1、1第十三章第十三章 非正弦周期電流電非正弦周期電流電路和信號的頻譜路和信號的頻譜13-1 13-1 非正弦周期信號非正弦周期信號13-2 13-2 周期函數分解為傅里葉級數周期函數分解為傅里葉級數13-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率13-4 13-4 非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算2例例半波整流電路的輸出信號半波整流電路的輸出信號13-1 非正弦周期信號非正弦周期信號 在生產實際中，經常會遇到非正弦周期電流電路。在生產實際中，經常會遇到非正弦周期電流電路。在電子技術、自動控制、計算機和無線電技術等方在電子技術、自動控制、計算機和無線電技術等方面

2、，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。3晶體管放大電路的交直流共存信號晶體管放大電路的交直流共存信號 uS(t) +ECC+ +- -4電子示波器內的水平掃描電壓電子示波器內的水平掃描電壓鋸齒波鋸齒波5自動控制、計算機等領域的脈沖電路中自動控制、計算機等領域的脈沖電路中的脈沖信號和方波信號的脈沖信號和方波信號t脈沖電流脈沖電流方波電壓方波電壓u(t)62. 非正弦周期電路的分析非正弦周期電路的分析 把非正弦周期激勵信號分解成一系列正弦信號，把非正弦周期激勵信號分解成一系列正弦信號，稱為非正弦周期信號的各次稱為非正弦周期信號的各次諧波諧波。 然后根據線

3、性電路的然后根據線性電路的疊加定理疊加定理，求出各諧波單獨，求出各諧波單獨作用下電路的分響應。作用下電路的分響應。 最后最后在時域疊加在時域疊加，得到電路的響應。，得到電路的響應。諧波分析法諧波分析法71. 傅里葉級數傅里葉級數若周期函數若周期函數f(t)滿足狄里赫利條件，則滿足狄里赫利條件，則f(t)可分解可分解為傅里葉級數：為傅里葉級數：)sin()cos()2sin()2cos()sin()cos()(11121211110tkbtkatbtatbtaatfkk1110)sin()cos()(kkktkbtkaatff(t)=f(t+kT) k=0,1,2,周期信號可以用周期函數（周期為

4、周期信號可以用周期函數（周期為T）f(t)表示：表示：13-2 周期函數分解為傅里葉級數周期函數分解為傅里葉級數8 式中：式中：1110)sin()cos()(kkktkbtkaatfT212011201100)(sin)(1)(cos)(1)(1ttdktfbttdktfatdtfTakkT1122122220)sin()cos()(kkkkkkkkktkbabtkbaabaatf9kkkkmkkkmkkkkkmabAbAabaAaAarctansincos2200， 令：令：110)cos()(kkkmtkAAtf1122122220)sin()cos()(kkkkkkkkktkbabtk

5、baabaatf1110)sin(sin)cos(cos)(kkkkmtktkAAtf10110)cos()(kkkmtkAAtf 式中：式中：A0直流分量直流分量)cos(1kkmtkAk次諧波分量次諧波分量振幅振幅 角頻率角頻率 初相位初相位一次諧波分量常稱為一次諧波分量常稱為基波基波分量，分量， 1為為基波頻率基波頻率二次以上諧波分量統稱為二次以上諧波分量統稱為高次諧波高次諧波分量分量任意周期信號均可分解為直流分量和一系列諧波任意周期信號均可分解為直流分量和一系列諧波分量的代數和。分量的代數和。11tT/2TSimI周期性方波信號的分解周期性方波信號的分解例例解解TtTTtItiS2 0

6、20 )(m21)(102/00mTTmSIdtITdttiTa20)(cos)(2tdtktiaSk0sin12tkkIm012)5sin513sin31(sin22tttIIimmS20)(dsin)(1ttktibSk若若k為偶數，為偶數，bk=00)cos1(tkkIm若若k為奇數，為奇數，kIbmk213)5sin513sin31(sin22tttIIimmS展開的傅里葉級數是收斂的，即展開的傅里葉級數是收斂的，即Ak隨隨k增加而減增加而減小，因而工程上根據精度要求取前幾項即可。小，因而工程上根據精度要求取前幾項即可。142. 波形對稱性波形對稱性偶函數：偶函數： T/2t T/2f

