1、重慶大學土木工程學院重慶大學土木工程學院構造穩(wěn)定實際主講：程 睿 : 2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲第二章 軸心受壓構件的彎曲屈曲2.1 概述2.2 軸心受壓構件的彈性彎曲屈曲2.3 軸心受壓構件的大撓度彈性實際2.4 軸心受壓構件的非彈性屈曲2.5 初始缺陷對軸心受壓構件的影響2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲2.1 概述概述軸心受壓構件的失穩(wěn)方式軸心受壓構件的失穩(wěn)方式彎曲失穩(wěn)：某個主軸平面內的變形迅速彎曲失穩(wěn)：某個主軸平面內的變形迅速添加而喪失承載力。添加而喪失承載力。 雙軸對稱截面雙軸對稱截面 改動失穩(wěn)：改動變形迅速增大而喪失

2、承改動失穩(wěn)：改動變形迅速增大而喪失承載力。載力。十字形截面十字形截面彎扭失穩(wěn)：單軸對稱構件繞對稱軸失穩(wěn)彎扭失穩(wěn)：單軸對稱構件繞對稱軸失穩(wěn)時，截面形心與剪心時，截面形心與剪心 不重合，發(fā)生彎曲的同時伴有不重合，發(fā)生彎曲的同時伴有改動。改動。 單軸對稱截面，無對稱軸截面單軸對稱截面，無對稱軸截面 彎曲屈曲是確定軸心受壓構件彎曲屈曲是確定軸心受壓構件穩(wěn)定承載力的主要根據(jù)。穩(wěn)定承載力的主要根據(jù)。2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲v荷載位移曲線荷載位移曲線vv1-小撓度實際小撓度實際 (彈性彈性)2-大撓度實際大撓度實際 (彈性彈性)3-有初彎曲時有初彎曲時(彈性彈性)4-有初偏心時有初偏

3、心時(彈性彈性)3-有初彎曲時有初彎曲時(彈塑性彈塑性)4-有初偏心時有初偏心時(彈塑性彈塑性)2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲2.2 軸心受壓構件的彈性彎曲屈曲軸心受壓構件的彈性彎曲屈曲1理想軸心壓桿的歐拉臨界力理想軸心壓桿的歐拉臨界力根本假定：根本假定：1等截面、雙軸對稱直桿，兩端理等截面、雙軸對稱直桿，兩端理想鉸接；想鉸接；2壓力經過截面形心，沿原桿件軸壓力經過截面形心，沿原桿件軸線方向作用；線方向作用；3資料具有線彈性，符合虎克定律；資料具有線彈性，符合虎克定律；4符合平截面假定；符合平截面假定；5小變形假定：小變形假定： 彎曲曲率：彎曲曲率：yyy/ 232)(1 2

4、 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲 按隨遇平衡法計算構件的分枝屈曲荷載時取圖示脫離體按隨遇平衡法計算構件的分枝屈曲荷載時取圖示脫離體并建立平衡微分方程：并建立平衡微分方程： 桿件處于臨界形狀時，內外彎矩桿件處于臨界形狀時，內外彎矩相等，即相等，即 令令 ，得：，得：此常系數(shù)二階齊次微分方程的通解：此常系數(shù)二階齊次微分方程的通解：A, B為待定系數(shù)，由邊境條件確定。為待定系數(shù)，由邊境條件確定。yEIMi PyMePyyEI 2kEIP02 ykykxBkxAycossin2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲由邊境條件得：由邊境條件得：1 那么那么2由此可得臨界力公式為：由

5、此可得臨界力公式為：與之對應的撓曲線為：與之對應的撓曲線為：kxAyByxsin , 0 000sin 0klAylx0 A0sin kllmk 2lmEIP222mcr,lEImPlxmAysinm = 1，2，3，即，即2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲v臨界力和屈曲方式臨界力和屈曲方式v v 221lEIP2224lEIP2239lEIP軸向壓力軸向壓力橫向撓度橫向撓度最低的臨界力即為歐拉臨界力最低的臨界力即為歐拉臨界力221lEIPPElxmAysin2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲v撓曲線撓曲線v 當當m = 1時時P最小，對應的撓曲線方程最小，對應的撓

