1、金融時間序列變量研究除了要討論序列平穩性之外，時間序列的波動性也是研究中至關重要的因素。以2019年3月3日至2009年3月3日以來上證綜合指數的日對數收益率為例。-.12-.08-.04.00.04.08.12.16500100015002000R從上圖中可以看出，股票市場的日對數收益率的波動有一定持續性，呈現出明顯的聚集現象，也稱為波動性集群現象。這種集群現象也給進行OLS估計帶來了一定的困難。這種集群現象的另一個側面反映出了被處理的數據具有較高的異方差。通常認為，這時模型的殘差序列的方差具有明確的經濟含義，即反映了資產的波動率，而資產的波動率又體現了資產的風險。如果殘差的方差高，則表明資

2、產風險較大，在投資和定價過程中需要注意對風險的評估和控制。值得注意的是，只有高頻數據的回歸分析才會遇到這種集群效應，也就是說，只有高頻數據的模型殘差的平方，才能反映出資產的風險大小。為了對資產的風險進行有效的衡量，通常，人們廣泛使用的是以自回歸條件異方差ARCH模型為核心的計量方法。 ARCHARCH模型的定義模型的定義 ARCHARCH模型是最簡單的條件異方差模型，在金融時間序列分析模型是最簡單的條件異方差模型，在金融時間序列分析領域有著廣泛的應用。如果設領域有著廣泛的應用。如果設 表示在表示在t t時刻某金融資產的時刻某金融資產的對數收益率，對數收益率， 為關于為關于 到到t t時刻的所有

3、歷史信息時刻的所有歷史信息, , 則標的資則標的資產產 條件期望和條件方差為條件期望和條件方差為 假定假定 服從一個簡單的時間序列模型，如平穩的服從一個簡單的時間序列模型，如平穩的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模模型型, , 即即 其中其中 稱為殘差項或隨機擾動項。稱為殘差項或隨機擾動項。1|tttE rF221() |ttttE rF011pqtitiititijrraatrtrtrtasrtFARCH模型就是針對殘差序列 進行建模的，其基本思想是：殘差序列 在t時刻的方差與上一時刻t-1的殘差平方存在相關性。也就是說，殘差項本身并不存在序列相關性，但是殘差項的平方卻存在序列相關。最簡

4、單的ARCH模型即ARCH(1)模型，可以寫作：其中， 為無序列相關的隨機擾動項，即殘差項。這里假設 服從正態分布，此時ARCH模型也可以稱作正態ARCH(1)過程。上式的第一個模型表示原始變量回歸模型，也可稱之為條件均值等式；第二個模型表示方差的回歸模型，也被稱作條件方差等式。這兩個模型是ARCH模型的核心組成部分。21101222)(), 0(,tttttttttuuuENuuxytatatutuARCH(1)模型還有一種表現形式，即：其中 。不過為了描述方便，下面將使用前一種表現形式繼續介紹。1/ 2tttaz h2t01t1ha 01 , 0),1 , 0(10iidNZt通常，ARC

5、H模型，尤其是正態ARCH模型多用來擬合資產收益率的波動情況，但是ARCH模型也存有一些不足之處，例如這個模型不能區分出波動的正負性，因為波動是以平方的形式表現的；同時這個模型也不能指出波動產生的原因，只能提供一個波動的描述方式。因此在具體運用的過程中，需要根據實驗目的結合多種計量方法進行。 ARCHARCH模型的估計與檢驗模型的估計與檢驗 設設 是是ARMA(p,q)ARMA(p,q)方程的殘差，可以用平方序列方程的殘差，可以用平方序列 來檢驗來檢驗 的條件異方差性，一般采用拉格朗日乘子法，即檢的條件異方差性，一般采用拉格朗日乘子法，即檢驗下列線性回歸方程的顯著性：驗下列線性回歸方程的顯著性

