1、統計物理 研究型學習§7.2.7 最大功原理 平衡穩定性判據2010-2011 第二學期學 院：物理科學與技術學院年 級： * 姓 名： *學 號： *§7.2.7 最大功原理 平衡穩定性判據課型：研究型學習 課時：45min 班級：2008級基地班 日期：2011-3-29【本節地位】【聽課對象】【講課目標】1、知識與技能（1）理解動能的概念，掌握動能的表達式；（2）深入理解動能定理的確切含義，熟練應用動能定理解決實際問題。 2、 過程與方法（1）運用演繹推導方式推導動能及動能定理的表達式；（2）結合課堂練習體會運用動能定理解題比牛頓運動定理解題的優越性。【講課重點】（1

2、）動能的概念；（2）動能定理及其應用。【講課難點】動能定理的理解和應用。【講課形式】“推導-探索”的教學形式，講授式。【教 具】多媒體課件。【講課過程】整體結構（流程）：講授基本原理，推導最大功原理、穩定平衡的數學表達式，10-20min。余下時間課堂討論，由組員提出問題，并給出自己的見解（參考解答）。討論的問題是這一節中幾個值得進一步思考的、概念性的、著眼于物理過程的問題。一、 基本原理（一） 最大功原理出發點：（1）熱力學第一定律上式是對于封閉系統（有能量交換但無物質交換的系統）的無窮小變化而言的。dU是內能的變化量，內能U適合系統內部能量（如分子的平動、轉動、振動能量，磁性原子在外場中的

3、能量、電子的能量等）有關的能量的系綜平均，與過程無關。dW為外參量（如體積、磁場強度等）引起的內能變化，前面帶有負號，所以這里代表系統對外界做的功，與過程有關。最后，dQ為外參量不變時，系統內能的變化量，與過程有關。出發點：（2）熱力學第二定律由此推導：與熱力學勢（U、F、H、G）有關的最大功原理（其中H沒有最大功原理），熵增加原理，“勢減小原理”。下面，我們將以表格的形式呈現（表1），并口頭說明各個符號、等式、不等式所代表的物理過程與物理意義。表1熱力學勢基本關系式特殊物理過程相應關系式U等熵等熵不做功F等溫等溫不做功G等溫等壓等溫等壓不做功H等熵等壓？有待商榷？等熵等壓不做功絕熱絕熱不做功

4、1、 上面的式子中（系統對外的功=膨脹功+非膨脹功）2、 式中，等號表示可逆過程內能的減少等于系統對外做的功，不等號表示不可逆過程中，內能/自由能/焓/自由焓的減少大于系統對外做的功，也就是說，當減少相同的內能/自由能/焓/自由焓時，可逆過程比不可逆過程系統對外做的功要大，即可逆過程最大功。3、 式的不同之處在于特性函數的態參量不同，也就是全微分的自變量不同。但這絕對不是換幾個自變量的問題，有很重要的物理意義。通過前面學習的普遍熱力學方程，我們可以看到，通過對熱力學第一定律：進行勒讓德變換，我們可以得到很多很多的全微分表達式，但其中只有很少的幾個有意義。我覺得，我們選擇某一個表達式的目的，就在

5、于我們做研究的物理過程中的特殊條件可以使這個全微分表達式右邊的一項或幾項等于零，從而簡化表達式，便于盡快積分得到結果。例如，物理過程是等溫，我們就找含有dT的：，物理過程是等壓的，我們就找含dp的：，從上面也可以看到，等溫等壓就用：而熵的測得相對比較困難，（只能間接測量？）所以我們很少用：，這可能也是引入內能u以外的其他熱力學勢（F、H、G）的原因吧。4、 說到引入熱力學勢，再多說兩句，關于熱力學勢的物理意義。由F=U-TS，我們可以看到，F的物理意義就是，在等溫可逆過程中，可以轉化為功的那部分內能，即所謂“自由”。相應的，由G=H-TS，我們可以看到，G的物理意義即在等溫等壓可逆過程中，可以

6、轉化為功的那一部分焓，即“自由焓”。而焓的物理意義？5、說的是，在不同限定條件的物理過程中，系統的內能/自由能/焓、自由焓只能減少或者不變，而我們知道系統的狀態只能是平衡或者不平衡。顯然，內能/自由能/焓/自由焓減少對應于不平衡狀態，內能/自由能/焓/自由焓不變對應于平衡狀態。換句話說，當系統處于非平衡態時，內能/自由能/焓/自由焓會一直減小，減小，減小到最小，也就達到平衡不再變。這時如果給系統一個擾動，（無論熱力學勢是否改變），都將打破平衡，重新開始勢減小的過程，直至勢最小，達到新平衡。這也就是以熵增加原理為本源的，由三種熱力學勢表達出來的“勢減少原理”。這種趨向最小值的特征，也就是內能/自

7、由能/焓/自由焓被稱為熱力學勢的原因，（類比于重力勢能等）。關于勢減小這個問題，我們還有一些拿不準的，留到最后的討論中再說。6、這里要注意的是，對于絕熱過程，沒有涉及到熱力學第二定律所以無論可逆不可逆，系統對外的非膨脹功都等于系統焓的減少（如所示）；絕熱系統不做功，則焓不變（如所示）。（二） 平衡以及平衡穩定的條件表2熱力學勢（熵除外）平衡判據平衡穩定性判據UFGHS1、如果將變分類比與函數的導數，一次導數為零，對應最值（平衡點），二次導數小于零對應極大值（穩定平衡），我們不禁想問，二次導數大于零是什么平衡？這個問題我們放到最后的討論中。下面，我們從平衡和平衡穩定的判據出發，推導用直接可測量表

8、示的平衡條件和平衡穩定性條件。首先，根據線性代數中的定義，U（S,V）的平衡穩定性判據是以為自變量的正定二次型（只含自變量二次項的多項式叫做二次多項式。二次型多項式中，當自變量取任意值時，多項式都大于零，則成為正定二次型）。把正定二次型寫成的矩陣形式，其中A為是對稱矩陣。則可用數學歸納法證明，對稱矩陣A為正定的充分必要條件為：A的各階順序主子式均大于零。這也是常用來判斷正定二次型的代數性質。這里只有兩個變量，所以可以得到一個1×1和一個2×2的不等式。前者得到的是熱平衡條件：Cv>0后者滿足雅克比行列式的定義，利用雅克比行列式的性質稍加變形，便可得到力學平衡條件：不滿

9、足這兩個條件的平衡態是不穩定的，在自然界不可能存在。二、 討論1、 理解“勢最小原理”2、 理解“平衡的穩定性”在力學中我們接觸過穩定平衡的問題：圖1 力學中的穩定平衡、隨遇平衡和不穩定平衡我們來看百度百科的解釋：在101.325Pa壓力下，純凈無塵的水可以被冷卻至0以下仍不結冰，此種狀態的水稱為過冷水，它相對于同溫度的冰而言是處于亞穩態，一旦受到力學沖擊或加入小顆粒，過冷水立即變為穩態的冰。凡能在被移動離開它的平衡位置后，仍試圖回復其原來位置（此時其重心比較低）從而恢復到原來的平衡狀態的物體，它原來的平衡狀態叫“穩定平衡”。例如，圓球體在一個凹進的圓盤中時；一圓錐體以其底面豎立時，都屬于穩定平衡狀態。穩定平衡是一切