6、曲線方程為為 ，為正，為正v弦曲線的一個半波；當弦曲線的一個半波；當x = l /2時，時，y = v0，A即為即為跨中最大撓度跨中最大撓度v v0，故有，故有 。v桿件可在恣意桿件可在恣意 v0值的彎曲形狀下堅持平衡。值的彎曲形狀下堅持平衡。v lxvysin0crP軸向壓力軸向壓力橫向撓度橫向撓度Av 0lxAysinv0 為不定值，在小變形假設的前提下，為不定值，在小變形假設的前提下，2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲2端部有約束的軸壓構件壓桿的高階微分方程端部有約束的軸壓構件壓桿的高階微分方程 對于兩端為恣意支承情況時，由脫離體的平衡得：對于兩端為恣意支承情況時，由脫離體

7、的平衡得：對上式求導兩次可消去等式對上式求導兩次可消去等式右端的桿端約束力：右端的桿端約束力： 令令 ，得，得 此微分方程與桿端約束力此微分方程與桿端約束力無關，故能代表各種支承情況，無關，故能代表各種支承情況，稱壓桿屈曲的高階微分方程。稱壓桿屈曲的高階微分方程。 VzMPyyEI A0 yPyEI2kEIPlMMVBAPPPP02 yky2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲方程的通解為：方程的通解為：其各階導數(shù)為：其各階導數(shù)為：A, B, C, D為待定系數(shù)，由邊境條件確定。為待定系數(shù)，由邊境條件確定。各支承情況的邊境條件：各支承情況的邊境條件： 鉸支：鉸支： 固支：固支： 自在

8、端：自在端：DCzkzBkzAycossinCkzBkkzAkysincoskzBkkzAkycossin22 )(sincos233CykkzBkkzAky 0 , 00 , 00 , 02 ykyyyyyy2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲v 兩端固定的軸心壓桿兩端固定的軸心壓桿v 邊境條件：邊境條件：v 線性齊次方程組：線性齊次方程組：v 為使關于為使關于A、B、C、D的齊次方程組有非的齊次方程組有非0解，那么其系解，那么其系數(shù)行列式應為數(shù)行列式應為0。v 0 , 0 , 0 , 000lxlxxxyyyy00sincos0cossin00010010CklBkklAkDC

9、lklBklACBkAkDCBA001sincos1cossin0101010klkklklklklk2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲那么那么由此得由此得 或或1求解第一式求解第一式 臨界力：臨界力：2求解第二式為超越方程，需采用數(shù)值解法或圖解法求解第二式為超越方程，需采用數(shù)值解法或圖解法 在坐標系中分別畫出曲線在坐標系中分別畫出曲線 和和 ，其，其交點交點 即為方程的解。即為方程的解。0)2cos2sin2(2sin2klklklkl22 tan 02sinklklkl)3 , 2 , 1(422222mcr,mlEImPEIPlmkmkl2tankly 2kly 22cr4

10、lEIP2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲取相交點的最小值，得取相交點的最小值，得 即即 結合上述兩式的解，取小值，結合上述兩式的解，取小值，得兩端嵌固桿的臨界力為：得兩端嵌固桿的臨界力為：使方程有非使方程有非0解，滿足解，滿足 = 0的的k值稱為特征值，因此解理想值稱為特征值，因此解理想軸壓桿的分岔屈曲荷載，在數(shù)學上是一個求特征值的問題。軸壓桿的分岔屈曲荷載，在數(shù)學上是一個求特征值的問題。與與k值對應的值對應的y(x)為特征函數(shù)或特征向量，即構件處于中性為特征函數(shù)或特征向量，即構件處于中性平衡時的彈性曲線方程。平衡時的彈性曲線方程。 = 0為特征方程，因為特征方程，因Pcr由由

11、 = 0求得，故又稱為屈曲方程。求得，故又稱為屈曲方程。2222cr2/4lEIlEIP22cr)2/(045. 2 43. 12lEIPkl2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲v 一端鉸接、一端固定的軸心壓桿一端鉸接、一端固定的軸心壓桿v 邊境條件：邊境條件：v 線性齊次方程組：線性齊次方程組：v 為使關于為使關于A、C的齊次方程組有非的齊次方程組有非0解，那么其系數(shù)行列式解，那么其系數(shù)行列式應為應為0。v 0 , 0 , 0 , 000 lxlxxxyyyy0cos0sin 0sincos0cossin01012CklAClklACklBkklAkDClklBklABkDB01

