1、小學五六年級奧數解題技巧奧賽專題 -抽屜原理【例 1】一個小組共有 13 名同學，其中至少有 2名同學同一個月過生日。 為什么？【分析】每年里共有 12 個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個 月。如果把這 12個月看成 12個“抽屜”，把 13名同學的生日看成 13只“蘋果”， 把 13 只蘋果放進 12 個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放 2 個蘋果，也就是 說，至少有 2 名同學在同一個月過生日。【例 2】任意 4 個自然數，其中至少有兩個數的差是 3 的倍數。這是為什 么？【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規律：如果兩個自然數除以3 的余數相同，那么這兩個自然數的差是 3 的倍數。而

2、任何一個自然數被 3除的余 數，或者是 0，或者是 1，或者是 2，根據這三種情況，可以把自然數分成 3 類，這 3 種類型就是我們要制造的 3 個“抽屜”。我們把 4 個數看作 “蘋果”，根據 抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有 2 個數。換句話說， 4 個自然數分成 3 類， 至少有兩個是同一類。既然是同一類，那么這兩個數被 3 除的余數就一定相同。 所以，任意 4 個自然數，至少有 2 個自然數的差是 3 的倍數。【例 3】有規格尺寸相同的 5 種顏色的襪子各 15只混裝在箱內，試問不論 如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有 3 雙襪子（襪子無左、右之分）？【分析與解】試想一下，從箱中取

3、出 6 只、 9只襪子，能配成 3雙襪子嗎？ 回答是否定的。按 5 種顏色制作 5 個抽屜，根據抽屜原理 1 ，只要取出 6 只襪子就總有一只 抽屜里裝 2 只，這 2 只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩 4 只，如果再補進 2 只又成 6 只，再根據抽屜原理 1，又可配成一雙拿走。如果再補進 2 只，又可取 得第 3 雙。所以，至少要取 62 2=10只襪子，就一定會配成 3 雙。思考： 1.能用抽屜原理 2，直接得到結果嗎？2.把題中的要求改為 3 雙不同色襪子，至少應取出多少只？3.把題中的要求改為 3 雙同色襪子，又如何？【例 4】一個布袋中有 35 個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種

4、 顏色球各有 10個，另外還有 3個藍色球、 2個綠色球，試問一次至少取出 多少個球，才能保證取出的球中至少有 4 個是同一顏色的球？【分析與解】從最 “不利 ”的取出情況入手。 最不利的情況是首先取出的 5個球中，有 3個是藍色球、 2個綠色球。接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過 4 個，所以，根據抽屜原理2,只要取出的球數多于（4-1） × 3=9t,即至少應取 出 10個球，就可以保證取出的球至少有 4個是同一抽屜（同一顏色）里的球。故總共至少應取出 1 05= 1 5個球,才能符合要求。思考：把題中要求改為 4 個不同色,或者是兩兩同色,情形又如

5、何？當我們遇到 “判別具有某種事物的性質有沒有,至少有幾個 ”這樣的問題 時,想到它 抽屜原理,這是你的一條 “決勝”之路。奧賽專題 -還原問題【例 1】某人去銀行取款,第一次取了存款的一半多 50元,第二次取了余下的一半多 100 元。這時他的存折上還剩 1250 元。他原有存款多少 元？【分析】從上面那個 “重新包裝 ”的事例中,我們應受到啟發：要想還原, 就得反過來做（倒推）。由 “第二次取余下的一半多 100元”可知, “余下的一半 少 100元”是 1250元,從而“余下的一半 ”是 1250+100=1350（元）余下的錢（余下一半錢的2倍）是：1350× 2=2700（

6、元）用同樣道理可算出 “存款的一半 ”和“原有存款 ”。綜合算式是：（1250+100） × 2+50 × 2=550元）還原問題的一般特點是：已知對某個數按照一定的順序施行四則運算的結 果，或把一定數量的物品增加或減少的結果，要求最初（運算前或增減變化 前）的數量。解還原問題，通常應當按照與運算或增減變化相反的順序，進行 相應的逆運算。【例 2】有 26塊磚，兄弟 2人爭著去挑，弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥 趕來了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿來一半給自己。弟弟覺得自己能行，又從哥哥那里拿來一半。哥哥不讓，弟弟只好給哥哥 5 塊，這樣哥哥比弟弟 多挑 2 塊。問最初弟弟準備挑

7、多少塊？【分析】我們得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少塊。只要解一個 “和差問 題”就知道：哥哥挑“（26+2） ÷2=4”塊，弟弟挑“2614=12”塊。提示：解還原問題所作的相應的 “逆運算 ”是指：加法用減法還原，減法用 加法還原，乘法用除法還原，除法用乘法還原，并且原來是加（減）幾，還原 時應為減（加）幾，原來是乘（除）以幾，還原時應為除（乘）以幾。對于一些比較復雜的還原問題，要學會列表，借助表格倒推，既能理清數 量關系，又便于驗算。奧賽專題 -雞兔同籠問題例 1 雞兔同籠，頭共 46，足共 128，雞兔各幾只？分析：如果 46只都是兔，一共應有 4× 46=184只腳

