1、CH4-3 時(shí)間序列分析模型時(shí)間序列分析模型4-3-1 4-3-1 時(shí)間序列的基本概念時(shí)間序列的基本概念一、時(shí)間序列1、含義：指被觀察到的依時(shí)間為序排列的數(shù)據(jù)序列。2、特點(diǎn)： （1）現(xiàn)實(shí)的、真實(shí)的一組數(shù)據(jù)，而不是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中做實(shí)驗(yàn)得到的。既然是真實(shí)的，它就是反映某一現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，因而，時(shí)間序列背后是某一現(xiàn)象的變化規(guī)律。 （2）動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)。2010年11月17日-2011年4月8日上證綜指二、時(shí)間序列分析 時(shí)間序列分析：是一種根據(jù)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng)計(jì)方法。其基本思想基本思想：根據(jù)系統(tǒng)的有限長(zhǎng)度的運(yùn)行記錄（觀察數(shù)據(jù)），建立能夠比較精確地反映序列中所包含的動(dòng)態(tài)依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并借以

2、對(duì)系統(tǒng)的未來(lái)進(jìn)行預(yù)報(bào)三、確定性時(shí)間序列分析與隨機(jī)性時(shí)間序列分析:時(shí)間序列依據(jù)其特征，有以下幾種表現(xiàn)形式，并產(chǎn)生與之相適應(yīng)的分析方法：（1）長(zhǎng)期趨勢(shì)變化 受某種基本因素的影響，數(shù)據(jù)依時(shí)間變化時(shí)表現(xiàn)為一種確定傾向，它按某種規(guī)則穩(wěn)步地增長(zhǎng)或下降。使用的分析方法有：移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法、模型擬和法等；（2）季節(jié)性周期變化 受季節(jié)更替等因素影響，序列依一固定周期規(guī)則性的變化，又稱商業(yè)循環(huán)。采用的方法：季節(jié)指數(shù)；（3）循環(huán)變化 周期不固定的波動(dòng)變化。(4)隨機(jī)性變化由許多不確定因素引起的序列變化。它所使用的分析方法就是我們要講的時(shí)間序列分析。 趨勢(shì)變化分析 確定性變化分析 周期變化分析 循環(huán)變化分析時(shí)間

3、序列分析 隨機(jī)性變化分析: AR、MA、ARMA模型 Wold分解定理（1938） 對(duì)于任何一個(gè)離散平穩(wěn)過(guò)程 它都可以分解為兩個(gè)不相關(guān)的平穩(wěn)序列之和，其中一個(gè)為確定性的，另一個(gè)為隨機(jī)性的，不妨記作 其中： 為確定性序列， 為隨機(jī)序列， 它們需要滿足如下條件 （1） （2） （3）txtttVxtV t0jjtjt020, 1jj ), 0(2WNtstVEst , 0),(確定性序列與隨機(jī)序列的定義 對(duì)任意序列 而言，令 關(guān)于q期之前的序列值作線性回歸 其中 為回歸殘差序列， 。 確定性序列，若 隨機(jī)序列，若t2)(qtVar2lim0qq)(lim2tqqyVarCramer分解定理（196

4、1） 任何一個(gè)時(shí)間序列 都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定性趨勢(shì)成分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分，即txtttx確定性影響隨機(jī)性影響taB)(djjjt0循環(huán)變動(dòng)循環(huán)變動(dòng)C（Cyclical）不規(guī)則變動(dòng)不規(guī)則變動(dòng)I（Irregular）季節(jié)變動(dòng)季節(jié)變動(dòng)S（Seasonal）長(zhǎng)期趨勢(shì)長(zhǎng)期趨勢(shì)T（Trend）對(duì)兩個(gè)分解定理的理解 Wold分解定理說(shuō)明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性序列和隨機(jī)序列之和。它是現(xiàn)代時(shí)間序列分析理論的靈魂，是構(gòu)造ARMA模型擬合平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)。 Cramer 分解定理是Wold分解定理的理論推廣，它說(shuō)明任何一個(gè)序列的波動(dòng)都可以視為同時(shí)受到了確定

5、性影響和隨機(jī)性影響的綜合作用。平穩(wěn)序列要求這兩方面的影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產(chǎn)生的機(jī)理就在于它所受到的這兩方面的影響至少有一方面是不穩(wěn)定的。 確定性時(shí)序分析的目的 克服其它因素的影響，單純測(cè)度出某一個(gè)確定性因素對(duì)序列的影響 推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關(guān)系及它們對(duì)序列的綜合影響4-3-2 4-3-2 時(shí)間序列時(shí)間序列趨勢(shì)分析趨勢(shì)分析 目的有些時(shí)間序列具有非常顯著的趨勢(shì)，我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢(shì)，并利用這種趨勢(shì)對(duì)序列的發(fā)展作出合理的預(yù)測(cè) 常用方法 趨勢(shì)擬合法 平滑法趨勢(shì)擬合法 趨勢(shì)擬合法就是把時(shí)間作為自變量，相應(yīng)的序列觀察值作為因變量，建立序列值隨時(shí)間變化的回歸模型