12、cossinklklkl力學邊力學邊境境幾何邊幾何邊境境2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲展開得展開得即即 上式稱為該壓桿穩(wěn)定的特征方程，為一超越方程，求解上式稱為該壓桿穩(wěn)定的特征方程，為一超越方程，求解臨界力的問題成為求解最小非零根的問題。其最小非零根為：臨界力的問題成為求解最小非零根的問題。其最小非零根為： 最小特征根最小特征根 即即klklklklkltan0cossinEIPk 2EIPlcr2493. 4222cr)7 . 0(19.20lEIlEIP493. 4kl2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲3軸心受壓構件的計算長度軸心受壓構件的計算長度 對其他約

13、束情況，對其他約束情況，Pcr同樣可由高階微分方程計算，同樣可由高階微分方程計算，如：如： 兩端鉸支：兩端鉸支： 一端固定一端自在：一端固定一端自在： 一端固定一端平移但不轉動：一端固定一端平移但不轉動： 可一致表示為：可一致表示為： l0稱計算長度，稱計算長度，為計算長度系數(shù)。為計算長度系數(shù)。 ) 1( 22crlEIP2)( )2(22crlEIP) 1( 22crlEIP22202cr)( lEIlEIP2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲v 討論討論 l0 l0 的本質的本質v 由曲率方程有：由曲率方程有：v 假設知桿中兩彎矩為零的截面位置分別為假設知桿中兩彎矩為零的截面位

14、置分別為z1z1、z2z2，即：，即：v 和和 v 代入上式得關于待定系數(shù)代入上式得關于待定系數(shù)A A、B B的線形齊次方程組的線形齊次方程組v 即應有即應有v 展開得：展開得： v 即即 v 令令 ，得，得 ， 解得最小值解得最小值 kzBkkzAkycossin22 01yzz 02yzz0cossin0cossin2211kzBkzAkzBkzA0coscos sinsin2121kzkzkzkz0sincoscossin2121kzkzkzkz0)sin(12 zz120zzl0kl0sin0kl2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲 由此得到與歐拉臨界力一樣的算式：由此得到

15、與歐拉臨界力一樣的算式： l0 l0的本質為點的本質為點 z1 z1、z2 z2 之間的間隔，因這兩點彎矩為零，之間的間隔，因這兩點彎矩為零，亦亦即曲率為零，故為反彎點。即曲率為零，故為反彎點。 l0 l0實踐上相當于相鄰兩反彎點處實踐上相當于相鄰兩反彎點處切切出的脫離體相當于歐拉柱的長度。出的脫離體相當于歐拉柱的長度。 202crlEIP2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲2.3 軸心受壓構件的大撓度彈性實際軸心受壓構件的大撓度彈性實際1大撓度方程大撓度方程 構件彎曲曲率與變構件彎曲曲率與變形的關系：形的關系： 兩端鉸接軸壓桿大兩端鉸接軸壓桿大撓度方程為：撓度方程為：232)(1

16、 /yy 0)(1 232 PyyyEI/2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲2討論討論 1當當PPE時，小、大撓度實際都闡明構件處時，小、大撓度實際都闡明構件處于直線穩(wěn)于直線穩(wěn) 定平衡形狀；定平衡形狀； 2當當PPE時，小撓度實際只能指出構件處于時，小撓度實際只能指出構件處于隨遇平衡隨遇平衡 形狀，只能給出分岔點和屈曲變形外形，不形狀，只能給出分岔點和屈曲變形外形，不能給出確能給出確 定的撓度值；而大撓度實際不僅能闡明構件定的撓度值；而大撓度實際不僅能闡明構件屈曲后仍屈曲后仍 處于穩(wěn)定平衡形狀，而且可以得到不同時辰處于穩(wěn)定平衡形狀，而且可以得到不同時辰的荷載與的荷載與 撓度關系；

17、撓度關系； 2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲 3兩個實際給出了一樣的分岔荷載。小撓度實際的臨界兩個實際給出了一樣的分岔荷載。小撓度實際的臨界 荷載代表了由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的分枝點，大撓荷載代表了由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的分枝點，大撓 度實際的分岔荷載那么是由直線穩(wěn)定平衡形狀到曲線度實際的分岔荷載那么是由直線穩(wěn)定平衡形狀到曲線穩(wěn)穩(wěn) 定平衡形狀的分枝點；定平衡形狀的分枝點； 4大撓度實際得到的屈曲后荷載有所提高，但當撓度達大撓度實際得到的屈曲后荷載有所提高，但當撓度達 到構件長度到構件長度3%以上時，跨中彎曲應力將使截面進入彈以上時，跨中彎曲應力將使截面進入彈 塑性形狀，出現(xiàn)下降

