1、DOSE, Zhejiang U第第 講講 均勻各向同性湍流均勻各向同性湍流DOSE, Zhejiang University2內容內容4 均勻各向同性湍流的相關函數均勻各向同性湍流的相關函數和譜張量和譜張量 統計理論統計理論 均勻各向同性湍流均勻各向同性湍流 相關函數和譜張量的性質相關函數和譜張量的性質 相關函數的簡化相關函數的簡化4 不可壓縮均勻各向同性湍流不可壓縮均勻各向同性湍流 動力學方程動力學方程 Reynolds應力方程應力方程 能量傳輸鏈能量傳輸鏈DOSE, Zhejiang University3引言引言統計理論統計理論 湍流運動在時間和空間上隨機，所以要湍流運動在時間和空間上

2、隨機，所以要得到湍流場的運動參量，只有采用統得到湍流場的運動參量，只有采用統計的方法，就像研究氣體分子運動一計的方法，就像研究氣體分子運動一樣。樣。 且不管這種觀點是否偏頗，長期以來統且不管這種觀點是否偏頗，長期以來統計方法的確在湍流研究中起了很大作計方法的確在湍流研究中起了很大作用，得到許多與實驗相符合的結果，用，得到許多與實驗相符合的結果，因而逐漸形成了湍流的統計理論。因而逐漸形成了湍流的統計理論。DOSE, Zhejiang University4 所謂湍流統計理論就是用流體力學和所謂湍流統計理論就是用流體力學和統計方法研究湍流。從統計觀點出發，統計方法研究湍流。從統計觀點出發，要完全描

3、述一個隨機場就必須掌握無要完全描述一個隨機場就必須掌握無窮多個聯合概率分布函數的信息，這窮多個聯合概率分布函數的信息，這對于一般湍流場來說是辦不到的，只對于一般湍流場來說是辦不到的，只有在特殊的流場中才能部分地實現。有在特殊的流場中才能部分地實現。 30年代，年代，Taylor首先提出了一種最簡首先提出了一種最簡單的理想化湍流模型，即均勻各向同單的理想化湍流模型，即均勻各向同性湍流。性湍流。DOSE, Zhejiang University5 因為在該模型中，流場不對任何特定方因為在該模型中，流場不對任何特定方向存在特殊性，所以流場及其有關變量的向存在特殊性，所以流場及其有關變量的相關函數只需

4、要最少數目的量和關系式來相關函數只需要最少數目的量和關系式來描述，因而有可能用統計的方法取得較多描述，因而有可能用統計的方法取得較多的成果。的成果。 實際上現有湍流統計理論的成果絕大部實際上現有湍流統計理論的成果絕大部分都是建立在均勻各向同性的假設之上得分都是建立在均勻各向同性的假設之上得到的。到的。 均勻各向同性包含兩層意思：均勻性與均勻各向同性包含兩層意思：均勻性與各向同性。各向同性。DOSE, Zhejiang University6 前者是指湍流場的統計平均量以及與其前者是指湍流場的統計平均量以及與其相關的性質與空間位置無關，即坐標系平相關的性質與空間位置無關，即坐標系平移不改變平均值

5、函數；后者則表示湍流的移不改變平均值函數；后者則表示湍流的統計平均性質與空間的方向無關，在坐標統計平均性質與空間的方向無關，在坐標系的任意旋轉與反射下，平均值函數保持系的任意旋轉與反射下，平均值函數保持不變。不變。 為簡單起見，在實際應用中通常都假定為簡單起見，在實際應用中通常都假定均勻各向同性湍流是對固定坐標系或以一均勻各向同性湍流是對固定坐標系或以一恒定速度運動的坐標系而言的。恒定速度運動的坐標系而言的。 DOSE, Zhejiang University7 均勻各向同性湍流雖然是一種理想化模均勻各向同性湍流雖然是一種理想化模型型，但實際流場中確實存在接近于這種理但實際流場中確實存在接近于

6、這種理想模型的情況想模型的情況，如風洞實驗段核心區的流如風洞實驗段核心區的流場、網格后的流場等。場、網格后的流場等。 更重要的是更重要的是，由由Kolmogorov的局部各的局部各向同性湍流理論可知向同性湍流理論可知，在高在高Re數下數下，許多許多從整體上看為非各向同性的流場從整體上看為非各向同性的流場，在具有在具有小尺度渦量級范圍的局部流場內卻具有接小尺度渦量級范圍的局部流場內卻具有接近于均勻各向同性的特征近于均勻各向同性的特征。即非。即非各向同性各向同性湍流的精細結構幾乎是各向同性的。湍流的精細結構幾乎是各向同性的。DOSE, Zhejiang University8 此外此外，對均勻各向

7、同性湍流的了解能為對均勻各向同性湍流的了解能為研究非各向同性湍流提供基礎和依據研究非各向同性湍流提供基礎和依據，所所以研究均勻各向同性湍流具有實際意義。以研究均勻各向同性湍流具有實際意義。 總之，湍流統計理論從隨機性出發，但總之，湍流統計理論從隨機性出發，但一個隨機場的描述非常困難，所以均勻各一個隨機場的描述非常困難，所以均勻各向同性假設是必需且合理的。向同性假設是必需且合理的。DOSE, Zhejiang University9均勻各向同性的相關函數譜張量（均勻各向同性的相關函數譜張量（1 1） 均勻湍流均勻湍流l 均勻各向同性湍流均勻各向同性湍流 如果任意如果任意n點空間幾何構形在空間中平