6、： , , 令令 表示表示 的樣本均值的樣本均值； ； 。那。那么么 原假設原假設 ，成立時，成立時，是漸近服從是漸近服從 分布的統計量。如果統計量分布的統計量。如果統計量 的的F-F-檢驗是顯著的，則認為檢驗是顯著的，則認為 有條件異方差。有條件異方差。222011ttptptaaae1,tpT 221()TttpTSSaa21TttpRSSe0:0,1,2,iHip()/(21)TSSRSSpFRSSTp(1,)F pTptttartata2ta2taaF GARCHGARCH模型的定義和性質模型的定義和性質 如果在如果在ARCHARCH模型的條件方差等式中加入了模型的條件方差等式中加入了

7、 本身的滯后項，本身的滯后項，那么依照那么依照ARAR模型向模型向MAMA模型的轉換思路，就可以得到模型的轉換思路，就可以得到GARCHGARCH模模型的基本表達式。型的基本表達式。 例如，例如，GARCH(qGARCH(q，p)p)過程可以表達為：過程可以表達為：其中，其中， 被稱作被稱作ARCHARCH項，項， 稱作稱作GARCHGARCH項。此時，項。此時，GARCHGARCH模型中模型中q q表示表示ARCHARCH項的階數，而項的階數，而p p表示表示GARCHGARCH項的階數。項的階數。qiitiitpiittttttuNuuxy1221022), 0(,2itu2it2tGRA

8、CH模型在金融時間序列領域有著極為廣泛的應用。例如人們經常通過上一期的預測方差GARCH項和以往各期觀察到得波動性ARCH項共同來預測本期的方差。但是，GARCH模型與ARCH 模型有著同樣的不足，即，它對正的波動和負的波動有相同的反應，不能說明抖動產生的原因。另外，關于高頻金融時間序列的GARCH模型模擬的尾部太薄，即使用新信息是服從t分布的GARCH模型，也不足以描述實際高頻數據的尾部。GARCH模型的條件方差等式平穩性是GARCH模型的重要特性，只有具備平穩性，GARCH模型才能用來進行波動性的預測。令 ，將 代入GARP(p,q)第二個等式后，可得：其中 相當于 的AR項， 相當于MA

9、項。那么類似于ARMA模型，只要上式的逆特征方程：的根落在單位圓外，則滿足平穩性條件，此時GARCH模型中的方差等式也稱之為平穩過程。22tttu12121tttuqiititqpiitiituu1),max(1202)(),max(12)(qpiitiiuqiitit10)(1),max(1qpiiiiz2tu GARCHGARCH模型的估計模型的估計 GARCHGARCH模型在進行估計的時候，需要同時設立條件均值等式模型在進行估計的時候，需要同時設立條件均值等式和條件方差等式，然后直接獲得估計結果。例如，對和條件方差等式，然后直接獲得估計結果。例如，對GARCH(1GARCH(1，1)1)

10、過程，即：過程，即： 需要注意的是，這里仍假設擾動項需要注意的是，這里仍假設擾動項 服從正態分布。服從正態分布。211211022), 0(,ttttttttuNuuxytu此時GARCH模型估計過程中所使用的對數似然函數為：相應地，如果擾動項服從t分布或者廣義誤差分布，則對應的對數似然函數分別為：其中，df表示自由度，r表示正的分布尾系數。22221)ln(21)2ln(21)(ttttunormall)2(1ln(21)ln(21)2/ ) 1()2/()2(21)(22222dfudfdfdfdftltttt2/22222)/1 ()/3()ln(21)2/)(/3()/1 (21)(r

11、ttttrurrrrgedl GARCHGARCH模型的預測模型的預測 GARCHGARCH模型的實際意義在于，通過以往期數中積攢的關于波模型的實際意義在于，通過以往期數中積攢的關于波動性的信息和上一期的方差，預測本期變量的方差大小。動性的信息和上一期的方差，預測本期變量的方差大小。 運用計量的手段可以這樣表現運用計量的手段可以這樣表現GARCHGARCH模型的預測過程。模型的預測過程。以GARCH(1，1)為例，如果假定 和 知，那么基于t時刻的信息所得到的前一期的預測值就可以表示為：向前二期的預測值，由： 可以得到：對平穩的 GARCH(1,1) , 即 ,可以證明21210212)()