18、段。因此軸心壓桿的屈曲后強度塑性形狀，出現(xiàn)下降段。因此軸心壓桿的屈曲后強度 不能被利用。不能被利用。2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲2.4 軸心受壓構件的非彈性屈曲軸心受壓構件的非彈性屈曲歐拉臨界力及臨界應力只適用于資料為歐拉臨界力及臨界應力只適用于資料為彈性時的情況，應彈性時的情況，應 力一旦超越資料的比例極限，那么歐力一旦超越資料的比例極限，那么歐拉公式不再適用。拉公式不再適用。臨界長細比臨界長細比 ppp22pcrEE彈性失穩(wěn)和彈性失穩(wěn)和彈塑性失穩(wěn)彈塑性失穩(wěn)的分界點的分界點2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲1切線模量實際切線模量實際 由德國科學家恩格塞爾由德

19、國科學家恩格塞爾Engesser在在1889年年提出。提出。 根本假定：在彎曲時全截面沒有出現(xiàn)反號應變。根本假定：在彎曲時全截面沒有出現(xiàn)反號應變。 到達彈塑性失穩(wěn)荷載到達彈塑性失穩(wěn)荷載Pt后，后，構件微彎時荷載還略有添構件微彎時荷載還略有添加，加，而且添加的平均軸向應力而且添加的平均軸向應力正好正好抵消因彎曲而在抵消因彎曲而在11截面截面右側右側邊緣產生的拉應力。邊緣產生的拉應力。即：即：凹面壓應力添加為凹面壓應力添加為max；凸面壓應力添加量正好為凸面壓應力添加量正好為0。2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲作用于作用于1 11 1截面上的壓力為：截面上的壓力為：作用于作用于1

20、11 1截面上的內力矩為：截面上的內力矩為：ttAtAPPPdAdAP)(AAAAizdAChdAzhdAzhCzdAzM2max2max2max全截面對形心全截面對形心軸的面積矩為軸的面積矩為0hEEtmaxtmaxyIEIE tt2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲恣意截面恣意截面i i上的內力彎矩和軸力對原點的平衡方程為：上的內力彎矩和軸力對原點的平衡方程為：代入前面推導得到的軸力和彎矩，那么代入前面推導得到的軸力和彎矩，那么求解微分方程，得：求解微分方程，得：其中其中PtPt和和EtEt均為未知，需求迭代求解。均為未知，需求迭代求解。0PyMPyMii0 Pyy IEtEt

21、2t2tPEElIEPtttPEP2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲2雙模量實際折算模量實際雙模量實際折算模量實際 由德國科學家恩格塞爾由德國科學家恩格塞爾Engesser在在1895年年提出。提出。 根本假定：根本假定： 1在彎曲時全截面出現(xiàn)反號應變；在彎曲時全截面出現(xiàn)反號應變； 2壓桿屈曲時壓力堅持不變。壓桿屈曲時壓力堅持不變。v 彎曲時凹面產生正號應變，彎曲時凹面產生正號應變，凸面產生負號應變；凸面產生負號應變；v 即：即：v 凹面為繼續(xù)加載區(qū)，凹面為繼續(xù)加載區(qū)，v 凸面為卸載區(qū)。凸面為卸載區(qū)。v 加載區(qū)變形模量為加載區(qū)變形模量為Et；卸載；卸載區(qū)變形模量為區(qū)變形模量為E0

22、1121222max2111max12211AAAAdAzCdAzCdAdA2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲作用于作用于1 11 1截面上的壓力變化值為：截面上的壓力變化值為：由于屈曲后壓力堅持不變，因此由于屈曲后壓力堅持不變，因此那么那么 即即由上式可以求出中性軸的位置。由上式可以求出中性軸的位置。21221121PPdAdAPAA1tmax1tmax1CEE2max2max2CEE0)(212211tAAdAEzdAzE021t ESSE2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲1-1截面上的內力矩：截面上的內力矩：yEIIEEIIEIEIEdAzEdAzEdAzCd

