1、2022-4-281一、正態分布的定義一、正態分布的定義二、正態分布的數字特征二、正態分布的數字特征三、正態分布性質三、正態分布性質四、中心極限定理四、中心極限定理第四章第四章 正正 態態 分分 布布基本內容：基本內容：2022-4-282正態分布是最重要的概率分布正態分布是最重要的概率分布( (原因原因) )：(1) 很多隨機現象可用正態分布描述或近似描述很多隨機現象可用正態分布描述或近似描述, ,例如測量誤差、學生成績，人的身高、體重等例如測量誤差、學生成績，人的身高、體重等大量隨機現象可以用正態分布描述大量隨機現象可以用正態分布描述.(2)(2)一般地一般地, ,大量獨立隨機變量的和近似

2、地服從大量獨立隨機變量的和近似地服從正態分布正態分布.(.(中心極限定理中心極限定理) )(3)(3)某些常用分布某些常用分布( (如卡方分布如卡方分布, ,t分布分布, ,F分布等分布等) )是由正態分布推導得到的是由正態分布推導得到的. .2022-4-283,x,exf2x2)(221)().,(2NX, 0為常數其中一、正態分布的定義一、正態分布的定義定義. 設隨機變量X的概率密度為則稱X服從正態分布正態分布記作1. 正態分布正態分布 ( Normal distribution )或高斯分布高斯分布 ),2022-4-2842. 標準正態分布標準正態分布為標準正態分布標準正態分布,1,

3、 0時當,NX1)(0,特別地,.x,exx2221)(oxy.dtexxt2221)(且其分布函數：x)(x則稱N(0,1)其概率密度為2022-4-285：)的性質)的性質( (標準正態分布函數標準正態分布函數x).(1xoxy)(xxx)0() 1 (;21)()2(dxex2221, 1)( x(3)( )x分布函數不是初等函數,但它是一個應用非常廣泛( ),x的重要分布,一般都將的函數值編成表 見書本末20( )xx的附錄 ,該表給出了時的數值.2022-4-2861(0,1),1)(0.2); 2)(1.5)NPP例 已知求:1)(0.2)P解( 0.20.2)P(0.2)( 0.

4、2) (0.2)(1(0.2) 2 (0.2) 1 2 0.5793 10.15862)(1.5)P1(1.5)P 12 (1.5) 1 21(1.5)0.13362022-4-287u01234567890.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.617

5、90.62170.62550.62930.63310.63860.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77030.77340.77640.77940.782

6、30.78520.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.83891.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.86211.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.88301.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.

7、89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.93191.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.94411.60.94520.94360.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.958

8、20.95910.95990.96080.96160.96250.96332022-4-288),(2NX若0)()(aabaNbaXY2.)( ,證：證：Y的分布函數為)()(yYPyFY當a0，有)(yFY上式兩邊關于y求導，得,21)(2)(222abayea性質性質1)(ybaXP)(abyXP)(abyFX則)(yfY)(1abyfaX( (線性性線性性) )(2) 當a0，有)(yFY)(1abyFX)(1abyXP()ybP Xa.)(21)(2)(222abayea)(yfY)(1abyfaX2022-4-289特別地，標準化的隨機變量則得將若X),(NX2-XX*).1, 0

9、( N則則),(2NX設).()(12xx)(21xXxP)(21xXxP)(xXP)(xXP)(x)(xXP)(1xXP)(1x)(1xXP2022-4-2810設X表示“考生考試成績”，,分440,分10問總分應是多少算上線？, ,10101 1解：解：),10,440(2NX且總分上線應為 x 分. 由題意知101)( xXP1 . 0)10440(x經查表,28. 110440 x考試成績呈正態分布,例例3 3.某省高考人數是35000人,)(xXP)(1xXP計劃招生3500人,占考生人數的)10440(1x, 9 . 0分.8 .452x2022-4-281101.1.期望期望E(

10、X)xex2)(xd2122,xt設)(XE二、正態分布的數字特征二、正態分布的數字特征)(XE,dtdxdtett2221）（dtet2221則dte tt222解：解：奇函數奇函數=12022-4-28122)()(XEXEXD,xt設222.2)(XDXDX)()(,)(21222)(2dxexx,dtdxdtett22222)(2222tdet|222222dteettt則2.2.方差方差D(X) 3. 標準差標準差2);21,(21 e 正態分布的密度函數的性質與圖形正態分布的密度函數的性質與圖形關于關于 x = 對稱對稱（- - ， ）升，（）升，（ ，+ + ）降）降12f最大（

11、 ）n 單調性單調性n 對稱性對稱性n 拐點拐點鐘形曲線：鐘形曲線：中間高中間高兩邊低兩邊低y-+21x2,對密度曲線的影響對密度曲線的影響 12122110.7521.25 相同， 不同圖形相似，位置平移 不同， 相同越小，圖形越陡；越大，圖形越平緩2022-4-2815( 法則)求X落在內的概率.),(2NX)3,3(解解: :.9974. 03 3倍標準差原理倍標準差原理: : 3 設)33(XP)3()3()3()3(1)3(219987. 02 330.9974F(x)3X是小概率事件是小概率事件 X的取值幾乎都落入以的取值幾乎都落入以 為為中心，以中心，以3 為半徑的區間內為半徑的