6、的方法 分類 線性擬合 非線性擬合線性擬合 使用場(chǎng)合長(zhǎng)期趨勢(shì)呈現(xiàn)出線形特征 模型結(jié)構(gòu))(, 0)(ttttIVarIEIbtax例:擬合澳大利亞政府19811990年每季度的消費(fèi)支出序列 線性擬合 模型 參數(shù)估計(jì)方法 最小二乘估計(jì) 參數(shù)估計(jì)值2)(, 0)(40,2 , 1,ttttIVarIEtIbtax12.89,69.8498ba擬合效果圖非線性擬合 使用場(chǎng)合長(zhǎng)期趨勢(shì)呈現(xiàn)出非線形特征 參數(shù)估計(jì)指導(dǎo)思想能轉(zhuǎn)換成線性模型的都轉(zhuǎn)換成線性模型，用線性最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)實(shí)在不能轉(zhuǎn)換成線性的，就用迭代法進(jìn)行參數(shù)估計(jì) 常用非線性模型模型變換變換后模型參數(shù)估計(jì)方法線性最小二乘估計(jì)線性最小二乘估計(jì)迭代

7、法迭代法迭代法2ctbtaTtttabT ttbcaTtbcateTttbcaT122tt ttTTlnaalnbbln2ctbtaTttbaTt例： 對(duì)上海證券交易所每月末上證指數(shù)序列進(jìn)行模型擬合 非線性擬合模型變換參數(shù)估計(jì)方法線性最小二乘估計(jì)擬合模型:2ctbtaTt22tt 20952. 02517.502tTt擬合效果圖時(shí)間序列預(yù)測(cè)法時(shí)間序列預(yù)測(cè)法 時(shí)間序列預(yù)測(cè)法可用于短期預(yù)測(cè)、中期預(yù)測(cè)和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。根據(jù)對(duì)資料分析方法的不同，又可分為：簡(jiǎn)單序時(shí)平均數(shù)法、加權(quán)序時(shí)平均數(shù)法平滑法 平滑法是進(jìn)行趨勢(shì)分析和預(yù)測(cè)時(shí)常用的一種方法。它是利用修勻技術(shù)，削弱短期隨機(jī)波動(dòng)對(duì)序列的影響，使序列平滑化，從而顯

8、示出長(zhǎng)期趨勢(shì)變化的規(guī)律 簡(jiǎn)單平均數(shù)法 :也稱算術(shù)平均法。即把若干歷史時(shí)期的統(tǒng)計(jì)數(shù)值作為觀察值，求出算術(shù)平均數(shù)作為下期預(yù)測(cè)值。這種方法基于下列假設(shè)：“過(guò)去這樣，今后也將這樣”，把近期和遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)等同化和平均化，因此只能適用于事物變化不大的趨勢(shì)預(yù)測(cè)。如果事物呈現(xiàn)某種上升或下降的趨勢(shì)，就不宜采用此法。 加權(quán)平均數(shù)法: 就是把各個(gè)時(shí)期的歷史數(shù)據(jù)按近期和遠(yuǎn)期影響程度進(jìn)行加權(quán)，求出平均值，作為下期預(yù)測(cè)值。移動(dòng)平均法 基本思想假定在一個(gè)比較短的時(shí)間間隔里，序列值之間的差異主要是由隨機(jī)波動(dòng)造成的。根據(jù)這種假定，我們可以用一定時(shí)間間隔內(nèi)的平均值作為某一期的估計(jì)值 分類 n期中心移動(dòng)平均 n期移動(dòng)平均移動(dòng)平均期數(shù)確

9、定的原則 事件的發(fā)展有無(wú)周期性以周期長(zhǎng)度作為移動(dòng)平均的間隔長(zhǎng)度 ，以消除周期效應(yīng)的影響 對(duì)趨勢(shì)平滑的要求 移動(dòng)平均的期數(shù)越多，擬合趨勢(shì)越平滑 對(duì)趨勢(shì)反映近期變化敏感程度的要求 移動(dòng)平均的期數(shù)越少，擬合趨勢(shì)越敏感移動(dòng)平均預(yù)測(cè))(121nlTlTlTlTxxxnxilxilxxilTilTilT,例 某一觀察值序列最后4期的觀察值為：5，5.4，5.8，6.2（1）使用4期移動(dòng)平均法預(yù)測(cè) 。（2）求在二期預(yù)測(cè)值 中 前面的系數(shù)等于多少？2Tx2TxTx解（1）（2） 在二期預(yù)測(cè)值中 前面的系數(shù)等于 45. 548 . 54 . 556 . 5416 . 542 . 68 . 54 . 554121