23、AzCdAzdAzMAAAAAAi )()(21t21t21t222121t2222max21211max12221112121212 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲恣意截面恣意截面i上的內力彎矩和軸力對原點的平衡方程為：上的內力彎矩和軸力對原點的平衡方程為：即即求解微分方程，得：求解微分方程，得：其中其中 為折算模量，與為折算模量，與E, Et和截面外形有關。和截面外形有關。Pt小于小于Pr，曾以為雙模量實際更為完善，但研討闡明，曾以為雙模量實際更為完善，但研討闡明Pt更接更接近實驗結果。近實驗結果。0PyMPyMii0)(21t PyyEIIEEr2r2221t2r)(PEE

24、lIElEIIEPIEIIEE21tr2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲3Shanley實際實際 Shanley于于1947年設計了年設計了Shanley模型來解釋實模型來解釋實驗值更接驗值更接近切線模量實際。近切線模量實際。 力學模型：力學模型：1模型有三部分組成：兩根模型有三部分組成：兩根l/2長的剛性桿長的剛性桿和中間銜接的彈塑性鉸；和中間銜接的彈塑性鉸； 2彈塑性變形全部集中在彈塑性鉸處發(fā)生；彈塑性變形全部集中在彈塑性鉸處發(fā)生；3鉸的鉸的 -曲線是折線。曲線是折線。彈塑性鉸由兩根很短的可變形縱向桿件組成。彈塑性鉸由兩根很短的可變形縱向桿件組成。 EtE EtE 2 軸心受

25、壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲 鉸的彈性模量為鉸的彈性模量為E，切線模量為，切線模量為Et，鉸的肢長為，鉸的肢長為h，肢距為，肢距為h，每肢面積為，每肢面積為A/2； 當當P到達臨界時，由直桿變?yōu)槲潱疸q的左右肢桿應變到達臨界時，由直桿變?yōu)槲潱疸q的左右肢桿應變?yōu)闉?和和2，兩肢變形如圖，兩肢變形如圖 ；桿端轉角：桿端轉角：跨中撓度：跨中撓度：22221210hhh)(42210lld 02 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲 假設彎曲凹面和凸面的變形模量為假設彎曲凹面和凸面的變形模量為E1和和E2，那么因屈曲，那么因屈曲而產生而產生的內力的內力P1和和P2：鉸處的內

26、彎矩：鉸處的內彎矩：鉸處的外彎矩：鉸處的外彎矩： 由內外彎矩平衡得：由內外彎矩平衡得：2111AEP2222AEP4)(21lPdPMe)(422221121EEAhhPhPMi 0212211EElAhP2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲v 討論討論v 1當構件在彈性形狀失穩(wěn)時，即當構件在彈性形狀失穩(wěn)時，即E1=E2=E，那么：，那么：v 2當構件在彈塑性形狀失穩(wěn)時，按切線模量實際，當構件在彈塑性形狀失穩(wěn)時，按切線模量實際， E1=E2 v = Et，那么：，那么：v 顯然，假設顯然，假設E1=E2=Et，那么，那么P2必為受壓，即必為受壓，即2必為必為縮短，縮短，20v 因壓

27、力增量因壓力增量 v 亦即當亦即當20時，時， P0。假設要。假設要 P=0，只需，只需1=2，即，即d=0。闡明。闡明v 切線模量荷載切線模量荷載Pt是壓桿堅持平直形狀時的最大壓力；是桿是壓桿堅持平直形狀時的最大壓力；是桿件件v 開場屈曲時的最小壓力，亦即在發(fā)生彎曲時壓力必需添加。開場屈曲時的最小壓力，亦即在發(fā)生彎曲時壓力必需添加。EcrPlAhEPtEttcrPPEElAhEP)(2221121EEAPPP2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲3當構件在彈塑性形狀失穩(wěn)時，假設當構件在彈塑性形狀失穩(wěn)時，假設12，亦即，亦即d 0，要要 P=0，那么必需有，那么必需有E11=E22，

28、且，且E1=Et，E2=E，那，那么：么： 其中：其中： 是是Shanley模型的折算模量。模型的折算模量。rErttcr2PPEEEEEElAhPttr2EEEEE 由比較可知EtErE，因此PtPrEt ，故，故PrPt ，Pr是壓桿屈曲后的漸進線，實是壓桿屈曲后的漸進線，實踐上踐上v 是達不到的，即是達不到的，即Pt PPr；v 3實踐的實踐的Et隨隨Pt的添加而減少不是常數(shù)，因此曲線下降。的添加而減少不是常數(shù)，因此曲線下降。rttttt21/212PlAhEEEEPEEEEPPtPPrPtd2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲2.5 初始缺陷對軸心受壓構件的影響初始缺陷對軸

