1、高等數學高等數學主主 講：林鴻鶯講：林鴻鶯電電 話：話Q: 1040588068E-mail：lhongying0908126 第二節第二節 微積分基本定理微積分基本定理一、問題的提出一、問題的提出二、積分上限函數及其導數二、積分上限函數及其導數三、牛頓三、牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式四、小結四、小結 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx變上限積分函數變上限積分函數變上限定積分）變上限定積分）一、變上限積分函數及其導數一、變上限積分函數及其導數abxyo積分上限函數的性質積分上限函數的性質xx )(x x思考題思考題 如

2、果函數如果函數)(xf在區間在區間,ba 上連續，上連續，dttfxa )( 是函數是函數 在區間在區間 上的一個原函數上的一個原函數定理定理2 2則函數 )(x)(xf,badtedxdxat：計算例1xxatxatedtedtedxd解：dttdxdx0)13cos(2：計算例dttdxdx0)13cos(解：)13cos()13cot(0 xdttdudx練習：練習：P128 13）（）（4），），21）240sinlimxaxtdtx 例例：計計算算240sinlimxaxtdtx 解解：220sin=lim2xxx2201sin=lim22xxx1=2230sin2lim4xxxx

3、定理定理 3 3微積分基本公式）微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續續函函數數)(xf在在區區間間,ba上上的的一一個個原原函函數數，則則)()()(aFbFdxxfba . .二、牛頓二、牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一個連續函數在區間一個連續函數在區間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數在區間它的任意一個原函數在區間,ba上的增量上的增量.注意注意當當ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉化為求原函數的問題求定積分問題轉化為求原函數的問題.10

4、2dxx331x2x310311313133103102xdxx 例3. 計算解 由于是的一個原函數 所以 2311 xdx31231arctan1xxdx) 1arctan(3arctan127)4 (3 例4 計算 211x 解 由于arctan x是的一個原函數 所以 121dxx1212|ln1xdxx 例5. 計算 解 ln 1ln 2ln 231)1(dxxx3ln41ln213ln29ln21)1(12231xxdxxx 例6. 計算 解 31)1(dxxx31|2|dxx52x-2xx-2)2-()-2(3222123221 -xxdxxdxx 例7. 計算 解 31|2|dx

5、x所以因為,dx|x-2|)2(-2)2(2-xxxx練習練習設設 , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規規定定當當1 x時時，5)( xf,1211200012556xdxxx 原原式式= = = =xyo12例例8 8 求求 dxxx3022cossin1原式原式dxxdxxx)1sec2()tan(sec3302022解解3320033tan2tan230dxxx例例3 3 求求 解解.112dxx 當當0 x時時，x1的的一一個個原原函函數數是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面積面積xyo 0sin xdxA 0cosx. 2 3.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數積分上限函數 xadttfx)()(2.積分上限函數的導數積分上限函數的導數)()(