10、123211TTTTTTTTTTxxxxxxxxxx321212212112161165414141TTTTTTTTTTTTTTTTxxxxxxxxxxxxxxxxTx1656.36.3、時(shí)間序列模型、時(shí)間序列模型參考書(shū)參考書(shū):圖書(shū)館圖書(shū)館, 超星電子圖書(shū)超星電子圖書(shū)4-3-4、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性5.35.3、時(shí)間序列模型的基本概念、時(shí)間序列模型的基本概念 隨 機(jī) 時(shí) 間 序 列 模 型 （隨 機(jī) 時(shí) 間 序 列 模 型 （ n i m e s e r i e s modeling）是指僅用它的過(guò)去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來(lái)的模型，其一般形式為 Y

11、n=F(Yn-1, Yn-2, , n) 建立具體的時(shí)間序列模型，需解決如下三個(gè)建立具體的時(shí)間序列模型，需解決如下三個(gè)問(wèn)題問(wèn)題： (1)模型的具體形式模型的具體形式 (2)時(shí)序變量的滯后期時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu) 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（ n =n），模型將是一個(gè)1階自回階自回歸過(guò)程歸過(guò)程AR(1)： Yn=aYn-1+ n這里， n特指一白噪聲一白噪聲。 一般的p階自回歸過(guò)程階自回歸過(guò)程AR(p)是 Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p + n (*) (1)如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲(n=n)，則稱(1)式為一純純

12、AR(p)過(guò)程（過(guò)程（pure AR(p) process），記為 Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p +n (2)如果n不是一個(gè)白噪聲，通常認(rèn)為它是一個(gè)q階的移動(dòng)平均（移動(dòng)平均（moving average）過(guò)程）過(guò)程MA(q)： n=n - c1n-1 - c2n-2 - - cqn-q 該式給出了一個(gè)純純MA(q)過(guò)程（過(guò)程（pure MA(p) process）。 一般的p階自回歸過(guò)程階自回歸過(guò)程AR(p)是 Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p + n (1) 將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合，得到一個(gè)一般的自回歸移動(dòng)平均自回歸移動(dòng)平均（au

13、noregressive moving average）過(guò)程）過(guò)程ARMA（p,q）： Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p + n - c1n-1 - c2n-2 - - cqn-q 該式表明：該式表明：（1）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過(guò)一個(gè)自回歸移動(dòng)平均過(guò)）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過(guò)一個(gè)自回歸移動(dòng)平均過(guò)程生成，程生成，即該序列可以由其自身的過(guò)去或滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來(lái)解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化，那么我們就可以通過(guò)該序列過(guò)去的行為那么我們就可以通過(guò)該序列過(guò)去的行為來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型

14、的優(yōu)勢(shì)所在。 需要說(shuō)明的是，需要說(shuō)明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識(shí)別與估計(jì)的討在上述模型的平穩(wěn)性、識(shí)別與估計(jì)的討論中，論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項(xiàng)。模型中均未包含常數(shù)項(xiàng)。 如果包含常數(shù)項(xiàng)，該常數(shù)項(xiàng)并不影響模型的原有性質(zhì)如果包含常數(shù)項(xiàng)，該常數(shù)項(xiàng)并不影響模型的原有性質(zhì)，因?yàn)橥ㄟ^(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危蓪?shù)項(xiàng)的模型轉(zhuǎn)換為不含常數(shù)項(xiàng)的模型。 下面以一般的ARMA(p,q)模型為例說(shuō)明。 對(duì)含有常數(shù)項(xiàng)的模型 qtqttptpttXXX1111方程兩邊同減/(1-a1-ap)，則可得到 qtqttptpttxxx1111其中piiXx11pttti, 1,趨勢(shì)項(xiàng)和季節(jié)性的典型趨勢(shì)項(xiàng)和季節(jié)性的典型

15、差分差分處理方法處理方法 1. 1. 恒定趨勢(shì)恒定趨勢(shì) 即總的趨勢(shì)保持在同一水平，均值即總的趨勢(shì)保持在同一水平，均值 0 0。引入算。引入算子子 ，定義為：，定義為： = =（1 1 B) B), , 即即 x xt t = x= xt t - - x xt-1 t-1 可以消除恒定趨勢(shì)。可以消除恒定趨勢(shì)。例如例如 IBM IBM 股票模型股票模型用用 x xt t = =（1 - 1 - 1 1B) a B) a t t 更為合適。有恒定趨勢(shì)的模型更為合適。有恒定趨勢(shì)的模型有一個(gè)極點(diǎn)的絕有一個(gè)極點(diǎn)的絕對(duì)值接近為對(duì)值接近為 1 1 。2. 2. 線性趨勢(shì)線性趨勢(shì)總趨勢(shì)按照線性規(guī)律增減，即模型總