29、心受壓構件的影響初始缺陷初始缺陷 幾何缺陷：初彎曲、初偏心幾何缺陷：初彎曲、初偏心 力學缺陷：剩余應力力學缺陷：剩余應力1初彎曲的影響初彎曲的影響 假設初彎曲外形為正弦半波，跨中假設初彎曲外形為正弦半波，跨中最大初撓度為最大初撓度為v0，即：，即：內彎矩：內彎矩：外彎矩：外彎矩： yEIMi )sin(0lzvyPMelzvysin002 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲 由兩端鉸接桿的失穩(wěn)變形可知，添加由兩端鉸接桿的失穩(wěn)變形可知，添加的變形也為正弦半波曲線：的變形也為正弦半波曲線：由內外彎矩平衡得：由內外彎矩平衡得： 即即 ，那么，那么跨中總撓度跨中總撓度 0sin)(01 lz

30、vvPyEIlzlysin 22 0sin)( 01122lzvvPvlEI001EPvvPPPPPvvE01E0E00011PPvPPPvvvvvlzvysin12 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲施工驗收規(guī)范規(guī)定柱施工驗收規(guī)范規(guī)定柱的的最大初始撓度為最大初始撓度為l /1000v 討論討論v 1 v與與v0成正比，與成正比，與P是非線性關系，當是非線性關系，當P =0時，時， v =v00；v 2當當P PE時，時，v ，即以歐拉臨界力為漸進線，最，即以歐拉臨界力為漸進線，最大撓大撓v 度與度與v0無關；無關；v 3一樣壓力下，初彎曲一樣壓力下，初彎曲v0越大，越大，v 桿的撓

31、度越大。桿的撓度越大。lzPvqsin01v2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲4跨中撓度跨中撓度v可了解為逐級開展過程共軛梁法可了解為逐級開展過程共軛梁法 跨中撓度：跨中撓度： v1引起的附加彎矩產生的撓度：引起的附加彎矩產生的撓度： 以此類推得總撓度關系：以此類推得總撓度關系： 括號內為無窮等比級數(shù)，當括號內為無窮等比級數(shù)，當P/PE1時級數(shù)收斂；得到與時級數(shù)收斂；得到與前述一樣的結果，前述一樣的結果， 稱為撓度或彎矩放大系數(shù)。稱為撓度或彎矩放大系數(shù)。0E2201 vPPEIlPvv02E1E2212 vPPvPPEIlvPv0E02EE0 11vPPvPPPPvv表達了一階彎

32、矩和二階表達了一階彎矩和二階彎矩的差別，即構件本彎矩的差別，即構件本身的二階效應，即：身的二階效應，即： P- P-效應。效應。2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲5上式僅在凹側應力上式僅在凹側應力 max fy 有效，極限條件是有效，極限條件是 稱邊緣纖維屈服準那么。稱邊緣纖維屈服準那么。 上式即上式即 或或 令令 初始偏心率，得：初始偏心率，得： 解得解得 上式由上式由Perry在在1886年首先提出，故稱為年首先提出，故稱為Perry公式，公式， 初彎曲桿能接受的最大荷載初彎曲桿能接受的最大荷載P = A。 yfWMAPyE01fWPPPvAPyE011fWPPAvAPWAv

33、0yE11fEy2EyEy2)1 (2)1 (fff2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲2初偏心的影響初偏心的影響 圖示桿件兩端荷載存在初偏心距圖示桿件兩端荷載存在初偏心距e0，桿件在彈性階，桿件在彈性階段任務，段任務，其內、外彎矩的平衡方程為：其內、外彎矩的平衡方程為：上式的通解為上式的通解為 由邊境條件由邊境條件 y(0)=0 和和 y(l)=0 得到得到B=e0和和 ，即：，即：跨中撓度跨中撓度0cossinekzBkzAy0)(0 eyPyEI0sincos1eklklA0) 1cossinsincos1(ekzkzklkly00) 12cos2sinsincos1(ekl

