1、第三節一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三重積分的概念與計算 第十章 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 設在空間有限閉區域 內分布著某種不均勻的物質,),(Czyx求分布在 內的物質的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質量 M .密度函數為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義. 設,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyx

2、fvzyxfd),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對 作任意分割任意分割: 任意取點任意取點則稱此極限為函數在上的三重積分三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似.性質性質: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf設在有界閉域 上連續,則存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 為 的體積, 積和式” 極限記作記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后

3、一”) 方法方法3 . 三次積分法 ,0),(zyxf先假設連續函數 并將它看作某物體 通過計算該物體的質量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數的積分計算. 的密度函數 , 方法:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細長柱體微元的質量為),(2yxzz ),(1yx

4、zz yxdd微元線密度記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質量為zD以xyz該物體的質量為vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設區域:利用投影法結果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(d

5、dyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當被積函數在積分域上變號時, 因為),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均為非負函數根據重積分性質仍可用前面介紹的方法計算.2),(),(zyxfzyxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 小結小結: 三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvz

6、yxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計算時應根據vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數及積分域的特點靈活選擇. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 oxyz2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 ,R),(3zyxM設,代替用極坐標將yx),z（則就稱為點M 的柱坐標.z200sinyzz cosx直角坐標與柱面坐標的關系:常數坐標面分別為圓柱面常數半平面常數z平面oz),(zyxM)0 ,(yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 如圖所示, 在柱

7、面坐標系中體積元素為zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單方程簡單 ;2) 被積函數被積函數用柱面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.zdddxyzodd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中為由例例3. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍解解: 在柱面坐標系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圓柱體.機動 目錄 上

8、頁 下頁 返回 結束 o oxyz例例4. 計算三重積分解解: 在柱面坐標系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42rzvdddd原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1 1 計算計算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdI.413 面上，

9、如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區域把閉區域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例計算計算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉一周而成軸旋轉一周而成的曲的曲面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體.解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉得，軸旋轉得，旋旋轉轉面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區域如圖所圍成立體的投影區域如圖， 2D1D,)()(21222221

10、 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 ,R),(3zyxM設),(z其柱坐標為就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系,ZOMMoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標面分別為常數r球面常數半平面常數錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyzo如圖所示, 在球

11、面坐標系中體積元素為ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標表示時方程簡單方程簡單;2) 被積函數被積函數用球面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.dddsin2rrd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 計算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyz

12、o4Rr 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6.求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,cos0:3ar 利用對稱性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面對稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標系下所圍立體為且關于 xoz dddsind2rrv yzxar機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例 3 3 計計算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體.解解 1

13、 采采用用球球面面坐坐標標az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采用柱面坐標采用柱面坐標 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr例例 4 4 求曲面求曲面22222azyx 與與22yxz 所圍所圍 成的立體體積成的立體體積.解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標標，由由

14、22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質質知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 內容小結內容小結zyxdddzddddddsin2rr積分區域多由坐標面被積函數形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系* * 說明說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2,zxz1

15、. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考與練習思考與練習六個平面圍成 ,:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設, 1:222zyx計算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用對稱性原式 = 122ddyxyx0奇函數222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zoxy23. 設由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計算.d)(2vzyxI提示提示:4利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標 rr d420dsin4020d221564機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題 1. 計算,ddd12zyxxyI所圍成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析分析：若用“先二后一”, 則有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210計算較繁! 采用“三次積分”較好.1zxy1o1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 :4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd22