1、內(nèi)容提要內(nèi)容提要7.1 7.1 典型非線性特性典型非線性特性 7.2 7.2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法 * *7.3 7.3 相平面法相平面法 前面幾章討論的都是線性系統(tǒng)，實(shí)際上所有的實(shí)前面幾章討論的都是線性系統(tǒng)，實(shí)際上所有的實(shí)際系統(tǒng)都不可避免地帶有某種程度的非線性，只要具際系統(tǒng)都不可避免地帶有某種程度的非線性，只要具有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)，就稱作有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)，就稱作，因此嚴(yán)格的，因此嚴(yán)格的說所有系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。說所有系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。 在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的靜靜特性曲線，不是一條直線，則稱為特性曲線，不是一條直線，則稱為非線性

2、特性非線性特性。如果這。如果這些非線性特性不能采用線性化的方法來處理，稱這類非些非線性特性不能采用線性化的方法來處理，稱這類非線性為線性為本質(zhì)非線性本質(zhì)非線性。為簡化對問題的分析，通常將這些。為簡化對問題的分析，通常將這些本質(zhì)非線性特性用簡單的折線來代替，稱為本質(zhì)非線性特性用簡單的折線來代替，稱為典型非線性典型非線性特性。特性。7.1.1 典型非線性特性的種類典型非線性特性的種類 飽和特性的靜特性曲線如圖飽和特性的靜特性曲線如圖7-1所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：為： 式中，式中，a為線性區(qū)寬度；為線性區(qū)寬度；k為線性區(qū)斜率。飽和為線性區(qū)斜率。飽和特性的特性的是：輸入信號超過某一范圍

3、后，輸出不是：輸入信號超過某一范圍后，輸出不再隨輸入的變化而變化，而是保持在某一常值上。再隨輸入的變化而變化，而是保持在某一常值上。飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，常見的調(diào)節(jié)飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，常見的調(diào)節(jié)器就具有飽和特性。器就具有飽和特性。 yxka-a0圖圖7-1 飽和特性飽和特性M-M,|,M xaykxxaM xa 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為0,|(),(),xayk xaxak xaxa yxka-a0圖圖7-2 死區(qū)特性死區(qū)特性 死區(qū)又稱不靈敏區(qū)，在死區(qū)內(nèi)雖有輸入信號，但其輸死區(qū)又稱不靈敏區(qū)，在死區(qū)內(nèi)雖有輸入信號，但其輸出為零，其靜持性關(guān)系如圖出為零，其靜持性關(guān)系如

4、圖7-27-2所示。所示。若引入符號函數(shù)若引入符號函數(shù) 0101xxsignx,aaxxasignxxky )(0 死區(qū)小時(shí)，可忽略；大死區(qū)小時(shí)，可忽略；大時(shí)，需考慮。工程中，為抗時(shí)，需考慮。工程中，為抗干擾，有時(shí)故意引入。比如干擾，有時(shí)故意引入。比如操舵系統(tǒng)。操舵系統(tǒng)。 滯環(huán)特性滯環(huán)特性 滯環(huán)特性表現(xiàn)為正向與反向特性不是重疊在一起，而是滯環(huán)特性表現(xiàn)為正向與反向特性不是重疊在一起，而是在輸入在輸入-輸出曲線上出現(xiàn)閉合環(huán)路。其靜特性曲線如圖輸出曲線上出現(xiàn)閉合環(huán)路。其靜特性曲線如圖7-37-3所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：()00k xasignxyybsignxy 這類特性，當(dāng)輸入

5、信號小于間隙這類特性，當(dāng)輸入信號小于間隙a時(shí)，輸出不變。當(dāng)時(shí)，輸出不變。當(dāng)xa時(shí)，輸出線性變化；輸入反向時(shí)，輸出保持在方向發(fā)生變時(shí)，輸出線性變化；輸入反向時(shí)，輸出保持在方向發(fā)生變化時(shí)的輸出值上，直到變化化時(shí)的輸出值上，直到變化2a后，才再線性變化。后，才再線性變化。 例如：鐵磁材料，齒輪的齒隙，液壓傳動中的間隙等。例如：鐵磁材料，齒輪的齒隙，液壓傳動中的間隙等。yx圖圖7-3 滯環(huán)特性滯環(huán)特性0b-ba-a繼電器特性繼電器特性 繼電器非線性特性一般可用圖繼電器非線性特性一般可用圖7-47-4表示，不僅包含表示，不僅包含死區(qū)死區(qū)，而且還具有，而且還具有滯環(huán)滯環(huán)特性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：特性，其數(shù)學(xué)表