16、趨勢(shì)按照線性規(guī)律增減，即模型有兩個(gè)極點(diǎn)有兩個(gè)極點(diǎn)的絕對(duì)值接近為的絕對(duì)值接近為1 1的情況的情況。用算子。用算子 : : 2 2 = ( 1 = ( 1 B ) B )2 2 可以消除線性趨勢(shì)，例如：可以消除線性趨勢(shì)，例如： 2 2 x xt t = =（1 - 1 - 1 1B) B) a a t t 3. 3. 多項(xiàng)式趨勢(shì)多項(xiàng)式趨勢(shì)有多個(gè)極點(diǎn)的絕對(duì)值接近于有多個(gè)極點(diǎn)的絕對(duì)值接近于1 1 , , 引入算子引入算子 : : 3 3 = ( 1 = ( 1 B ) B )3 3 例如：例如： 3 3 x xt t = =（1 - 1 - 1 1B - B - 2 2 B B 2 2）a a t t

17、4. 4. 季節(jié)性季節(jié)性 有的時(shí)間序列按照一定的周期波動(dòng)有的時(shí)間序列按照一定的周期波動(dòng), ,例如月平例如月平均溫度是按照均溫度是按照 1212個(gè)月的周期波動(dòng)的，每小時(shí)用個(gè)月的周期波動(dòng)的，每小時(shí)用電量按照電量按照2424小時(shí)的周期變化小時(shí)的周期變化，稱為季節(jié)性。，稱為季節(jié)性。為消除季節(jié)性的影響，引入算子：為消除季節(jié)性的影響，引入算子： s s=1 =1 B Bs例如，航空公司的模型例如，航空公司的模型ARAR（1313，1313）模型中的）模型中的參數(shù)參數(shù) 1 1 1212 的數(shù)值都很小，而接近于零，用的數(shù)值都很小，而接近于零，用周期為周期為1212的模型為合適。由于該時(shí)間序列不僅的模型為合適。

18、由于該時(shí)間序列不僅有周期為有周期為1212的季節(jié)性，而且還有恒定趨勢(shì)，所的季節(jié)性，而且還有恒定趨勢(shì)，所以用以下模型最合適：以用以下模型最合適：12 12 = (1 = (1 B)( 1 B)( 1 B B 1212) x) xt t =(1 - =(1 - 1 1B ) (1 - B ) (1 - 12 12 B B 1212) a ) a t t 經(jīng)典回歸模型的問(wèn)題：經(jīng)典回歸模型的問(wèn)題： 迄今為止，迄今為止，對(duì)一個(gè)時(shí)間序列Yn的變動(dòng)進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè)，是通過(guò)某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模結(jié)構(gòu)式模型（型（snrucn

19、ural model）。 然而，然而，如果Yn波動(dòng)的主要原因可能是我們無(wú)法解釋的因素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來(lái)解釋Yn的變動(dòng)就比較困難或不可能，因?yàn)橐〉孟鄳?yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測(cè)技術(shù)就不適用了。2 2、時(shí)間序列分析模型的適用性、時(shí)間序列分析模型的適用性 例如例如，時(shí)間序列過(guò)去是否有明顯的增長(zhǎng)時(shí)間序列過(guò)去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)趨勢(shì)，如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過(guò)去的行為中占主導(dǎo)地位，能否認(rèn)為它也會(huì)在未來(lái)的行為里占主導(dǎo)地位呢？ 或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過(guò)去的這種行為來(lái)外推它的未來(lái)走向？

20、 在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測(cè)途徑在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測(cè)途徑：通過(guò)時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過(guò)去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對(duì)時(shí)間序列未來(lái)行為進(jìn)行推斷。 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過(guò)隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過(guò)序列過(guò)去的變化特征來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的變化序列過(guò)去的變化特征來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的變化趨勢(shì)趨勢(shì)。 使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于因在于： 如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫(xiě)成類似于ARMA(p,q)式的時(shí)間序列分析模型的形式。 例如，例如，對(duì)于如下最簡(jiǎn)單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型： 這里，Cn、In、Yn分別表示消費(fèi)、投資與國(guó)民收入。 Cn由投

21、資由投資In的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) n的變化決的變化決定的。定的。二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件 自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動(dòng)平均模型（MA）是它的特殊情況。 關(guān)于這幾類模型的研究，是時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容：主要包括主要包括模型的平穩(wěn)性分析模型的平穩(wěn)性分析、模型的識(shí)別模型的識(shí)別和和模型的估計(jì)模型的估計(jì)。 1 1、AR(p)AR(p)模型的平穩(wěn)性模型的平穩(wěn)性條件條件 隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性，可通過(guò)它所生成的隨機(jī)時(shí)間可通過(guò)它所生成的隨機(jī)時(shí)間序列

