1、1一，變力沿直線做功一，變力沿直線做功二，水壓力二，水壓力三，引力三，引力四，平均值四，平均值2 由由物物理理學學知知道道，如如果果物物體體在在作作直直線線運運動動的的過過程程中中有有一一個個不不變變的的力力F作作用用在在這這物物體體上上，且且這這力力的的方方向向與與物物體體的的運運動動方方向向一一致致，那那么么，在在物物體體移移動動了了距距離離s時時，力力F對對物物體體所所作作的的功功為為sFW . 如果物體在運動的過程中所受的力是變化如果物體在運動的過程中所受的力是變化的，就不能直接使用此公式，而采用的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思想思想.一、變力沿直線所作的功一、變力沿

2、直線所作的功3解解取取r為為積積分分變變量量，ro q a ,bar drr 取取任任一一小小區區間間,drrr ,2drrkqdw 所求功為所求功為drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考慮將單位電荷移到無窮遠處如果要考慮將單位電荷移到無窮遠處drrkqwa 2 arkq1.akq r4點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停例例 2 2 一圓柱形蓄水池一圓柱形蓄水池高為高為 5米，底半徑為米，底半徑為3 米，池內盛滿了水米，池內盛滿了水.問要把池內的水全部問要把池內的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐標系如圖建立坐標系如圖xo取取x為為積積分分變變量

3、量，5 , 0 x取取任任一一小小區區間間,dxxx ,xoxdxx 55xoxdxx 5這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為dx238 . 9 功元素為功元素為,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)6解解 設木板對鐵釘的阻力為設木板對鐵釘的阻力為,)(kxxf 第一次錘擊時所作的功為第一次錘擊時所作的功為 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘的阻用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘

4、擊入錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多少？次錘擊時又將鐵釘擊入多少？n設設 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 厘米厘米hn次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n7 hhkxdxw0,22kh 依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次擊入的總深度為次擊入的總深度為n第第 次擊入的深度為次擊入的深度為n8 由物理學知道，在水深為由物理學知道，在水深為h處的壓強為處的壓強為hp ，這里，這里 是水的比重如果有一面積為是水的比重如果有一面積為A的平板水平地

5、放置在水深為的平板水平地放置在水深為h處，那么，平板一處，那么，平板一側所受的水壓力為側所受的水壓力為ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的點點處處壓壓強強p不不相相等等，平平板板一一側側所所受受的的水水壓壓力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水壓力二、水壓力9例例 4 4 一一個個橫橫放放著著的的圓圓柱柱形形水水桶桶，桶桶內內盛盛有有半半桶桶水水，設設桶桶的的底底半半徑徑為為R，水水的的比比重重為為 ，計計算算桶桶的的一一端端面面上上所所受受的的壓壓力力解解 在端面建立坐標系如圖在端面建立坐標系如圖

6、xo取取x為為積積分分變變量量，, 0Rx 取取任任一一小小區區間間,dxxx 小矩形片上各處的壓強近小矩形片上各處的壓強近似相等似相等小矩形片的面積為小矩形片的面積為.222dxxR xdxx 10例例 5 5 將直角邊各為將直角邊各為a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜邊朝下，直角邊的邊長與水垂直地浸人水中，斜邊朝下，直角邊的邊長與水面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長，求薄板所受的側壓力長，求薄板所受的側壓力解解 建立坐標系如圖建立坐標系如圖xoa2a2a面積微元面積微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2

7、(dxxaaxPa )(2(20 .373a 11 由物理學知道，質量分別為由物理學知道，質量分別為21, mm相距為相距為r的兩個質點間的引力的大小為的兩個質點間的引力的大小為221rmmkF ，其中其中k為引力系數，引力的方向沿著兩質點的為引力系數，引力的方向沿著兩質點的連線方向連線方向 如如果果要要計計算算一一根根細細棒棒對對一一個個質質點點的的引引力力，那那么么，由由于于細細棒棒上上各各點點與與該該質質點點的的距距離離是是變變化化的的，且且各各點點對對該該質質點點的的引引力力方方向向也也是是變變化化的的，就就不不能能用用此此公公式式計計算算三、引力三、引力12例例 6 6 有有一一長長

8、度度為為l、線線密密度度為為 的的均均勻勻細細棒棒，在在其其中中垂垂線線上上距距棒棒a單單位位處處有有一一質質量量為為m的的質質點點M，計計算算該該棒棒對對質質點點M的的引引力力 xyoMa解解 建立坐標系如圖建立坐標系如圖取取y為積分變量為積分變量取取任任一一小小區區間間,dyyy ,2,2 lly將典型小段近似看成質點將典型小段近似看成質點小段的質量為小段的質量為r2l2l 13小段與質點的距離為小段與質點的距離為,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122la