12、區間內2022-4-28163322%26.6818413. 02)(XP1) 1 (2%.44.9519772. 02)22(XP1)2(2%.74.9919987. 02)33(XP1)3(2|%26.68|%44.95|%74.99|2022-4-2817性質性質2 2 可加性可加性. . 則則Z=X+Y的概率密度為的概率密度為則),(),(222211NYNX設.,) )( (222121NYXZdxxzfxfzfYXZ)()()(21)2(22dxezx222222221421421)(zzzZeeezf且X與Y相互獨立,證明：特殊地設證明：特殊地設X和和Y相互獨立相互獨立, 且都服

13、從且都服從N(0,1)dxexzx)(212122dxeezxz22)2(421即即Z服從服從N(0,2).2022-4-2818推廣到更一般的結論。, 2 , 1),(2niNXiiinXXX,21設性質性質3 3 線性組合性線性組合性. .相互獨立相互獨立，.CCC,CCCNXCXCXCUnn2211nn2211nn2211)(222222，有常數則對于任意不全為零的nCCC,21nCCCn121特別地，取),(,),(,22111221nnniinnNXXXXXXNXXX的算術平均，則是分布相互獨立，且服從同一設隨機變量系,1)0(/-NnX或2022-4-2819解解: :需返工的概率

14、。裝入氣缸則需返工，求相互獨立。若不能與設直徑活塞的設內燃機氣缸的直徑YX),3 . 0 , 5 ,40(NY),4 . 0 , 5 .41(NX22依題意求依題意求P(XY)= P(X-Y0)P(XY)= P(X-Y0)由正態分布的線性組合性質知，由正態分布的線性組合性質知，X-YX-Y服從正態分布服從正態分布.25. 0)5 . 0, 1 (2NYX 即)5 . 0105 . 01()0(YXPYXP例例5.5.1)()()(YEXEYXE)(YXD)()(YDXD)2()5 . 01(0228. 09772. 01)2(12022-4-2820四、二維正態分布四、二維正態分布,121),

15、()()(2)()1(212212222212121212yyxxeyxf.) 1|(|, 0, 0,2121是分布參數，其中定義定義: 設二維連續隨機變量設二維連續隨機變量(X,Y)的聯合概率密度的聯合概率密度則稱則稱(X, Y)服從二維正態分布，記作服從二維正態分布，記作),(),(222121NYX2022-4-2821結論結論1 設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)服從二維正態分布服從二維正態分布為何值，都有正態分布，且無論參數的邊緣分布都是與則) 1|(|YX),(222121N).,(),(222211NYNX結論結論3。相關系數相互獨立的充要條件是與0YX結論結論2 設設X,Y

16、的相關系數為的相關系數為2022-4-2822四、中心極限定理四、中心極限定理 客觀背景：客觀實際中，許多隨機變量是由大量客觀背景：客觀實際中，許多隨機變量是由大量相互獨立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小相互獨立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對總和有顯著影響，這種隨機變量往往近似地服從卻對總和有顯著影響，這種隨機變量往往近似地服從正態分布。正態分布。 概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態分布的一系列定理稱為中心極限定理。是正態分布

17、的一系列定理稱為中心極限定理。 由正態分布的線性組合性質知，相互獨立的隨機變量由正態分布的線性組合性質知，相互獨立的隨機變量的和仍服從正態分布。在某些相當一般的條件下，很多個的和仍服從正態分布。在某些相當一般的條件下，很多個相互獨立的非正態的隨機變量（不管它們的分布如何）的相互獨立的非正態的隨機變量（不管它們的分布如何）的和近似服從正態分布。和近似服從正態分布。2022-4-2823獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理 設隨機變量設隨機變量X1,X2,Xn,相互獨立相互獨立, 服從同一分服從同一分布布，且有的數學期望，且有的數學期望 和方差和方差 ，則隨機變量，則隨機變量 的分布函

18、數的分布函數 滿足如下極限式滿足如下極限式*1niinXnYn( )nF x22121lim( )lim( )2ntixinnnXnF xPxedtxn 2022-4-2824定理的應用定理的應用：對于獨立的隨機變量序列對于獨立的隨機變量序列 ，不管，不管 服從什么分布，只要它們是同分布，服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數學期望和方差，那么，當且有有限的數學期望和方差，那么，當n充分大時，這充分大時，這些隨機變量之和些隨機變量之和 近似地服從正態分布近似地服從正態分布nX(1,2, )iX in1niiX2,N nn1 N(0,1)niiXnn近似 N(0,1)/Xn近似 N( ,/