6、達(dá)式為：yx圖圖7-4 繼電器特性繼電器特性0ama-a -mab-b000000 xmaxaxaxmaaxxmaxaxaxmabbbsignxy, (1)若若a0，稱這種特性為，稱這種特性為，如圖，如圖7-5 (a)所示所示.(2)若若m=1，其靜特性如圖，其靜特性如圖7-5(b)所示，所示， 則稱為則稱為.(3)若若m-1，則稱為，則稱為， 如圖如圖7-5(c)所示。所示。圖圖7-5 三種繼電器特性三種繼電器特性（a）理想繼電器特性）理想繼電器特性 （b）死區(qū)繼電器特性（）死區(qū)繼電器特性（c）滯環(huán)繼電器特性）滯環(huán)繼電器特性yx0b-b(a)yx圖圖7-4 繼電器特性繼電器特性0ama-a

7、-mab-byxa-a0-bb(b)yxa-a0-bb(c) 非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)最本質(zhì)的區(qū)別為：由非非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)最本質(zhì)的區(qū)別為：由非線性微分方程描述，線性微分方程描述，故在非線，故在非線性系統(tǒng)中將出現(xiàn)一些線性系統(tǒng)見不到的現(xiàn)象，兩性系統(tǒng)中將出現(xiàn)一些線性系統(tǒng)見不到的現(xiàn)象，兩者之間有著不同的運(yùn)動規(guī)律。者之間有著不同的運(yùn)動規(guī)律。 上述介紹的是一些典型特性。實(shí)際中的非線性還上述介紹的是一些典型特性。實(shí)際中的非線性還有好多復(fù)雜的情況，有些是它們的組合；還有一有好多復(fù)雜的情況，有些是它們的組合；還有一些很難用一般的函數(shù)來描述，可以稱為不規(guī)則非些很難用一般的函數(shù)來描述，可以稱為不規(guī)則非線性。線性。

8、對于對于線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入信號及初始條件無關(guān)。而非線性系統(tǒng)卻復(fù)雜的多。統(tǒng)的輸入信號及初始條件無關(guān)。而非線性系統(tǒng)卻復(fù)雜的多。 考慮非線性一階系統(tǒng)：考慮非線性一階系統(tǒng)：2(1)xxxx x 設(shè)設(shè)t = 0時(shí)時(shí),系統(tǒng)的初始狀態(tài)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0 (1)dxdtx x 000( )1ttx ex txx e 10 x(t)tx01x01，t lnx0/(x0 1) 時(shí)，隨時(shí)，隨t增大，增大，x(t) 遞增；遞增；t = lnx0 /(x0 1) 時(shí)，時(shí)，x(t)為為無窮大。當(dāng)無窮大。當(dāng)x0aAa時(shí)，時(shí)，比例系數(shù)總

9、小于比例系數(shù)總小于k k. P255表表7-1列出了常見的非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)列出了常見的非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)N(A)N(A)以及相應(yīng)以及相應(yīng)的負(fù)倒特性曲線的負(fù)倒特性曲線 -1/N(A)-1/N(A)，供分析時(shí)參考。，供分析時(shí)參考。，飽和特性，死區(qū)特性飽和特性，死區(qū)特性！7.2.3 7.2.3 組合非線性特性的描述函數(shù)組合非線性特性的描述函數(shù) 以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對于復(fù)雜的非線性特性，完以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對于復(fù)雜的非線性特性，完全可以利用這種方法求出其描述函數(shù)，但計(jì)算也復(fù)雜得多。此時(shí)全可以利用這種方法求出其描述函數(shù)，但計(jì)算也復(fù)雜得多。此時(shí)也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干

10、個(gè)簡單非線性特性的組合，也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個(gè)簡單非線性特性的組合，即即串并聯(lián)串并聯(lián)，再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜，再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線件特性的描述函數(shù)。非線件特性的描述函數(shù)。212( )arcsin1 ()BkaaaN AAAAA 設(shè)有兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是設(shè)有兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是，即它們的描述函數(shù)都是，即它們的描述函數(shù)都是，如圖，如圖7-11所示。所示。N1N2+x(t)y12(t)y1(t) 圖圖7-11 兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)y11(t) 當(dāng)輸入為當(dāng)輸入為x( t)Asint時(shí)

