1、2019年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）數學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘。考試結束后，請將本試卷和答題卡一片交回。2答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置。3請認真核對監考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。4作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。參考公式：樣本數據的方差，

2、其中柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應位置上1.已知集合A=1,0,1,6，則AB=_.【答案】1,6.【解析】【分析】由題意利用交集的定義求解交集即可.【詳解】由題知，.【點睛】本題主要考查交集的運算，屬于基礎題.2.已知復數的實部為0，其中i為虛數單位，則實數a的值是_.【答案】2【解析】【分析】本題根據復數的乘法運算法則先求得，然后根據復數的概念，令實部為0即得a的值.【詳解】，令得.【點睛】本題主要考查復數的運算法則，虛部的定義等知識，意在考查學生的轉化能力和計

3、算求解能力.3.下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是_. 【答案】5【解析】【分析】結合所給的流程圖運行程序確定輸出的值即可.【詳解】執行第一次，不成立，繼續循環，；執行第二次，不成立，繼續循環，；執行第三次，不成立，繼續循環，；執行第四次，成立，輸出【點睛】識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環結構(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題(3)按照題目的要求完成解答并驗證4.函數的定義域是_.【答案】1,7【解析】【分析】由題意得到關于x的不等式，解不等式可得函數的定義域.【詳解】由已知得,即解得，故函數的定義域為1,7.【點睛】

4、求函數的定義域，其實質就是以函數解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可5.已知一組數據6，7，8，8，9，10，則該組數據的方差是_.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得平均數，然后求解方差即可.【詳解】由題意，該組數據的平均數為，所以該組數據的方差是.【點睛】本題主要考查方差的計算公式，屬于基礎題.6.從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是_.【答案】【解析】【分析】先求事件的總數，再求選出的2名同學中至少有1名女同學的事件數，最后根據古典概型的概率計算公式得出答案.【詳解】從3名男同學和2名女同學中任選2

5、名同學參加志愿服務，共有種情況.若選出的2名學生恰有1名女生，有種情況，若選出的2名學生都是女生，有種情況，所以所求的概率為.【點睛】計數原理是高考考查的重點內容，考查的形式有兩種，一是獨立考查，二是與古典概型結合考查，由于古典概型概率的計算比較明確，所以，計算正確基本事件總數是解題的重要一環.在處理問題的過程中，應注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據順序有無，明確“排列”“組合”.7.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線經過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_.【答案】【解析】【分析】根據條件求，再代入雙曲線的漸近線方程得出答案.【詳解】由已知得，解得或，因為，所以.因為，所以雙曲線的

6、漸近線方程為.【點睛】雙曲線的標準方程與幾何性質，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標準方程中的密切相關，事實上，標準方程中化1為0，即得漸近線方程.8.已知數列an是等差數列，Sn是其前n項和.若，則的值是_.【答案】16【解析】【分析】由題意首先求得首項和公差，然后求解前8項和即可.【詳解】由題意可得：，解得：，則.【點睛】等差數列、等比數列的基本計算問題，是高考必考內容，解題過程中要注意應用函數方程思想，靈活應用通項公式、求和公式等，構建方程（組），如本題，從已知出發，構建的方程組.9.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC

7、1的中點，則三棱錐E-BCD的體積是_.【答案】10【解析】【分析】由題意結合幾何體的特征和所給幾何體的性質可得三棱錐的體積.【詳解】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.【點睛】本題蘊含“整體和局部”的對立統一規律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關系，靈活利用“割”與“補”的方法解題.10.在平面直角坐標系xOy中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_.【答案】4【解析】【分析】將原問題轉化為切點與直線之間的距離，然后利用導函數確定切點坐標可得最小距離【詳解

8、】當直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最小.由，得，即切點，則切點Q到直線的距離為，故答案為：4【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數學運算素養.采取導數法和公式法，利用數形結合和轉化與化歸思想解題.11.在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（-e，-1)(e為自然對數的底數），則點A的坐標是_. 【答案】(e,1)【解析】【分析】設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.【詳解】設點，則.又，當時，點A在曲線上切線為，即，代入點，得，即，考查函數，當時，當時，且，當時，單調

9、遞增，注意到，故存在唯一的實數根，此時，故點的坐標為.【點睛】導數運算及切線的理解應注意的問題：一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點的個數不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點12.如圖，在ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點O.若，則的值是_.【答案】【解析】【分析】由題意將原問題轉化為基底的數量積，然后利用幾何性質可得比值.【詳解】如圖，過點D作DF/CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=