22、的平穩(wěn)性來(lái)判斷序列的平穩(wěn)性來(lái)判斷。 如果如果一個(gè)p階自回歸模型AR(p)生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，就說(shuō)該AR(p)模型是平穩(wěn)的， 否則否則，就說(shuō)該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。考慮p階自回歸模型AR(p) Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p +n 則稱多項(xiàng)式方程 (z)= (1-a1z- a2z2-apzp)=0為AR(p)的特征方程特征方程(characnerisnic equanion)(characnerisnic equanion)。 可以證明，可以證明，如果該特征方程的所有根在單位圓外如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于（根的模大于1 1），則），則AR(p)

23、AR(p)模型是平穩(wěn)的。模型是平穩(wěn)的。 例例6.3.1 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。對(duì)1階自回歸模型AR(1)方程兩邊平方再求數(shù)學(xué)期望，得到Xn的方差由于Yn僅與n相關(guān)，因此，E(Yn-1n)=0。如果該模型穩(wěn)定，則有E(Yn2)=E(Yn-12)，從而上式可變換為：在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從而有 |a|1。 而AR(1)的特征方程的根為 z=1/a AR(1)穩(wěn)定，即 |a| 1，意味著特征根大于1。注意對(duì)比一下差分方程的穩(wěn)定性?差分方程的特征方程與特征根?例例6.3.2 AR(2)模型的平穩(wěn)性。 對(duì)AR(2)模型 方程兩邊同乘以Yn，再取期望得： 又由于于是 同樣地，由原式還可

24、得到于是方差為 由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數(shù)，于是有 a1+a21, a2-a11, |a2|1這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域平穩(wěn)域。它是一頂點(diǎn)分別為（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。 2 (0,1) 1 (-2, -1) (2, -1) 圖圖 9.2.1 AR(2)模模型型的的平平穩(wěn)穩(wěn)域域 對(duì)應(yīng)的特征方程1-a1z-a2z2=0 的兩個(gè)根z1、z2滿足： z1z2=-1/a2 , z1+z2 =-a1/a2 AR(2)模型解出a1，a2由AR(2)的平穩(wěn)性，|a2|=1/|z1|z2|1，有0)11)(11 (21zz于是| z2 |1。由

25、 a2 - a1 1可推出同樣的結(jié)果。 對(duì)高階自回模型對(duì)高階自回模型AR(p)來(lái)說(shuō)來(lái)說(shuō)，多數(shù)情況下沒(méi)有必要直接計(jì)算其特征方程的特征根，但有一些有一些有用的規(guī)則可用來(lái)檢驗(yàn)高階自回歸模型的穩(wěn)定性用的規(guī)則可用來(lái)檢驗(yàn)高階自回歸模型的穩(wěn)定性： (1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是模型穩(wěn)定的必要條件是： a1+a2+ap1 (2)(2)由于ai(i=1,2,p)可正可負(fù)，AR(p)模模型穩(wěn)定的充分條件是：型穩(wěn)定的充分條件是： |a1|+|a2|+|ap|1 對(duì)于移動(dòng)平均模型MR(q)： Yn=n - c1n-1 - c2n-2 - - cqn-q 其中n是一個(gè)白噪聲，于是 2、MA(q)模型的平穩(wěn)性模型的

26、平穩(wěn)性 當(dāng)滯后期大于q時(shí)，Yn的自協(xié)方差系數(shù)為0。因此:有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的。 由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合：Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p + n - c1n-1 - c2n-2 - - cqn-q 3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性模型的平穩(wěn)性 而而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA (p,q)模型的平模型的平穩(wěn)性取決于穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。部分的平穩(wěn)性。 當(dāng)當(dāng)AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，則該部分平穩(wěn)時(shí)，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，模型是平穩(wěn)的，否則，不

27、是平穩(wěn)的。否則，不是平穩(wěn)的。 最后最后: （1 1）一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平）一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程或模型；穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程或模型； （2 2）一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通常可以通過(guò)差）一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通常可以通過(guò)差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對(duì)差分后平穩(wěn)的時(shí)間分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對(duì)差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或模型。序列也可找出對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或模型。 因此，因此，如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過(guò)如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過(guò)d d次差次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個(gè)平穩(wěn)的分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個(gè)平穩(wěn)的ARMA(p

28、,q)ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說(shuō)該原始時(shí)間序模型作為它的生成模型，則我們就說(shuō)該原始時(shí)間序列是一個(gè)列是一個(gè)自回歸單整移動(dòng)平均（自回歸單整移動(dòng)平均（aunoregressive aunoregressive innegraned moving averageinnegraned moving average）時(shí)間序列，記為）時(shí)間序列，記為ARIMAARIMA(p,d,q)(p,d,q)。 例如，例如，一個(gè)一個(gè)ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)時(shí)間序列在它成為時(shí)間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個(gè)平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個(gè)ARMA(2,2