11、，則兩個(gè)環(huán)節(jié)輸出的時(shí)，則兩個(gè)環(huán)節(jié)輸出的基波分量基波分量分別為輸分別為輸入信號乘以各自的描述函數(shù)，即入信號乘以各自的描述函數(shù)，即21211212111NNNtANNtytANtytANty sin)()(sin)(sin)( 例例7.1 下圖為一個(gè)具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)下圖為一個(gè)具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)N(A).具有死區(qū)的非線性特性的并聯(lián)分解具有死區(qū)的非線性特性的并聯(lián)分解00Mkxy+xk0My解：解：可見，該死區(qū)非線性特性可分解為一個(gè)死區(qū)繼電器可見，該死區(qū)非線性特性可分解為一個(gè)死區(qū)繼電器特性和一個(gè)典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為特性和一個(gè)典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為 )(12

12、4arcsin2)(1arcsin2214)(222 AAAkMAkkAAAkAAMAN N1N2xyNyxz21NNN 必須首先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后必須首先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性等效的非線性特性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。yz021k2=2xy10k=222-2-110k=2x22-110k=2x22-2yy10k1=1xz2 例例7-2 7-2 求圖求圖7-127-12所示兩個(gè)非線性特性串聯(lián)后總的描所示兩個(gè)非線性特性串聯(lián)后總的描述函數(shù)述函數(shù)N(A)N(A)。解；這是一個(gè)死區(qū)特性和一個(gè)飽和特性相串聯(lián)。解；這

13、是一個(gè)死區(qū)特性和一個(gè)飽和特性相串聯(lián)。 根據(jù)各串聯(lián)環(huán)節(jié)輸入輸出之間的關(guān)系，可以等效為根據(jù)各串聯(lián)環(huán)節(jié)輸入輸出之間的關(guān)系，可以等效為一個(gè)一個(gè)的非線性特性。的非線性特性。 為求得這個(gè)等效非線性特性的描述函數(shù)，為求得這個(gè)等效非線性特性的描述函數(shù)，又可將其又可將其分解為兩個(gè)具有完全相同線性區(qū)斜率分解為兩個(gè)具有完全相同線性區(qū)斜率k=2和不同死區(qū)寬和不同死區(qū)寬度死區(qū)特性的并聯(lián)相減，故總的描述函數(shù)為：度死區(qū)特性的并聯(lián)相減，故總的描述函數(shù)為：21112222222( )arcsin1 ()22arcsin1 ()24212211arcsinarcsin1 ()1 ()(1)kN AAAAkAAAAAAAAAA 習(xí)

14、題：習(xí)題：1. 求圖示求圖示3個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，并求其描述函數(shù)，其中并求其描述函數(shù)，其中Mh。0hM0M-M0M-Mh0M-M2. 圖示圖示2個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性。個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性。0M-M0ab0aM7.2.4 7.2.4 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng) 前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通過描述函數(shù)，一個(gè)非線性環(huán)節(jié)就可看作一個(gè)線過描述函數(shù)，一個(gè)非線性環(huán)節(jié)就可看作一個(gè)線性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于

15、是就可進(jìn)一步應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法進(jìn)行分于是就可進(jìn)一步應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法進(jìn)行分析。析。 這種方法只能用于分這種方法只能用于分析系統(tǒng)的析系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性和和自振蕩自振蕩。 1 1 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足7.2節(jié)所要求的節(jié)所要求的描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)描述函數(shù)N(A)來表示，而線性部分可用傳遞函來表示，而線性部分可用傳遞函G(s)或頻率特性或頻率特性G(j)表示，如圖表示，如圖7-15所示。所示。圖圖7-15 非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖x(t)y

16、(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t) -()()()()()1()()1()()01()()CjNA GjjRjNA GjNA GjGjNA 由由 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 圖圖 可可 以以 得得 到到 線線 性性 化化 后后 的的 閉閉 環(huán)環(huán) 系系 統(tǒng)統(tǒng)的的 頻頻 率率 特特 性性 為為而而 閉閉 環(huán)環(huán) 系系 統(tǒng)統(tǒng) 特特 征征 方方 程程 為為或或x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖圖7-15 非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 - 通過對比會發(fā)現(xiàn)通過對比會發(fā)現(xiàn):在線性系統(tǒng)分析中在線性系統(tǒng)分析中 當(dāng)應(yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)，若當(dāng)應(yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)，若滿足滿足G(j)-1+j0，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)

17、定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩狀態(tài)。，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩狀態(tài)。 顯然，式顯然，式(7-29)中的中的-1/N(A)相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的(-1，j0)點(diǎn)。點(diǎn)。區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是一個(gè)區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是一個(gè)。而非線性系。而非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是統(tǒng)的臨界狀態(tài)是-1/N(A)曲線。通常又將曲線。通常又將-1/N(A)曲線稱為曲線稱為負(fù)倒特負(fù)倒特性曲線性曲線。 綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別方法：別方法：G(j)G(j)- -1 1/N(A)/N(A)線性系統(tǒng)閉環(huán)特征方程線性系統(tǒng)閉環(huán)