34、klklklv2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲 化簡后得化簡后得討論討論1 1v0v0是是P P的非線性函數(shù)，當?shù)姆蔷€性函數(shù)，當P =0P =0時，時， v0=0 v0=0，但一開場加載桿件即發(fā)生，但一開場加載桿件即發(fā)生 彎曲；彎曲；2 2v0v0在加載初期增長較慢，后隨在加載初期增長較慢，后隨P P的加大而增長加快，當?shù)募哟蠖鲩L加快，當 PPE PPE時，時，vv，以歐拉臨界力為漸進線；，以歐拉臨界力為漸進線；3 3偏心較大時臨界力明顯低于歐拉臨界力；假設偏心很小，偏心較大時臨界力明顯低于歐拉臨界力；假設偏心很小， 那么那么v0v0在在PPEPPE前都很小。前都很小。 與初

35、彎曲的影響無本質區(qū)別。與初彎曲的影響無本質區(qū)別。0E0) 12(secePPve0=0.3e0=0.12 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲4根據(jù)邊緣纖維屈服準那么，構件中點截面邊緣纖維的壓根據(jù)邊緣纖維屈服準那么，構件中點截面邊緣纖維的壓應應 力最大值：力最大值： 即即 ，此時為初偏心桿的相關公式。，此時為初偏心桿的相關公式。 yE0002sec1fPPWAeAPWevPAPWMAP12secEy0yPPMMPP正割公式正割公式4E2EE224522112secPPPPPPE2EE111PPPPPPEEE1234. 012secPPPPPP1)1 ()234. 01 (EyE0yPP

36、MPPMPP2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲3剩余應力的影響剩余應力的影響1剩余應力對桿件平均的應力剩余應力對桿件平均的應力-應變曲線的影響應變曲線的影響剩余應力的存在降低了比例極限；剩余應力的存在降低了比例極限； fy ( fp, y ) fp ( p ) fp = fy - rc 有效比例極限有效比例極限對于中長柱，當屈曲應力超越有對于中長柱，當屈曲應力超越有效比例極限時，剩余應力將降低效比例極限時，剩余應力將降低構件的抗彎剛度，從而降低其屈構件的抗彎剛度，從而降低其屈曲荷載。曲荷載。2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲2軸壓構件臨界應力軸壓構件臨界應力 cr與

37、與的關系柱子曲線的關系柱子曲線理想彈塑性理想彈塑性非理想彈塑性（有缺陷影響）非理想彈塑性（有缺陷影響）彈性（歐拉臨界應力公式）彈性（歐拉臨界應力公式）彈性（歐拉臨界應力公式）彈性（歐拉臨界應力公式）彈性（歐拉臨界應力公式）彈性（歐拉臨界應力公式）彈性（歐拉臨界應力公式）彈性（歐拉臨界應力公式）psyfpfcrpsyfpfcr 長細比一樣時，初始缺陷越大，長細比一樣時，初始缺陷越大， 臨界承載力越低。臨界承載力越低。2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲3思索剩余應力的軸心壓桿的屈曲荷載思索剩余應力的軸心壓桿的屈曲荷載 剩余應力有一定的分布方式，思索超越屈服點后，彈性剩余應力有一定的分

38、布方式，思索超越屈服點后，彈性 中心繼續(xù)接受荷載，屈服部分退出任務。中心繼續(xù)接受荷載，屈服部分退出任務。 臨界荷載臨界荷載 臨界應力臨界應力 其中其中Ie / I 為臨界荷載或臨界應力為臨界荷載或臨界應力降低系數(shù)，取決于剩余應力的分布、截降低系數(shù)，取決于剩余應力的分布、截面外形和彎曲方向。面外形和彎曲方向。以軋制以軋制H型鋼為例型鋼為例IIlEIlEIPe222e2crIIEe22crkbbhbthtbIIe22exex2/2/333e33eyey12/212/2kbbtbtbII2 軸心受壓構件的彎曲屈曲軸心受壓構件的彎曲屈曲v k值的求法值的求法 短柱實驗短柱實驗v 當進入彈塑性后，屈服部分退出任務，抵抗應變全靠當進入彈塑性后，屈服部分退出任務，抵抗應變全靠彈性彈性v 區(qū)截面面積區(qū)截面面積Ae承當。當軸心壓力增量為承當。當軸心壓力增量為P時，時，v 平均應力增量：平均應力增量： =P /Av 應變增量：應變增量： =P /(AeE)v與截面平均應力對應的切線模量：與截面平均應力對應的切線模量：v由前述由前述H型鋼，型鋼，v 所以可以經過短柱實驗測出切線模量，從而得到剩余所以可以經過短柱實驗測出切線模量，從而得到剩余應力應力v影響系數(shù)影響系數(shù)k。EAAEAPAPddEeet)/(/P全部由彈性全部由彈性