29、)ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。模型作為它的生成模型的。 當(dāng)然，當(dāng)然，一個(gè)一個(gè)ARIMA(p,0,0)ARIMA(p,0,0)過(guò)程表示了一個(gè)過(guò)程表示了一個(gè)純純AR(p)AR(p)平穩(wěn)過(guò)程；一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程；一個(gè)ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一表示一個(gè)純個(gè)純MA(q)MA(q)平穩(wěn)過(guò)程。平穩(wěn)過(guò)程。三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別 所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別，就是對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列，找出生成它的合適的隨機(jī)過(guò)程或模型.即判斷該時(shí)間序列是遵循一純AR過(guò)程、還是遵循一純MA過(guò)程或ARMA過(guò)程。 所使用的工具所使用的工具主

30、要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)（aunocorrelanion funcnion，ACF）及偏自相關(guān)偏自相關(guān)函數(shù)函數(shù)（parnial aunocorrelanion funcnion， PACF ）。 1 1、AR(p)AR(p)過(guò)程過(guò)程 (1)(1)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)ACFACF 1階自回歸模型階自回歸模型AR(1) Yn=aYn-1+ n 的k階滯后自協(xié)方差自協(xié)方差為：=1,2,因此，AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)為 =1,2, 由由AR(1)的穩(wěn)定性知的穩(wěn)定性知| |a|1，因此，因此，k k時(shí)，時(shí)，呈指數(shù)形衰減，直到零呈指數(shù)形衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾拖尾或稱AR(1)

31、有無(wú)窮記憶有無(wú)窮記憶（infinine memory）。 注意注意， a0時(shí)，呈振蕩衰減狀。 回憶一:自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) ),()()(),(,ststssttssttzzdFuzuzuzuzEstr)()(),()()(),(22ssstttzDuzEssrzDuzEttr回憶二:自相關(guān)函數(shù)：當(dāng)t,s取遍所有可能的整數(shù)時(shí)，就形成了時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)，它描述了序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)。它的本質(zhì)等同于相關(guān)系數(shù)。對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程:),(),(),(),(ssrttrstrstkkkrrrrrssrttrstrst000),(),(),(),( Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + n該模型的方差0以

32、及滯后1期與2期的自協(xié)方差1, 2分別為階自回歸模型階自回歸模型AR(2) 類似地,可寫(xiě)出一般的一般的k期滯后自協(xié)方差期滯后自協(xié)方差： (K=2,3,)于是,AR(2)的k 階自相關(guān)函數(shù)階自相關(guān)函數(shù)為： (K=2,3,)其中 :1=a1/(1-a2), 0=1如果如果AR(2)AR(2)穩(wěn)定，則由穩(wěn)定，則由a a1 1+a+a2 211知知| | k k| |衰減趨于零，衰減趨于零，呈拖尾狀。呈拖尾狀。至于衰減的形式，要看至于衰減的形式，要看AR(2)AR(2)特征根的實(shí)虛性特征根的實(shí)虛性. .一般地，p階自回歸模型階自回歸模型AR(p) Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + apYn-p

33、+ nk期滯后協(xié)方差為: 從而有自相關(guān)函數(shù) : 可見(jiàn)，無(wú)論無(wú)論k k有多大，有多大， k k的計(jì)算均與其到的計(jì)算均與其到p p階滯后階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此呈拖尾狀呈拖尾狀。 如果如果AR(p)AR(p)是穩(wěn)定的，則是穩(wěn)定的，則| | k k| |遞減且趨于零遞減且趨于零。 其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|p，Yn與Yn-k間的偏自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)為零。 AR(p)的一個(gè)主要特征是的一個(gè)主要特征是:kp時(shí)，時(shí)， k*=Corr(Yn,Yn-k)=0 即即 k*在在p以后是截尾的。以后是截尾的。一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原

34、則：一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原則：若若YnYn的偏自相關(guān)函數(shù)在的偏自相關(guān)函數(shù)在p p以后截尾，以后截尾，即即kp時(shí)，時(shí)， k*=0=0，而它的自相關(guān)，而它的自相關(guān)函數(shù)函數(shù) k是拖尾的，則此序列是自是拖尾的，則此序列是自回歸回歸AR(p)AR(p)序列。序列。 在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)rk*是總體偏自相關(guān)函數(shù)k*的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kp時(shí)，rk*不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)。但可以證明，當(dāng)kp時(shí)，rk*服從如下漸近正態(tài)分布: rk*N(0,1/n)式中n表示樣本容量。 因此，如果計(jì)算的rk*滿足 需指出的是需指出的是，我們就有95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在p之后截尾。nrk

35、2|* 對(duì)MA(1)過(guò)程 2、MA(q)MA(q)過(guò)程過(guò)程 1tttX可容易地寫(xiě)出它的自協(xié)方差系數(shù)自協(xié)方差系數(shù)： 0)1 (3221220于是，MA(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)為：0)1 (3221可見(jiàn)，當(dāng)當(dāng)k1時(shí)，時(shí)， k k0，即，即Xn與與Xn-k不相關(guān)，不相關(guān)，MA(1)MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。自相關(guān)函數(shù)是截尾的。 MA(1)過(guò)程可以等價(jià)地寫(xiě)成過(guò)程可以等價(jià)地寫(xiě)成 n n關(guān)于無(wú)窮序列關(guān)于無(wú)窮序列X Xn n，X Xn-1n-1，的線性組合的形式：的線性組合的形式：221ttttXXX或ttttXXX221（*） (*)是一個(gè)AR()過(guò)程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此M