10、EA,AO=OD.，得即故.【點睛】本題考查在三角形中平面向量的數量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.采取幾何法，利用數形結合和方程思想解題.13.已知，則的值是_.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數式的值即可.【詳解】由，得，解得，或.，當時，上式當時，上式=綜上，【點睛】本題考查三角函數的化簡求值，滲透了邏輯推理和數學運算素養.采取轉化法，利用分類討論和轉化與化歸思想解題.14.設f(x)，g(x)是定義在R上的兩個周期函數，f(x)的周期為4，g(x)的周期為2，且f(x)

11、是奇函數.當時，其中k>0.若在區間(0，9上，關于x的方程f(x)=g(x)有8個不同的實數根，則k的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】分別考查函數和函數圖像的性質，考查臨界條件確定k的取值范圍即可.【詳解】當時，即又為奇函數，其圖象關于原點對稱，其周期為4，如圖，函數與的圖象，要使在(0,9上有8個實根，只需二者圖象有8個交點即可. 當時，函數與的圖象有2個交點；當時，的圖象為恒過點（-2，0）的直線，只需函數與的圖象有6個交點.當與圖象相切時，圓心（1，0）到直線的距離為1，即，得，函數與的圖象有3個交點；當過點（1,1）時，函數與的圖象有6個交點，此時，得.綜上可知，滿足在(

12、0,9上有8個實根的k的取值范圍為.【點睛】本題考點為參數的取值范圍，側重函數方程的多個實根，難度較大.不能正確畫出函數圖象的交點而致誤，根據函數的周期性平移圖象，找出兩個函數圖象相切或相交的臨界交點個數，從而確定參數的取值范圍.二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由題意結合余弦定理得到關于c的方程，解方程可得邊長c的值；(2)由題意結合正弦定理和同角三角函數基本關系首

13、先求得的值，然后由誘導公式可得的值.【詳解】（1）因為，由余弦定理，得，即.所以.（2）因為，由正弦定理，得，所以.從而，即，故.因為，所以，從而.因此.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、誘導公式等基礎知識，考查運算求解能力.16.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC求證：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】(1)由題意結合幾何體的空間結構特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結論；(2)由題意首先證得線面垂直，然后結合線面垂直證明線線垂直即可.【詳解】（1）因為D，E

14、分別為BC，AC的中點，所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因為ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BEAC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因為BE平面ABC，所以CC1BE.因為C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因為C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.【點睛】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.17.如圖，在平面直角坐標系

15、xOy中，橢圓C:的焦點為F1（1、0），F2（1，0）過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1已知DF1=（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)解法一：由題意首先確定直線的方程，聯立直線方程與圓的方程，確定點B的坐標，聯立直線BF2與橢圓的方程即可確定點E的坐標；解法二：由題意利用幾何關系確定點E的縱坐標，然后代入橢圓方程可得點E的坐標.【詳解】（1）設橢圓C的焦距為2c.因為F1(1，0)

16、，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2由b2=a2-c2，得b2=3.因此，橢圓C的標準方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C

17、：.如圖，連結EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而BF1E=B.因為F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，從而EF1F2A.因為AF2x軸，所以EF1x軸.因為F1(-1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.因此.【點睛】本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.18.如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）規劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA規劃要求:線段PB

18、、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）對規劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離【答案】（1）15（百米）；（2）見解析；（3）17+（百米）.【解析】【分析】解：解法一：（1）過A作，垂足為E.利用幾何關系即可求得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位

19、置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離解法二：（1）建立空間直角坐標系，分別確定點P和點B的坐標，然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離【詳解】解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因為PBAB，所以.所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規劃要求.若Q在D處，連結AD，由（1）知，從而，所以BAD為銳角.所以線

20、段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規劃要求；當OBP90°時，對線段PB上任意一點F，OFOB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規劃要求.設P1為l上一點，且，由（1）知，此時；當OBP>90°時，在中，.由上可知，d15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA15，點Q只有位于點C的右側，才能符合規劃要求.當QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離

21、均不小于圓O的半徑.綜上，當PBAB，點Q位于點C右側，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OHl，垂足為H.以O為坐標原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系.因為BD=12，AC=6，所以OH=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標分別為3，3.因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（4，3），直線AB的斜率為.因為PBAB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（13，9），.因此道路PB的長為15（百米）.（2