9、alkm 由對稱性知，引力在鉛直方向分力為由對稱性知，引力在鉛直方向分力為. 0 yF14實例：實例：用某班所有學生的考試成績的算術平均用某班所有學生的考試成績的算術平均值來描述這個班的成績的概貌值來描述這個班的成績的概貌.nyyyyn 21算術平均值公式算術平均值公式只適用于有限個數值只適用于有限個數值問題：問題：求氣溫在一晝夜間的平均溫度求氣溫在一晝夜間的平均溫度.入手點：入手點：連續函數連續函數 在區間在區間 上的平均值上的平均值.)(xf,ba討論思想：討論思想：分割、求和、取極限分割、求和、取極限.四、函數的平均值四、函數的平均值15（1）分割：）分割：把把區區間間,ba分分成成n等

10、等分分,1210bxxxxxann 每個小區間的長度每個小區間的長度;nabx 設各分點處的函數值為設各分點處的函數值為nyyyy,210函數函數 在區間在區間 上的平均值近似為上的平均值近似為)(xf,ba;1210nyyyyn 每個小區間的長度趨于零每個小區間的長度趨于零.（2）求和：）求和：（3）取極限：）取極限：16,lim1210nyyyyynn 函數函數 在區間在區間 上的上的平均值平均值為為)(xf,banababyyyyynn 1210limx niixxyab110lim1,)(lim1110 niixxxfab badxxfaby)(1幾何平均值公式幾何平均值公式區間長度區

11、間長度yab)( )()( fab 17例例 1 1 計計算算純純電電阻阻電電路路中中正正弦弦交交流流電電tIim sin 在在一一個個周周期期上上的的功功率率的的平平均均值值（簡簡稱稱平平均均功功率率）.解解設電阻為，設電阻為，R則電路中的電壓為則電路中的電壓為iRu ,sintRIm 功率功率,sin22tRIm 一個周期區間一個周期區間,2, 0 平均功率平均功率tdtRIpm 2202sin12 18tdtRIpm 2202sin12 )(sin22022ttdRIm )()2cos1(4202tdtRIm 20222sin4 ttRIm 242 RIm22RIm .2mmUI )(R

12、IUmm 結論：純電阻電路中正弦交流電的平均功率結論：純電阻電路中正弦交流電的平均功率等于電流、電壓的峰值的乘積的二分之一等于電流、電壓的峰值的乘積的二分之一19 通常交流電器上標明的功率就是平均通常交流電器上標明的功率就是平均功率交流電器上標明的電流值都是一種功率交流電器上標明的電流值都是一種特定的平均值，習慣上稱為特定的平均值，習慣上稱為有效值有效值 周期性非恒定電流周期性非恒定電流i（如正弦交流電）（如正弦交流電）的有效值規定如下：當的有效值規定如下：當)(ti在它的一個周在它的一個周期期T內在負載電阻內在負載電阻R上消耗的平均功率，上消耗的平均功率，等于取固定值等于取固定值I的恒定電流

13、在的恒定電流在R上消耗的功上消耗的功率時，稱這個值率時，稱這個值I為為)(ti的有效值的有效值.均方根均方根20固固定定值值為為I的的恒恒定定電電流流在在R上上消消耗耗的的功功率率為為RI2,電流電流)(ti在在R上消耗的功率為上消耗的功率為Rti)(2,它它在在, 0T上上的的平平均均功功率率為為,)(102 TRdttiT,)(1022 TRdttiTRI按定義有按定義有 TdttiTI022)(1.)(102 TdttiTI有效值計算公式的推導有效值計算公式的推導即即21正正弦弦交交流流電電tItim sin)( 的的有有效效值值tdtIIm 2022sin12 )(22022ttdin

14、sIm 20222sin4 ttIm.2mI 結論：正弦交流電的有效值等于電流的峰值的結論：正弦交流電的有效值等于電流的峰值的 21.)(12 badxxfab函數函數)(xf在在,ba上的上的均方根均方根22一、一、 直徑為直徑為20厘米，高為厘米，高為80厘米的圓柱體內充滿壓強厘米的圓柱體內充滿壓強為為310厘米厘米牛牛的蒸汽，設溫度保持不變，要使蒸汽的蒸汽，設溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？體積縮小一半，問需要作多少功？練練 習習 題題二、二、 一物體按規律一物體按規律3tcx 作直線運動，媒質的阻力與作直線運動，媒質的阻力與速度的平方成正比，計算物體由速度的平方成正比，計算物體由0 x移至移至ax 時，克服媒質阻力所作的功時，克服媒質阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長610 米和米和米，高為米，高為20米，較長的底邊與水面相齊米，較長的底邊與水面相齊. .計算閘門計算閘門的一側所受的水壓力的一側所