7、(t)()(tftf0kb奇函數：奇函數：)()(tftf T/2t T/2f(t)0ka奇諧波函數：奇諧波函數：)2()(Ttftftf (t)022kkba15 各次諧波分量的復振幅（振幅相量）隨頻率變化各次諧波分量的復振幅（振幅相量）隨頻率變化的分布圖稱為信號的的分布圖稱為信號的頻譜頻譜。 振幅隨頻率變化的圖形稱為振幅隨頻率變化的圖形稱為幅度譜幅度譜，初相位隨頻初相位隨頻率變化的圖形稱為率變化的圖形稱為相位譜相位譜。3. 信號的頻譜信號的頻譜鋸齒波電壓的幅度譜鋸齒波電壓的幅度譜16周期性信號頻譜的特點：周期性信號頻譜的特點：1）離散性離散性：離散的線狀譜：離散的線狀譜2）諧波性諧波性：各

8、頻率均為基：各頻率均為基波頻率的整數倍，等間隔分波頻率的整數倍，等間隔分布布3）收斂性收斂性：幅度譜隨頻率：幅度譜隨頻率增加而減小，表明信號能量增加而減小，表明信號能量集中在低頻諧波中。集中在低頻諧波中。鋸齒波電壓的幅度譜鋸齒波電壓的幅度譜1720200)(cos 0)(sinttdkttdk1.1.三角函數的性質三角函數的性質 1）sin、cos在一個周期內的積分為在一個周期內的積分為0。 2）sin2、cos2 在一個周期內的積分為在一個周期內的積分為 。)(cos )(sin202202ttdkttdk k為整數為整數3 3）三角函數的正交性）三角函數的正交性0)(sinsin0)(co

9、scos, 0)(sincos202020td tptkttdptkttdptkpk 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率182. 非正弦周期信號的有效值非正弦周期信號的有效值)cos()(110kkkmtkIIti設設則有效值則有效值: :dttkIITdtiTITkkkmT2011002cos11dttkItkIIITITkkkmkkkm021111020coscos2119 12202kkmIII 周期信號的有效值為直流分量及各次諧波分量周期信號的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的平方根。有效值平方和的平方根。利用三角函數的正交性得：利用三角函數的正交性得

10、： 222120IIIIdttjtkIItkITIITjkjkjkjmkmkkkm01,11112220coscos2cos120已知已知例例A61i1i2i3i4iiAcos242tiA)60cos(66. 53tiA)453cos(244ti求求i 的有效值。的有效值。解解4321iiiii的有效值先求32ii 32II60-404A3039 . 6A10493. 66222I213. 非正弦周期信號的平均值非正弦周期信號的平均值TavdtiTI01則其則其平均值平均值定義為：定義為：)cos()(110kkkmtkIIti設設) d)(1(00直流分量TttiTItItimcos)(例：

11、例：TmavttITI0dcos1mmII637. 020dcos100TmttITImmIII707. 021224. 非正弦周期電路的平均功率非正弦周期電路的平均功率TTuidtTpdtTP0011)cos()(110ukkkmtkUUtu)cos()(110ikkkmtkIIti利用三角函數的正交性，得：利用三角函數的正交性，得：.)( cos210100PPPIUIUPikukkkkkk平均功率平均功率= =直流分量的功率直流分量的功率+ +各次諧波的平均功率各次諧波的平均功率 231. 計算步驟計算步驟1 1）將非正弦周期電壓或電流分解為傅里葉級數；）將非正弦周期電壓或電流分解為傅里

12、葉級數；2 2）求直流分量和各諧波分量單獨作用下的響應；求直流分量和各諧波分量單獨作用下的響應；直流分量：直流分量：C C開路，開路，L短路短路諧波分量：諧波分量：LkZCkZkLkC1)(1)(jj1，3 3）把各響應的瞬時表達式疊加得總響應。）把各響應的瞬時表達式疊加得總響應。13-4 非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算24已知：已知：R=1k ，C=2 F，例例1SuRCou+_+_求求uo及及R吸收的平均功率吸收的平均功率P。解解直流分量直流分量單獨作用：單獨作用：0)0(oU基波分量基波分量單獨作用：單獨作用：)1S(URjXC(1)o(1)U+_+_V0100)1(S