22、）若P在D處，取線段BD上一點E（4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規劃要求.若Q在D處，連結AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點M（3，），因為，所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規劃要求；當OBP90°時，對線段PB上任意一點F，OFOB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規劃要求.設P1為l上一點，且，由（1）

23、知，此時；當OBP>90°時，在中，.由上可知，d15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA15，點Q只有位于點C的右側，才能符合規劃要求.當QA=15時，設Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當P（13，9），Q（，9）時，d最小，此時P，Q兩點間的距離.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為（百米）.【點睛】本題主要考查三角函數的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象和數學建模及運用數學知識分析和解決實際問題的能力.19.設函數，為f（x）的導函數（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若

24、ab，b=c，且f（x）和的零點均在集合3,1,3中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.【解析】【分析】（1）由題意得到關于a的方程，解方程即可確定a的值；（2）由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數的解析式，然后求解其導函數，由導函數即可確定函數的極小值.（3）由題意首先確定函數的極大值M的表達式，然后可用如下方法證明題中的不等式：解法一：由函數的解析式結合不等式的性質進行放縮即可證得題中的不等式；解法二：由題意構造函數，求得函數在定義域內的最大值，因為，所以當時，令，則令，得列表如下：+0極大值所以當時，取得極大值，

25、且是最大值，故所以當時，因此【詳解】（1）因為，所以因為，所以，解得（2）因為，所以，從而令，得x=b或因為，都在集合中，且，所以此時，令，得或列表如下：(,3)3(3,1)1(1,+)+00+極大值極小值所以的極小值為（3）因為，所以，因為，所以，則有2個不同的零點，設為由，得列表如下： +00+極大值極小值所以的極大值解法一：因此解法二：因為，所以當時，令，則令，得列表如下：+0極大值所以當時，取得極大值，且是最大值，故所以當時，因此【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的性質，考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力20.定義首項為1且公比為正數的等比數列為“M數列”.（1）

26、已知等比數列an滿足：，求證:數列an為“M數列”；（2）已知數列bn滿足:，其中Sn為數列bn的前n項和求數列bn的通項公式；設m為正整數，若存在“M數列”cn(nN*)，對任意正整數k，當km時，都有成立，求m的最大值【答案】（1）見解析；（2）bn=n；5.【解析】【分析】（1）由題意分別求得數列的首項和公比即可證得題中的結論；（2）由題意利用遞推關系式討論可得數列bn是等差數列，據此即可確定其通項公式；由確定的值，將原問題進行等價轉化，構造函數，結合導函數研究函數的性質即可求得m的最大值【詳解】（1）設等比數列an的公比為q，所以a10，q0.由，得，解得因此數列為“M數列”.（2）因

27、為，所以由得，則.由，得，當時，由，得，整理得所以數列bn是首項和公差均為1的等差數列.因此，數列bn的通項公式為bn=n.由知，bk=k，.因為數列cn為“M數列”，設公比為q，所以c1=1，q>0.因為ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.當k=1時，有q1；當k=2，3，m時，有設f（x）=，則令，得x=e.列表如下：x（1，e）e(e，+)+0f（x）極大值因為，所以取，當k=1，2，3，4，5時，即，經檢驗知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分別取k=3，6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求

28、m的最大值為5【點睛】本題主要考查等差和等比數列的定義、通項公式、性質等基礎知識，考查代數推理、轉化與化歸及綜合運用數學知識探究與解決問題的能力數學(附加題)【選做題】本題包括21、22、23三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區域內作答若多做，則按作答的前兩小題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟21.已知矩陣 （1）求A2；（2）求矩陣A的特征值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用矩陣的乘法運算法則計算的值即可；(2)首先求得矩陣的特征多項式，然后利用特征多項式求解特征值即可.【詳解】（1）因為，所以=（2）矩陣A的特征多項式為.令，解得A的特征值.【點睛】本題主要考查矩陣的運算、特征值等基礎知識，考查運算求解能力22.在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為.（1）求A，B兩點間的距離；（2）求點B到直線l的距離.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】(1)由題意，在中，利用余弦定理求解的長度即可；(2)首先確定直線的傾斜角和直線所過的點的極坐標，然后結合點B的坐標結合幾何性質可得點B到直線的距離.【詳解】（1）設極點為O.在OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因為直線l的方程為，則直線l過點，傾斜角為又，所以點B到直線l的距離為.【點睛】本題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力23.設，解不