18、特征方程: 1+G(j)=0或或 G(j)= -1非線性系統(tǒng)閉環(huán)特征方程非線性系統(tǒng)閉環(huán)特征方程: : 1+N(A)G(j)=0或或 G(j)= -1/N(A) 式式(7-29) (1)若若G(s)曲線不包圍曲線不包圍-1/N(A)曲線，如圖曲線，如圖7-16(a)所示，所示，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 (2)若若G(s)曲線包圍曲線包圍-1/N(A)曲線，如圖曲線，如圖7-16(b)所示，則所示，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 (3)若若G(s)曲線與曲線與-1/N(A)曲線相交，如圖曲線相交，如圖7-16(c)所示，所示，則在理論上將產(chǎn)生等幅振蕩或稱為則在理

19、論上將產(chǎn)生等幅振蕩或稱為。0ImG(jw)-1/N(A)Re0ReImG(jw)-1/N(A)Im0G(jw)-1/N(A)M1M2Re圖圖7-16 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (a),(b),(c)2 自振蕩的分析與計(jì)算自振蕩的分析與計(jì)算 若若G(j)曲線與曲線與-1/N(A)曲線相交，則系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩。曲線相交，則系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩。 下面從信號的角度進(jìn)一步分析下面從信號的角度進(jìn)一步分析自振蕩產(chǎn)生的條件自振蕩產(chǎn)生的條件。 在圖在圖7-15所示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自振蕩，則意味著系統(tǒng)中所示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自振蕩，則意味著系統(tǒng)中有一個(gè)正弦信號在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入

20、信號為有一個(gè)正弦信號在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為 x(t)=Asint 則非線性環(huán)節(jié)輸出信號基波分量為則非線性環(huán)節(jié)輸出信號基波分量為而線性部分的輸出信號為而線性部分的輸出信號為1( ) |( )|sin( )y tN AAtN A ( ) | () ( )|sin()( )c tG jN A AtG jN A x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖圖7-15非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 -( )0( )( )sin|()( )|sin()( )|()( )| 1()( )r tx tc tAtG jN AAtG jN AG jN AG jN A 根據(jù)系統(tǒng)存在

21、自振蕩的假設(shè),故即所以x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖圖7-15 非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 -0ImG(jw)-1/N(A)ReM2M1 自振蕩也存在一個(gè)自振蕩也存在一個(gè)問題，因此必須進(jìn)一步研究自問題，因此必須進(jìn)一步研究自振蕩的穩(wěn)定性。振蕩的穩(wěn)定性。 若系統(tǒng)受到擾動偏離了原來周期運(yùn)動狀態(tài)，當(dāng)擾動消若系統(tǒng)受到擾動偏離了原來周期運(yùn)動狀態(tài)，當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)能夠重新收斂于原來的等幅振蕩狀態(tài)，稱為失后，系統(tǒng)能夠重新收斂于原來的等幅振蕩狀態(tài)，稱為，反之，稱為不穩(wěn)定的自振蕩。，反之，稱為不穩(wěn)定的自振蕩。 以上圖為例，以上圖為例，G (j)與與-1/N(A)曲線有兩個(gè)交

22、點(diǎn)，說明存曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，說明存在兩個(gè)自振蕩點(diǎn)。對于在兩個(gè)自振蕩點(diǎn)。對于M1點(diǎn)，若受到干擾使振幅點(diǎn)，若受到干擾使振幅A增大，增大，則工作點(diǎn)將由點(diǎn)則工作點(diǎn)將由點(diǎn)M1移至移至a點(diǎn)。由于此時(shí)點(diǎn)。由于此時(shí)a點(diǎn)不被曲線點(diǎn)不被曲線G(j)包圍。系統(tǒng)穩(wěn)定，振蕩衰減，振幅包圍。系統(tǒng)穩(wěn)定，振蕩衰減，振幅A自動減小，工作點(diǎn)自動減小，工作點(diǎn)將沿將沿-1/N(A)曲線回到曲線回到M1點(diǎn)。反之亦然，所以點(diǎn)。反之亦然，所以M1點(diǎn)是穩(wěn)點(diǎn)是穩(wěn)定的自振蕩。同樣的方法可以分析點(diǎn)定的自振蕩。同樣的方法可以分析點(diǎn)M2是不穩(wěn)定的振蕩是不穩(wěn)定的振蕩點(diǎn)。點(diǎn)。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1 按照下述準(zhǔn)則來判斷自振蕩的穩(wěn)定