19、)Xn 近似或另一種形式：另一種形式：2022-4-2825由題意由題意 相互獨立且服從同一分布，且相互獨立且服從同一分布，且例例6.6.在一零售商店中，其結賬柜臺替各顧客服務的時間在一零售商店中，其結賬柜臺替各顧客服務的時間( (以分計以分計) )是相互獨立的隨機變量，均值為是相互獨立的隨機變量，均值為1.51.5，方差為，方差為1.1.(1) (1) 求對求對100100位顧客的總服務時間不多于位顧客的總服務時間不多于2 2小時的概率；小時的概率；(2) (2) 要求總的服務時間不超過要求總的服務時間不超過1 1小時的概率大于小時的概率大于0.95,0.95,問問至多能對幾位顧客服務。至多

20、能對幾位顧客服務。10021,XXX解：解：(1)Xi表示第表示第i位顧客的服務時間位顧客的服務時間,i=1,2,100)100, 2 , 1(, 1)(, 5 . 1)(iXDXEii1001100)(1001iiXD,1505 . 1100)(1001iiXE)120(1001iiXP)1015012010150(1001iiXP0013. 0)3(1)3(2022-4-2826例例6.6.在一零售商店中，其結賬柜臺替各顧客服務的時間在一零售商店中，其結賬柜臺替各顧客服務的時間( (以以分計分計) )是相互獨立的隨機變量，均值為是相互獨立的隨機變量，均值為1.51.5，方差為，方差為1.1

21、. (2) (2) 要求總的服務時間不超過要求總的服務時間不超過1 1小時的概率大于小時的概率大于0.95,0.95,問至問至多能對幾位顧客服務。多能對幾位顧客服務。解：解：(2)設能對設能對N位顧客服務，按題意需要確定最大的位顧客服務，按題意需要確定最大的N，使，使95. 0)60(1NiiXP)5 . 1605 . 1(1NNNNXPNii)60(1NiiXPNNXDNii1)(1, 5 . 1)(1NXENii95. 0)5 . 160(NN,645. 15 . 160NN即, 060645. 1.5N1N6 .33N33N2022-4-2827定理定理2.2.棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯

22、中心極限定理拉普拉斯中心極限定理 若隨機變量若隨機變量 n 服從參數為服從參數為n, p的二項分布，則的二項分布，則則對于任何實數則對于任何實數x，有，有xpnpnpPnn)-(1lim.dtext)(x2221定理表明，當定理表明，當n充分大時，二項分布的隨機變量充分大時，二項分布的隨機變量n 的標準化變量近似服從標準正態分布，即的標準化變量近似服從標準正態分布，即而而 n近似服從近似服從N (np, np(1-p).) 1 , 0(N近似)-(1 pnpnpn2022-4-2828例例7.7.某種難度很大的心臟手術成功率為某種難度很大的心臟手術成功率為0.90.9，對，對100100名患者

23、進行這種手術，以名患者進行這種手術，以X X記手術成功的人數記手術成功的人數. .(1)(1)求求P(84P(84X 95););(2)(2)求求P(XP(X90).).解解: (1)由題意知由題意知XB(100,9), E (X)=n p=1000.9=90，D (X)=n p(1-p)=1000.90.1=9，)9584( XP)3909539039084(XP)67. 13902(XP)2()67. 1 (1)2()67. 1 (9297. 019772. 09525. 02022-4-2829二、掌握非標準正態分布向標準正態分布的轉化，內容小結內容小結;)(. 1XE期望一、掌握正態分

24、布的密度函數和分布函數及其圖像及性質； 三、掌握正態分布的數字特征；.)(. 22XD方差會利用標準正態分布表，求正態分布的概率；2022-4-28303(3(線性組合性線性組合性).).設且X、Y相互獨立, 則四、熟悉正態分布的性質nXXX,21, 2 , 1),(2niNXiii),(2NX).,(22bbaNbXaY則1 (線性性線性性). 若),(),(22yyxxNYNX).,(22yxyxNYX2 (可加性可加性). 設相互獨立，且則).,(12211niiiniiiniiiccNXc五、了解中心極限定理, 并會用相關定理近似計算有關隨機事件的概率 2022-4-2831作業作業習

25、題四(P114): 1、2、4、10、11 15、16、18 2022-4-2832則X的數學期望為_; X的方差為_.備用題備用題1221)(xxexf22)21(2)1(2121)(xexf1.1. 已知連續隨機變量X的概率密度函數為分析：分析：經過整理得故E(X)=1, D(X)=1/2.),)21( , 1 (X2N由此可見2022-4-28332.2. 已知獨立,且YXNYNX,),16, 0(),3, 1 (2,23YXZ設)5, 1 (.);5,31(.);2,31(.);2 , 1 (.NDNCNBNA則Z服從（ ）分布.因為X, Y相互獨立，根據正態分布的性質分析：分析：且服從正態分布,23YXZ.31021131)(21)(31)(YEXEZE. 51641991)(41)(91)(YDXDZD故選C.2022-4-28343.3. 設隨機變量X與Y均服從正態分布：)5,(),4,