1、本教材習題和參考答案及部分習題解答第四章已知物體內一點的六個應力分量為： ， 試求法線方向余弦為，的微分面上的總應力、正應力和剪應力。 解：應力矢量的三個分量為 ， 總應力。 正應力。 剪應力。過某點有兩個面，它們的法向單位矢量分別為和，在這兩個面上的應力矢量分別為和，試證。 證：利用應力張量的對稱性，可得。證畢。某點的應力張量為 且已知經過該點的某一平面上的應力矢量為零，求及該平面的單位法向矢量。 解：設要求的單位法向矢量為，則按題意有 即 ， (a) 上面第二式的兩倍減去第一式和第三式，得 上式有兩個解：或。若，則代入式(a)中的三個式子，可得，這是不可能的。所以必有。將代入式(a)，利用

2、，可求得 。基礎的懸臂伸出部分具有三角柱體形狀，見圖，下部受均勻壓力作用，斜面自由，試驗證應力分量 ， 滿足平衡方程，并根據面力邊界條件確定常數、和。 解：將題中的應力分量代入平衡方程，可知它們滿足平衡方程。 在的邊界上，有邊界條件 ， 所給的應力分量自動滿足上面的第二個條件。將的表達式代入上面的第一個條件，得 (1) 在上斜面上，有，所以斜面上的應力分量可以簡化成 ， (2)斜面上的外法向方向余弦為 ， (3) 將式(2)和(3)代入邊界條件，得 (4) 聯立求解(1)和(4)，得 ，圖表示一三角形水壩，已求得應力分量為 ， ， 和分別是壩身和水的比重。求常數、，使上述應力分量滿足邊界條件。

3、 解：在的邊界上，有邊界條件 ， 將題中的應力分量代入上面兩式，可解得：，。 在左側的斜面上，外法向方向余弦為 ， 把應力分量和上面得到的有關結果代入邊界條件，可解得：，。物體的表面由確定，沿物體表面作用著與其外法向一致的分布載荷，試寫出其邊界條件。 解：物體表面上任意一點的外法向單位矢量為 或 按題意，邊界條件為 因此 即 上式的指標形式為 。如圖所示，半徑為的球體，一半沉浸在密度為的液體內，試寫出該球的全部邊界條件。 解：球面的外法向單位矢量為 或 當時，有邊界條件 即 或 。 當時，球面上的壓力為，其中為重力加速度，邊界條件為 即 或 。物體的應力狀態為，其中為矢徑的函數。(1)證明物體

4、所受的體積力是有勢力，即存在一個函數，使；(2)寫出物體表面上的面力表達式。 解：(1)應力場必須滿足平衡方程，所以 所以，只要令，就有。 (2)表面上的面力為 或 。已知六個應力分量中的，求應力張量的不變量并導出主應力公式。 解：應力張量的三個不變量為：，。 特征方程是 上式的三個根即三個主應力為和 已知三個主應力為、和，在主坐標系中取正八面體，它的每個面都為正三角形，其法向單位矢量為 ， 求八面體各個面上的正應力和剪應力。 解：， ， 。某點的應力分量為，求： (1)過此點法向為的面上的正應力和剪應力； (2)主方向、主應力、最大剪應力及其方向。 解：(1)， 。 正應力為。 剪應力為。

5、由此可知，是主應力，是和其對應的主方向。 (2)用表示主應力，則 所以，三個主應力是，。由上面的結論可知，和對應的主方向是，又因為是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。第五章把線性各向同性彈性體的應變用應力表示為，試寫出柔度系數張量的具體表達式。 解： 橡皮立方塊放在同樣大小的鐵盒內，在上面用鐵蓋封閉，鐵蓋上受均布壓力作用，如圖所示。設鐵盒和鐵蓋可以作為剛體看待，而且橡皮與鐵盒之間無摩擦力。試求鐵盒內側面所受的壓力、橡皮塊的體積應變和橡皮中的最大剪應力。 解：取壓力的方向為的方向，和其垂直的兩個相互垂直的方向為、的方向。按題意有 證明：對線性各向同性的彈性體來說，應力主方向與應變主方向是一致

