坐標軸方向的分向量.kzjyixr ),(zyx xoyzMNBCijkA,軸上的單位向量軸上的單位向量分別表示分

10、別表示以以zyxkji的坐標為的坐標為此式稱為向量此式稱為向量 r 的的坐標分解式坐標分解式 ,rkzjyix稱為向量稱為向量,r任意向量任意向量 r 可用向徑可用向徑 OM 表示表示.NMONOM OCOBOA , ixOA , jyOB kzOC 又稱：點M關于原點O的向徑 向徑： 空間直角坐標系中任一點 M與原點構成的向量 . 一個點與該點的向徑有相同的坐標。記號 既表示點M又表示向量 。OMOMOM),(zyxOM分分向向量量。上上的的稱稱為為向向量量在在三三個個坐坐標標軸軸向向量量分分量量，上上的的稱稱為為向向量量在在三三個個坐坐標標軸軸坐坐標標kzjyixzyx,。記：記：空間的點

11、空間的點有序數組有序數組),(zyx 11特殊點的表示特殊點的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標軸上的點坐標軸上的點,P,Q,R坐標面上的點坐標面上的點,A,B,C 坐標面上和坐標軸上的點，坐標面上和坐標軸上的點， 其坐標各有一定的特征。其坐標各有一定的特征。例如 如果點M在yoz面上，則x=0;同樣，在zox面上的點，y=0; 在xoy面上的點，z=0.如果點M在x軸上,則y=z=0,同樣，在y軸上的點，有z=x=0,在z軸上的點，有x=y=0.如點M為原點，則

12、x=y=z=0.坐標軸坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面坐標面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzox0zyM點的對稱點點的對稱點關于關于xoy面面:(x,y,z) (x,y,-z)關于關于x軸軸:(x,y,z) (x,-y,-z)Q0關于原點關于原點:(x,y,z) (-x,-y,-z).M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)思考題思考題在空間直角坐標系中，指出下列各在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？點在哪個卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 ,

13、 3, 2( D思考題解答思考題解答A:; B:; C:; D:;思考題1 書上P11練習題 在空間直角坐標系中點 關于原點的對稱點是( ).)2, 3 , 1(A) (B) (C) (D) )2 , 3 , 1()2 , 3 , 1 ()2, 3, 1 ()2 , 3, 1 ( D向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kaja

14、iazyx 二二 利用坐標作向量的線性運算利用坐標作向量的線性運算 若 ，則 0a zyxzyxbbbbaaaa, zzyyxxbabababa , zyxaaaa , 定理：設向量定理：設向量 ，則向量，則向量 平行于平行于 的充要的充要條件是存在唯一的條件是存在唯一的 ，使，使 。ba ab 坐標表示為式坐標表示為式即相當于對應的坐標成比例。即相當于對應的坐標成比例。),(),(zyxzyxaaabbb zzyyxxababab 即：即：解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 設設),(zyxM為直線上的點，為直線上的點，ABMxyzo由題意知：由題意知：MBAM ,111

15、zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點點.M為中點時，為中點時，,221xxx ,221yyy .221zzz 思考題思考題2 書上書上P13 設設),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 三、空間兩點間的距離,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 2222

16、1NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M0zyx0NM點到坐標面的距離點到坐標面的距離M點到原點的距離點到原點的距離M點到坐標軸的距離點到坐標軸的距離PQ到到z軸軸:221yxd 到到x軸軸:到到y軸軸:222yzd 223zxd M(x,y,z)d1d2d3.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222

17、32MM,13MM 原結論成立原結論成立.解解設設P點坐標為點坐標為),0 , 0 ,(x因為因為P在在x軸上，軸上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 練習題練習題思考題思考題3 書上書上P14 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 四、向量的方向角與方向余弦的坐標表 示式xyzo 1M 2M 由圖分析可知

18、由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa當當 時，時，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式 cos|aax cos|aay cos|aaz 1coscoscos222 方向余弦的特征（顯然成立）方向余弦的特征（顯然成立）ae|a|a .cos,cos

19、,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為解解設向量設向量21PP的方向角為的方向角為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 ,21cos ,21cos ,22cos .32,3 設設2P的坐標為的坐標為),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐標為的坐標為).2 , 2, 2()4 , 2, 2(或或21 )3,1(21 zyxPP則則思考題思考題4書上書上P16空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u AA 過過點點A作作軸軸u的的

20、垂垂直直平平面面，交交點點A 即即為為點點A在在軸軸u上上的的投投影影.五、向量的投影與投影定理空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB ABjuPr.BA 向量向量AB在軸在軸u上的投影記為上的投影記為關于向量的關于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 證證uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 向量在軸上（或向量）的投影，與軸上所對應的向向量在軸上（或向量）的投影，與軸上所對應的向量有沒有關系？量有沒有關系？思

21、考思考定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負；投影為負；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 OM OMOAOA,OAOMPrjOAa 例8 設立方體的一條對角線為，一條棱為，且求在方向上的投影OMMOA= ,1cos3PrjOAcos.3OAOMaOA 解記則則OAM 思考題思考題5 P171、空間直角坐標系、空間直角坐標系 2、空間兩點間距離公式、空間兩點間距離公式（注意它與平面直角坐標系的（注意它與平面直角坐標系的區別區別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦限）六、小結 21221

22、221221zzyyxxMM 3、利用坐標作向量的線性運算4、向量的方向角與方向余弦5、向量在軸上的投影 1 1、下列各點所在卦限分別是：、下列各點所在卦限分別是： _;1,3,2d_4,3, 2c_4,3,2b_3,2- ,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 ；軸軸的的對對稱稱點點是是，關關于于軸軸的的對對稱稱點點是是，關關于于的的對對稱稱點點是是軸軸，關關于于的的對對稱稱點點是是關關于于平平面面的的對對稱稱點點是是，關關于于平平面面的的對對稱稱點點是是關關于于平平面面、點點_,_)1,2,3(2zyxzoxyozxoyp 一、填空題一、填空題練習題練習題3、點、點)5,3,4( A在在x

23、oy平面上的射影點為平面上的射影點為_ _, ,在在yoz面上的射影點為面上的射影點為_，在，在 zox軸上的射影點為軸上的射影點為_，在，在軸上軸上x的射影的射影 點為點為_，在，在軸上軸上x的射影點為的射影點為_，在，在 軸上軸上z的射影點為的射影點為_ ; ;4、已知空間直角坐標系下，立方體的、已知空間直角坐標系下，立方體的 4 個頂點為個頂點為 ),(aaaA ，),(aaaB ，),(aaaC 和和 ),(aaaD，則其余頂點分別為，則其余頂點分別為_，_ _，_，_ ; ;5、已知三角形的三個頂點、已知三角形的三個頂點)4 ,1,2( A，)6,2,3( B， )2,0,5( C則則（1）過）過A點的中線長為點的中線長為_;（2） 過） 過點的點的B中線長為中線長為_； （3