36、A(1)MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。的。 注意注意: : (*)式只有當(dāng)|1時(shí)才有意義，否則意味著距Xn越遠(yuǎn)的X值，對(duì)Xn的影響越大，顯然不符合常理。 因此，我們把把| | |1|q時(shí)， Xn與與Xn-k不相關(guān)，即存在截尾現(xiàn)象，因此，當(dāng)當(dāng)kq時(shí)，時(shí)， k k=0是是MA(q)的一個(gè)特征的一個(gè)特征。 于是：可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開(kāi)始一直為可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開(kāi)始一直為0 0來(lái)判斷來(lái)判斷MA(q)MA(q)模型的階。模型的階。 與MA(1)相仿，可以驗(yàn)證MA(q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。 MA(q)模型的識(shí)別規(guī)則：模

37、型的識(shí)別規(guī)則：若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自尾，即自q q以后，以后， k k=0=0（ kqkq）；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖）；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動(dòng)平均尾的，則此序列是滑動(dòng)平均MA(q)MA(q)序列。序列。 同樣需要注意的是同樣需要注意的是：在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù)rk是總體自相關(guān)函數(shù)k的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kq時(shí)，rk不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)。但可以證明，當(dāng)kq時(shí)，rk服從如下漸近正態(tài)分布: rkN(0,1/n)式中n表示樣本容量。 因此，如果計(jì)算的如果計(jì)算的r rk k滿足：滿足：nrk2|我們就有就有95.5%95

38、.5%的把握判斷原時(shí)間序列在的把握判斷原時(shí)間序列在q q之后截尾之后截尾。 ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。 當(dāng)當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)時(shí)，它具有截尾性質(zhì)； 當(dāng)當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)；時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)； 當(dāng)當(dāng)p、q都不為都不為0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)時(shí)，它具有拖尾性質(zhì) 從識(shí)別上看，通常：從識(shí)別上看，通常： ARMA(p，q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)（過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）可能在可能在p階階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱（滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱（spikes），但從），但從p階滯后項(xiàng)開(kāi)始階滯后項(xiàng)開(kāi)始逐漸趨向于零；逐漸趨向于

39、零； 而而它的自相關(guān)函數(shù)（它的自相關(guān)函數(shù)（ACF）則是在則是在q階滯后前有幾項(xiàng)明顯階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱，從的尖柱，從q階滯后項(xiàng)開(kāi)始逐漸趨向于零。階滯后項(xiàng)開(kāi)始逐漸趨向于零。 3 3、ARMA(p, q)ARMA(p, q)過(guò)程過(guò)程 表表 9.2.1 ARMA(p,q)模模型型的的 ACF 與與 PACF 理理論論模模式式 模型 ACF PACF 白噪聲 0k 0*k AR(p) 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） P 階后截尾：0*k，kp MA(q) q階后截尾： ，0k，kq 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） ARMA(p,q) q階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） p階后衰減趨于零 （幾何型或振蕩

40、型） 總結(jié)：總結(jié)： 若樣本的自相關(guān)函數(shù)在若樣本的自相關(guān)函數(shù)在Kq之后截尾，則判斷序列為之后截尾，則判斷序列為MA模型；若樣本的偏自模型；若樣本的偏自相關(guān)函數(shù)在相關(guān)函數(shù)在Kp之后截尾，則判斷序列為之后截尾，則判斷序列為AR模型；當(dāng)兩者都不截尾而呈現(xiàn)拖尾特模型；當(dāng)兩者都不截尾而呈現(xiàn)拖尾特性時(shí)，則判斷其為性時(shí)，則判斷其為ARMA模型。模型。 圖圖 9.2.2 ARMA(p,q)模型的模型的 ACF與與 PACF理論模式理論模式 ACF PACF 模型模型 1： tttXX17 . 00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1 模型

41、2： tttXX17 . 0 模型 3： 17 . 0tttX-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF2-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF2-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678ACF3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678PACF3 模型 4：ttttXXX2149. 07 . 0 模型 5：117 . 07 . 0ttttXX-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF4-0.4-0.20.00.20.40.612345678PACF4-1.2-0.8-0.4

42、0.00.40.812345678ACF5-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF5四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì) AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計(jì)方法較多: （1）最小二乘估計(jì)；）最小二乘估計(jì)； （2）利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計(jì)）利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計(jì)。 （3） 下面有選擇地加以介紹。結(jié)構(gòu)階數(shù)模型識(shí)別確定估計(jì)參數(shù) AR(p) AR(p)模型的模型的Yule WalkerYule Walker方程估計(jì)方程估計(jì) 在AR(p)模型的識(shí)別中，曾得到 pkpkkk2211利用k=-k，得到如下方程組： kppppppppp1211