23、性是極為簡便的：按照下述準(zhǔn)則來判斷自振蕩的穩(wěn)定性是極為簡便的： 在復(fù)平面上自振蕩點(diǎn)附近。當(dāng)按幅值在復(fù)平面上自振蕩點(diǎn)附近。當(dāng)按幅值A(chǔ)增大的方向增大的方向沿沿-l/N(A)曲線移動時(shí)，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，曲線移動時(shí)，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，則該交點(diǎn)代表的是穩(wěn)定的自振蕩；則該交點(diǎn)代表的是穩(wěn)定的自振蕩；反之，若沿反之，若沿-l/N(A)曲曲線振幅線振幅A增大的方向是從穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，則該交增大的方向是從穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，則該交點(diǎn)代表的是不穩(wěn)定的自振蕩。點(diǎn)代表的是不穩(wěn)定的自振蕩。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1 值得注意的是，由前面推導(dǎo)自振蕩產(chǎn)生的條件可知，對于穩(wěn)定的

24、自振蕩，計(jì)算所得到的是圖7-15中非線性環(huán)節(jié)的輸入信號x(t)Asint的振幅和頻率，而不是系統(tǒng)的輸出信號c(t)。兩者差一。兩者差一“ ”。x(t)y(t)N（A）G(s)r(t)=0c(t)圖圖7-15 非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 -對于穩(wěn)定的自振蕩，振幅和頻率是確定的，并可測量得對于穩(wěn)定的自振蕩，振幅和頻率是確定的，并可測量得到。計(jì)算時(shí)，振幅可由到。計(jì)算時(shí)，振幅可由曲線的自變量曲線的自變量的大小的大小來確定，而振蕩頻率由來確定，而振蕩頻率由曲線的自變量曲線的自變量來確定。來確定。 對于不穩(wěn)定的自振蕩，由于實(shí)際系統(tǒng)不可避免地存對于不穩(wěn)定的自振蕩，由于實(shí)際系統(tǒng)不可避免地存在擾動

25、，因此這種自振蕩是不可能持續(xù)的，僅是理論上在擾動，因此這種自振蕩是不可能持續(xù)的，僅是理論上的臨界周期運(yùn)動，在實(shí)際系統(tǒng)中是測量不到的。的臨界周期運(yùn)動，在實(shí)際系統(tǒng)中是測量不到的。例例7.37.3 具有理想繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖具有理想繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖7-177-17所示，所示，試確定其自振蕩的幅值和頻率。試確定其自振蕩的幅值和頻率。 解：理想繼電器特性的描述函數(shù)為解：理想繼電器特性的描述函數(shù)為01-110(1)(2)s ssc(t)_r(t)4()MNAA 2424244( )1( )401/( )0,1/( )1/( )( )103010(2)()(1)(2)54(54)MN AAAA

26、N AAN AAN AN AG sG jjjjj 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，- -當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，因因此此- -曲曲線線就就是是整整個(gè)個(gè)負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸。又又由由線線性性部部分分的的傳傳函函可可得得0ImG(j)-1/N(A)Re-1 2()()-1/( )Im()02/s()Re()1.6611.66( )4G jbG jN AG jG jG jAN A 由由上上式式可可以以畫畫出出曲曲線線，如如圖圖7 7- -1 15 5（ ）所所示示。由由圖圖知知，兩兩曲曲線線有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)，且且對對應(yīng)應(yīng)于于該該點(diǎn)點(diǎn)的的自自振振蕩蕩是是穩(wěn)穩(wěn)定定的的。求求與與的的交交點(diǎn)點(diǎn)，令令得得（r ra ad d ）將將其其代代入入的的

27、實(shí)實(shí)部部得得所所以以0ImG(j)-1/N(A)Re-1由此求得：由此求得：A=2.1，=1.414rad/s24242103010(2)()(1)(2)54(54)G jjjjj (M)(h)013r(t)c(t)2( 1 )(0.5 1 )sss_例例7-4 7-4 設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-18(a)所示，圖中死區(qū)所示，圖中死區(qū)繼電器特性的參數(shù)為繼電器特性的參數(shù)為a=1,b=3.(1)計(jì)算自振蕩的振幅和頻率計(jì)算自振蕩的振幅和頻率.(2)為消除自振蕩，繼電器特性參數(shù)應(yīng)如何調(diào)整為消除自振蕩，繼電器特性參數(shù)應(yīng)如何調(diào)整.解解：(1) 死區(qū)繼電器特性的負(fù)倒描述函數(shù)為死區(qū)繼電器特性的負(fù)倒描述函數(shù)為211( )112 1AAN AA 214 AhAMAN )(