8、，這和已知的 128只腳 相比多了 184-128=56只腳.如果用一只雞來置換一只兔，就要減少 4-2=2（只） 腳.那么， 46只兔里應該換進幾只雞才能使 56只腳的差數就沒有了呢？顯然， 56 ÷ 2=2，8只要用 28只雞去置換 28只兔就行了 .所以，雞的只數就是 28，兔的 只數是 46-28=18。解： 雞有多少只？4× 6-128) ÷( 4-2)=(184-128) ÷ 2=56÷ 2=28（只） 免有多少只？46-28=18（只）答：雞有 28 只，免有 18 只。例 2 雞與兔共有 1 00只，雞的腳比兔的腳多 80 只，

9、問雞與兔各多少只？分析：這個例題與前面例題是有區別的，沒有給出它們腳數的總和，而是 給出了它們腳數的差 .這又如何解答呢？假設 1 00只全是雞，那么腳的總數是 2×100=20（0 只）這時兔的腳數為 0， 雞腳比兔腳多 200只，而實際上雞腳比兔腳多 80 只.因此，雞腳與兔腳的差數比 已知多了（ 200-80） =120（只），這是因為把其中的兔換成了雞 .每把一只兔換 成雞，雞的腳數將增加 2 只，兔的腳數減少 4 只.那么，雞腳與兔腳的差數增加 （2+4） =6（只），所以換成雞的兔子有 120÷6=2（0 只） .有雞（ 100-20） =80 （只）。解：（

10、2×100-8）0 ÷（ 2+4） =20（只）。100-20=80（只）。答：雞與兔分別有 80 只和 20 只。例 3 紅英小學三年級有 3 個班共 135 人，二班比一班多 5 人，三班比二班 少 7 人，三個班各有多少人？分析 1 我們設想，如果條件中三個班人數同樣多，那么，要求每班有多少人就很容易了 .由此得到啟示，是否可以通過假設三個班人數同樣多 來分析求解。結合下圖可以想，假設二班、三班人數和一班人數相同，以一班為標準， 則二班人數要比實際人數少 5 人.三班人數要比實際人數多 7-5=2（人） .那么， 請你算一算，假設二班、三班人數和一班人數同樣多，三個班

11、總人數應該是多 少？解法 1：一班： 135-5+（7-5） ÷3=132÷3=44（人）二班： 44+5=49（人）三班： 49-7=42（人）答：三年級一班、二班、三班分別有 44人、49人和 42人。 分析 2假設一、三班人數和二班人數同樣多，那么，一班人數比實際要多5 人，而三班要比實際人數多 7 人 .這時的總人數又該是多少？解法 2:（ 135+ 5+ 7 ÷3 = 147 ÷3 = 4人）49-5=44（人）， 49-7=42（人）答:三年級一班、二班、三班分別有 44人、49人和 42 人。例 4 劉老師帶了 41 名同學去北海公園劃船，

12、共租了 10 條船.每條大船坐 6 人，每條小船坐 4 人，問大船、小船各租幾條？分析我們分步來考慮: 假設租的 1 0條船都是大船，那么船上應該坐 6×10= 60人）。 假設后的總人數比實際人數多了 60-（41+1） =18（人），多的原因是把 小船坐的 4 人都假設成坐 6 人。 一條小船當成大船多出2人，多出的18人是把18÷ 2=9條）小船當成 大船。解：6 × 10-（41+ ÷（6-4）= 18 ÷ 2=（9條） 10-9=1 （條）答：有 9 條小船， 1 條大船。例 5 有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共 18 只，共有腿 118

13、條，翅膀 20 對（蜘 蛛 8 條腿；蜻蜓 6 條腿，兩對翅膀；蟬 6 條腿，一對翅膀），求蜻蜓有多少 只？分析這是在雞兔同籠基礎上發展變化的問題 .觀察數字特點，蜻蜓、蟬都 是 6 條腿，只有蜘蛛 8 條腿 .因此，可先從腿數入手，求出蜘蛛的只數 .我們假設 三種動物都是 6 條腿，則總腿數為 6× 18=10（8 條），所差 118-108=10（條）， 必然是由于少算了蜘蛛的腿數而造成的 .所以，應有（ 118-108）÷（8-6） =5 （只）蜘蛛 .這樣剩下的 18-5=13（只）便是蜻蜓和蟬的只數 .再從翅膀數入手， 假設13只都是蟬，則總翅膀數1× 13=13（對），比實際數少20-13= 7 （對）， 這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數可求