12、1 (tttttuE211211022tttu)1 ()(212112121110ttttzz)1 ()()()()()2(2121221121110222tttttttttttzEuEEE) 1 ()(2110t010,0, 1101 011h( )1 () tut 指數指數 GARCH GARCH模型模型 （EGARCH EGARCH ） 在指數模型中，條件方差等式分析的不再是在指數模型中，條件方差等式分析的不再是 ，而是它的對，而是它的對數形式。數形式。 例如，對例如，對EGARCH(1EGARCH(1，1)1)過程，則有：過程，則有：21111111022lnln), 0(,ttttt

13、ttttttuuNuuxy2tEGARCH模型至少提示了這樣幾條信息：第一，條件方差以對數的形式出現，表明金融時間序列的杠桿效應是指出的，且條件方差的預測值一定是非負的；第二，當 為正值時，該等式可以捕捉到時間序列波動性的集群現象，即前一期的波動性會對后一期波動性產生正面影響；第三，在等式中出現了絕對值符號，意味著當 分別取正負號時，對本期條件方差的預測值會產生不同的影響。EGARCH模型是非對稱GARCH模型的重要組成部分。11tu 門限門限GARCHGARCH模型模型 （TGARCH TGARCH ） 所謂的門限所謂的門限GARCHGARCH模型，就是指利用虛設變量來設置一個門模型，就是指

14、利用虛設變量來設置一個門限，用以區分正的和負的沖擊對條件波動性的影響。限，用以區分正的和負的沖擊對條件波動性的影響。 從這個定義可以看出，從這個定義可以看出，TGARCHTGARCH模型與模型與EGARCHEGARCH模型一樣，都是模型一樣，都是屬于非對稱性屬于非對稱性GARCHGARCH模型。模型。以GARCH(1，1)過程為例，這個模型中所設立的門限為：此時，TGARCH模型可以表示為：對著各個模型，可以這樣理解。 0代表利好消息， 0代表利空消息，只要系數 為正數，這兩種不同的消息對條件方差的沖擊和影響就是完全不同的，并且條件方差對利空消息的反應明顯大于對利好消息的反應。這一點在實踐中也

15、可以得到證實。0, 10, 01111ttttuIuI2111211211022), 0(,ttttttttttIuuNuuxy1tu1tu1a GARCH-MGARCH-M模型模型 金融資產的收入率可能會依賴于其同期的波動率，對于存在金融資產的收入率可能會依賴于其同期的波動率，對于存在這種現象的金融時序，可以考慮用這種現象的金融時序，可以考慮用GARCH-MGARCH-M模型來擬合。模型來擬合。 GARCHGARCH1 1，1 1）-M-M模型建立如下：模型建立如下： 其中：其中： 是常數，參數是常數，參數 稱為風險溢價參數。稱為風險溢價參數。 時時，收入率與過去的波動率正相關，因此收入率是

16、前后相關的，收入率與過去的波動率正相關，因此收入率是前后相關的，其相關性是由，其相關性是由 的前后相關性導致的。的前后相關性導致的。 GARCH-MGARCH-M模型應用于股票價格研究中，可以解釋風險溢價是模型應用于股票價格研究中，可以解釋風險溢價是歷史股價收入率具有前后相關性的原因這一現象。歷史股價收入率具有前后相關性的原因這一現象。211211022ttttttuucyc,c0c2t 成分成分GARCHGARCH模型模型CGARCHCGARCH） 成分成分GARCHGARCH模型是應用在向量基礎上的模型是應用在向量基礎上的GARCHGARCH模型。在傳統的模型。在傳統的GARCHGARCH

17、模型中，通常有一個隱含假設，即條件方差的長期均模型中，通常有一個隱含假設，即條件方差的長期均值為常數。一旦時間序列的波動性不能滿足這個條件，就需值為常數。一旦時間序列的波動性不能滿足這個條件，就需要應用到要應用到CGARCHCGARCH模型了。模型了。以CGARCH(1，1)為例，可以得到三個回歸模型，即：其中， 表示方差的期望所收斂到得均值水平， 表示隨時間變化的長期波動性水平，即條件方差的期望。在這個模型中， 反映的是條件方差的長期波動部分，而 反映的是條件方差的短期波動部分，兩者之和正是GARCH模型中殘差項的條件方差。)()()()(), 0(,121112112212112ttttt

18、ttttttttttQQuQQuQQQQNuuxyQtQtQttQ2 多元波動率模型多元波動率模型 當同時考慮當同時考慮k k維收入率序列的波動率問題時，用同樣的方法維收入率序列的波動率問題時，用同樣的方法可以將一維的一些波動率模型推廣到多元情形，例如，如果可以將一維的一些波動率模型推廣到多元情形，例如，如果同時考慮上海證券交易所的股票綜合指數和深圳交易所的綜同時考慮上海證券交易所的股票綜合指數和深圳交易所的綜合指數的波動率情況，可以一個合指數的波動率情況，可以一個2 2維的維的GARCHGARCH模型。模型。 記記 為向量序為向量序 到時刻到時刻t t時的所有的歷史信息，時的所有的歷史信息，

19、 。則。則2 2維的維的GARCHGARCH1 1，1 1模型為模型為 事實上，多元波動率模型能更準確地描述金融時間序列的波事實上，多元波動率模型能更準確地描述金融時間序列的波動性質，但在實證分析時，參數的估計及模型的驗證都比較動性質，但在實證分析時，參數的估計及模型的驗證都比較復雜。目前還沒有比較好的軟件可以用于多元波動率模型的復雜。目前還沒有比較好的軟件可以用于多元波動率模型的參數估計和模型的檢驗。參數估計和模型的檢驗。21, 221, 12221121121, 221, 12221121120102, 22, 1ttttttuu2 , 1),(1,2,iFuVARttiti),(,2,

20、1ssuutF對金融時間序列建立一個GARCH模型一般包括三個步驟：（1） 對收入率建立一個計量經濟模型如ARMA模型），即均值方差， 以分離出數據中任何線性相關的成分，并用該模型的殘差序列檢驗ARCH效應。（2） 具體確定GARCH模型，建立方差方程，并估計參數。（3） 檢驗所擬合的GARCH模型。對上海證券交易所2019.03.032021.03.03的股票交易日收盤綜合指數 的對數收入率建立AR(1)+TGARCH(1,1)模型。tp記 ，建立均值模型：Dependent Variable: RMethod: Least SquaresDate: Time: 13:11Sample (a

21、djusted): 3 2318Included observations: 2316 after adjustmentsCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.0002700.0003370.8011600.4231R(-1)0.0997060.0206844.8205300.0000R-squared0.009942 Mean dependent var0.000300Adjusted R-squared0.009514 S.D. dependent var0.016306S.E. of regression0.016228 Akaike info

22、 criterion-5.403306Sum squared resid0.609380 Schwarz criterion-5.398342Log likelihood6259.028 Hannan-Quinn criter.-5.401497F-statistic23.23751 Durbin-Watson stat1.984322Prob(F-statistic)0.000002ttt 1rlog plog ptt 1trcra ARCH模型在運用過程中，需要接受異方差檢驗從表中可以看出，模型的常數項不顯著，模型擬合存在異方差，因而，要對模型進行修正。Heteroskedasticity

23、 Test: ARCHF-statistic51.39788 Prob. F(3,2309)0.0000Obs*R-squared144.7917 Prob. Chi-Square(3)0.0000用門限自回歸模型實現擬合過程，修正后的模型表示為： , 其中：tt 1trcra1/2tttaz h2201111111ttttthhaI 11,00,0tttaIatz iidN 0,1Dependent Variable: RMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distributionDate: Time: 12:43Sample (adjusted):

24、 3 2318Included observations: 2316 after adjustmentsConvergence achieved after 18 iterationsPresample variance: backcast (parameter = 0.7)GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)2 + C(4)*RESID(-1)2*(RESID(-1)0) + C(5)*GARCH(-1)CoefficientStd. Errorz-StatisticProb. R(-1)0.1149140.0223325.1457520.0000Variance EquationC4.19E-064.66E-078.9797240.0000RESID(-1)20.0711590.0087058.1744510.0000RESID(-