6、的。非各向同性體是否具有這樣的性質試舉例說明。 解：對各向同性材料，設是應力的主方向，是相應的主應力，則 (1) 各向同性的胡克定律是 將上式代入式(1)，得，即 由此可知，也是應變的主方向。類似地可證，應變主方向也是應力主方向。因此，應力主方向和應變主方向一致。 下面假定材料性質具有一個對稱面。設所取的坐標系是應變主坐標系，且材料性質關于平面對稱。因為，所以從式得 若應變主坐標系也是應力主坐標系，則，即 上式只能在特殊的應變狀態下才能成立。總之，對各向異性材料，應力主方向和應變主方向不一定相同。對各向同性材料，試寫出應力不變量和應變不變量之間的關系。 解：由式可得主應力和主應變之間的關系 (

7、1) 第六章為什么同時以應力、應變和位移15個量作未知函數求解時，應變協調方程是自動滿足的 解：因為應變和位移滿足幾何方程，所以應變協調方程自動滿足。設 其中、為調和函數，問常數為何值時，上述的為無體力彈性力學的位移場。 解： 同理。 由上面兩式及和是調和函數可得 (1) 因、為調和函數，所以 (2) 將式(1)、(2)代入無體力的Lamé-Navier方程，得 上式成立的條件是 即 。已知彈性體的應力場為 ，。(1) 求此彈性力學問題的體力場；(2) 本題所給應力分量是否為彈性力學問題的應力場。解：證明下述Betti互易公式，其中、和、分別為同一彈性體上的兩組面力、體力和位移。證：

8、如果體積力為零，試驗證下述(Papkovich-Neuber)位移滿足平衡方程其中，。證：無體力的Lamé-Navier方程為又，所以Lamé-Navier方程可以寫成設有受純彎的等截面直桿，取桿的形心軸為軸，彎矩所在的主平面為平面。試證下述位移分量是該問題的解 。 提示：在桿的端面上，按圣維南原理，已知面力的邊界條件可以放松為 ， 其中是桿的橫截面。 證：容易驗證所給的位移分量滿足無體力時的Lamé-Navier方程。用所給的位移可以求出應變，然后用胡克定律可以求出應力： ，其它應力分量為零。 (a) 上述應力分量滿足桿側面無面力的邊界條件。桿端面的邊界條件為

9、， 式(a)表示的應力分量滿足上述端面條件。所以，所給的位移分量是受純彎直桿的解。圖表示一矩形板，一對邊均勻受拉，另一對邊均勻受壓，求應力和位移。 解：顯然板中的應力狀態是均勻的。容易驗證下述應力分量 ， 滿足平衡方程、協調方程和邊界條件，即是本問題的解。由胡克定律可求得應變為 利用題的結果，可求得位移為 彈性半空間，比重為，邊界上作用有均布壓力，設在處，求位移和應力。 解：由問題的對稱性，可以假設 ， 把上述位移分量代入Lamé-Navier方程，可以發現有兩個自動滿足，余下的一個變成 解之得 其中的、是待定常數。由已知條件得 所以 應力分量為 ，。 在邊界上的邊界條件為：，。前兩個條件自動滿足，最后一個成為 即 所以最后得 ，； ，。設一等截面桿受軸向拉力作用，桿的橫截面積為，求應力分量和位移分量。設軸和桿的軸線重合，原點取在桿長的一半處；并設在原點處，且 。 答案：當體力為零時，應力分量為 ， ， ， 式中，。試檢查它們是否可能發生。解：圖所示的矩形截面長桿偏心受壓，壓力為，偏心距為，桿的橫截面積為，求應力分量。 解：根據桿的受力特點，假設 ， 其中、是待定的常數。 長方形板，厚度為，兩對邊分別受均布的彎矩和作用，如圖所示。驗證應力分量 ，