8、移時，脈動速點空間幾何構形在空間中平移時，脈動速度的任意度的任意n階統計相關函數的值不變，則稱該湍流場階統計相關函數的值不變，則稱該湍流場是均勻的是均勻的DOSE, Zhejiang University10 均勻各向同性湍流均勻各向同性湍流 如果任意如果任意n點統計相關函數不僅和幾何構形的平移無關，而且點統計相關函數不僅和幾何構形的平移無關，而且和幾何構形的剛體轉動無關，則稱該湍流場是均勻各向同性的和幾何構形的剛體轉動無關，則稱該湍流場是均勻各向同性的DOSE, Zhejiang University11 理論上，各向同性湍流是一種最簡單的湍流，便于做理論理論上，各向同性湍流是一種最簡單的湍

9、流，便于做理論和數值上的研究。實際上，嚴格意義上的各向同性湍流幾和數值上的研究。實際上，嚴格意義上的各向同性湍流幾乎不存在。乎不存在。 研究有兩個意義：研究有兩個意義：1）各向同性湍流具有湍流質量、能量）各向同性湍流具有湍流質量、能量輸運的基本屬性，這些性質對于研究一般湍流十分重要；輸運的基本屬性，這些性質對于研究一般湍流十分重要；2）雖然嚴格意義上的各向同性湍流并不存在，但是遠離）雖然嚴格意義上的各向同性湍流并不存在，但是遠離海面、海岸和海底的浩瀚海洋（大洋內區）中的湍流可以海面、海岸和海底的浩瀚海洋（大洋內區）中的湍流可以近似為各向同性的。近似為各向同性的。 自自20世紀世紀40年代蘇聯科

10、學家年代蘇聯科學家Kolmogorov（1941）提出）提出局部各向同性湍流的概念及其普適湍動能譜，開創了對小局部各向同性湍流的概念及其普適湍動能譜，開創了對小尺度湍流脈動一般性質的研究。尺度湍流脈動一般性質的研究。DOSE, Zhejiang University12均勻各向同性的相關函數譜張量（均勻各向同性的相關函數譜張量（2 2） 相關函數相關函數二階函數二階函數 不可壓縮流中的二階函數不可壓縮流中的二階函數l 相關函數和譜張量的性質相關函數和譜張量的性質DOSE, Zhejiang University13均勻各向同性的相關函數譜張量（均勻各向同性的相關函數譜張量（3 3） 不可壓縮流

11、中的擬渦能不可壓縮流中的擬渦能 湍動能耗散率湍動能耗散率l 相關函數和譜張量的性質相關函數和譜張量的性質DOSE, Zhejiang University14不可壓縮均勻各向同性湍流（不可壓縮均勻各向同性湍流（1 1） 譜方程譜方程l 動力學方程動力學方程DOSE, Zhejiang University15不可壓縮均勻各向同性湍流（不可壓縮均勻各向同性湍流（2 2） 譜方程的簡化譜方程的簡化l 動力學方程動力學方程忽略非線性項，得到粘性耗散的作用規律忽略非線性項，得到粘性耗散的作用規律DOSE, Zhejiang University16不可壓縮均勻各向同性湍流（不可壓縮均勻各向同性湍流（3

12、 3） 均勻各向同性湍流中湍動能波數譜演化的方程均勻各向同性湍流中湍動能波數譜演化的方程DOSE, Zhejiang University17不可壓縮均勻各向同性湍流（不可壓縮均勻各向同性湍流（8 8） 能量譜方程能量譜方程l 能量傳輸鏈能量傳輸鏈記記DOSE, Zhejiang University 湍動能的分布湍動能的分布E(k):大尺度脈動含有湍動能的絕大部分，而大尺度脈動含有湍動能的絕大部分，而小尺度脈動含有很少動能（能量的絕大部分在能譜值最大小尺度脈動含有很少動能（能量的絕大部分在能譜值最大的小波數附近）。的小波數附近）。 慣性作用的輸運慣性作用的輸運T(k):大尺度脈動（小波數）輸

13、出能量（大尺度脈動（小波數）輸出能量（T(k)eta。這時，把既遠離含能區、又遠離耗散區的范圍定。這時，把既遠離含能區、又遠離耗散區的范圍定義為慣性子區，慣性子區的尺度用義為慣性子區，慣性子區的尺度用l表示，應有表示，應有Etaleta，慣性子區中湍動能耗散不是主要的，湍動能的，慣性子區中湍動能耗散不是主要的，湍動能的傳輸是主要的；由于傳輸是主要的；由于lL，大尺度含能渦的影響已經十分，大尺度含能渦的影響已經十分微弱。微弱。在慣性子區中，湍動能輸運為：湍流脈動從大尺度湍渦逐級在慣性子區中，湍動能輸運為：湍流脈動從大尺度湍渦逐級向小尺度渦傳輸，湍渦接受大尺度脈動傳來的能量而無耗向小尺度渦傳輸，湍渦接受大尺度脈動傳來的能量而無耗散，它轉而把能量傳給更小尺度的湍渦，由于慣性子區遠散，它轉而把能量傳給更小尺度的湍渦，由于慣性子區遠離耗散區，這股能量保持它的大小并傳到耗散區。離耗散區，這股能量保持它的大小并傳到耗散區。24DOSE, Zhejiang University25 Kolmogorov-5/3冪次律冪次律 假定假定l小尺度統計特性由耗散率和流體粘性確定小尺度統計特性由耗散率和流體粘性確定l 能量傳輸鏈能量傳輸鏈DOSE, Zhejiang University Kolmogorov認為：在某一尺度范圍內，湍流脈動可以視認為：在某一尺度范圍內