13、U500102100016)1(CXV57.2645.89j)1(S)1()1(oUXRRUC阻容耦合電路阻容耦合電路tu1000cos40.14110SV 3000cos42.42t25三次諧波三次諧波單獨作用：單獨作用：)3S(URjXC(3)o(3)U+_+_V030)3(SU67.166102300016)3(CXV46. 959.29j)3(S)3()3(oUXRRUCV )46. 93000cos(84.41)57.261000cos(48.126ottuW88. 81059.291045.89323231PPP1 1）輸出信號中無直流分量；）輸出信號中無直流分量；2 2）若）若R

14、1/ C，則，則輸入信號無衰減地傳輸到輸出端輸入信號無衰減地傳輸到輸出端26例例2 2已知：已知：S28. 6 ,A157,pF1000TICmtT/2TSimIRLCuSi解解)3sin31(sin22ttIIimmSmH,1 ,20LR求電壓求電壓u（計算到（計算到3次諧波）。次諧波）。A)103sin(3 .3310sin1005 .7866tt直流分量直流分量單獨作用：單獨作用：R78.5AU0mV57. 1105 .782060U27基波分量基波分量單獨作用：單獨作用：RjXC(1)1U1SIjXL(1)A907 .709021001SIk11)1(CXCk1)1(LXLk15. 1

15、50jjj)j()1()1()1()1(1CLCLXXRXXRZmV15.9122500111SIZUmV)15.9110cos(500061tumV)15. 110sin(50006t28三次諧波分量三次諧波分量單獨作用：單獨作用：A905 .239023 .33S3Ik33.031)3(CXCk33)3(LXLk19.895 .374jjj)j()3()3()3()3(3CLCLXXRXXRZmV19.1792235. 6333SIZUmV)19.179103cos(47.1263tumV)19.89103sin(47.126tmV)19.89103sin(47.12)15. 110sin

16、(500057. 166310ttuuUu29V. )42000cos(601000cos12030: ttu知知已已求圖示電路中各表讀數求圖示電路中各表讀數( (有效值有效值) )及電路吸收的功率。及電路吸收的功率。例例3V1L1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdA3A2V2V1A130解解1)1)直流分量單獨作用直流分量單獨作用L1C1C2L2U(0)+_30 abcdI1(0)IC1(0)IL2(0)I0= IL20 = U0/R =1A, IC10=0, Uad0= Ucb0 =U0 =30V312)2)基波分量單獨作用基波分量單獨作用L1、C1 發生并聯

17、諧振發生并聯諧振。+_30 abcd1U1I11CI21LIj40 j40 j40 j10 V01201 U0 , 0cb1211UIILA90340j0120j1111 UCICV012011ad UU323)3)二次諧波單獨作用二次諧波單獨作用L2、C2 發生并聯諧振發生并聯諧振。+_30 abcd1U2I12CI22LIj80 j20 j20 j20 V45602 UA45320j4560j22122 LUIL0, 02122adCUIIV45602cb2UU334)4)疊加疊加i=I0+ i1 + i2 =1A iC1= IC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90

18、) AiL2=IL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45 ) Auad= Uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= Ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45 ) V34 A1 I電流表電流表A1的讀數：的讀數：2.12A 2/3 電流表電流表A2的讀數：的讀數：A35. 2)2/3(122 電流表電流表A3的讀數：的讀數：V90)2/120(3022 電壓表電壓表V1的讀數：的讀數：V0 .52)2/60(3022 電壓表電壓表V2的讀數：的讀數：電路吸收的功率：電路吸收的功率：W3000IUP35例例4圖示為全波整流器的濾波電路，圖示為全波整流器的濾波電路，L=5H, C=10 F,解解R=2k 。設。設