43、2211211211 此方程組被稱為此方程組被稱為Yule Walker方程組方程組。該方程組建該方程組建立了立了AR(p)AR(p)模型的模型參數(shù)模型的模型參數(shù)a a1 1,a,a2 2, ,a,ap p與自相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù) 1 1, , 2 2, , , p p的關(guān)系，的關(guān)系， 利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息，利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息，首先首先求得自相關(guān)函數(shù)求得自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值的估計(jì)值 然后然后利用利用Yule Walker方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)值值, 12p, 12p12011102120112pppppp由于 ptptttXXX11于是 pjiijji

44、tE1,022從而可得 2 2的估計(jì)值的估計(jì)值 pjiijji1,02在具體計(jì)算時(shí)，k可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk替代。五、模型的檢驗(yàn)五、模型的檢驗(yàn) 由于ARMA(p,q)模型的識(shí)別與估計(jì)是在假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一白噪聲的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此，如果估計(jì)的模如果估計(jì)的模型確認(rèn)正確的話，殘差應(yīng)代表一白噪聲序列型確認(rèn)正確的話，殘差應(yīng)代表一白噪聲序列。 如果通過(guò)所估計(jì)的模型計(jì)算的樣本殘差不代表一白噪如果通過(guò)所估計(jì)的模型計(jì)算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說(shuō)明模型的識(shí)別與估計(jì)有誤，需重新識(shí)別與估計(jì)。聲，則說(shuō)明模型的識(shí)別與估計(jì)有誤，需重新識(shí)別與估計(jì)。 在實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，主要檢驗(yàn)殘差序列是否存在自相關(guān)在實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，主要檢驗(yàn)殘差

45、序列是否存在自相關(guān)。1 1、殘差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn)、殘差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn) 可用可用QLB的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行 2檢驗(yàn)檢驗(yàn)：在給定顯著性水平下，可計(jì)算不同滯后期的QLB值，通過(guò)與 2分布表中的相應(yīng)臨界值比較，來(lái)檢驗(yàn)是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設(shè)。 若大于相應(yīng)臨界值，則應(yīng)拒絕所估計(jì)的模型，需重新識(shí)別與估計(jì)。 2 2、AICAIC與與SBCSBC模型選擇標(biāo)準(zhǔn)模型選擇標(biāo)準(zhǔn) 另外一個(gè)遇到的問(wèn)題是，在實(shí)際識(shí)別ARMA(p,q)模型時(shí)，需多次反復(fù)償試，有可能存在不止一組（p,q）值都能通過(guò)識(shí)別檢驗(yàn)。 顯然，增加增加p與與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時(shí)降低但卻同時(shí)降低了自由度了自由度。

46、 因此，對(duì)可能的適當(dāng)?shù)哪Ｐ停嬖谥Ｐ偷膶?duì)可能的適當(dāng)?shù)哪Ｐ停嬖谥Ｐ偷摹昂?jiǎn)潔性簡(jiǎn)潔性”與與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問(wèn)題。模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問(wèn)題。 其中，n為待估參數(shù)個(gè)數(shù)（p+q+可能存在的常數(shù)項(xiàng)），n為可使用的觀測(cè)值，RSS為殘差平方和（Residual sum of squares）。 在選擇可能的模型時(shí)，在選擇可能的模型時(shí)，AIC與與SBC越小越好越小越好 顯然，如果添加的滯后項(xiàng)沒(méi)有解釋能力，則對(duì)顯然，如果添加的滯后項(xiàng)沒(méi)有解釋能力，則對(duì)RSSRSS值的值的減小沒(méi)有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，因此使得減小沒(méi)有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，因此使得AICAIC或或SBCSBC的值

47、增加。的值增加。 需注意的是：需注意的是：在不同模型間進(jìn)行比較時(shí)，必須選取相同的時(shí)間段。 常用的模型選擇的判別標(biāo)準(zhǔn)有：常用的模型選擇的判別標(biāo)準(zhǔn)有：赤池信息法赤池信息法（Akaike informanion crinerion，簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為AIC）與施瓦茲貝葉斯法施瓦茲貝葉斯法（Schwarnz Bayesian crinerion，簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為SBC）：)ln()ln(2)ln(TnRSSTSBCnRSSTAIC 由第一節(jié)知：中國(guó)支出法GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階差分是平穩(wěn)的，即支出法GDP是I(1)時(shí)間序列。 可以對(duì)經(jīng)過(guò)一階差分后的GDP建立適當(dāng)?shù)腁RMA(p,q)模型。 記GDP經(jīng)一階差分

48、后的新序列為GDPD1，該新序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖與偏自相關(guān)函數(shù)圖如下：-0.4-0.20.00.20.40.60.81.024681012141618GDPD1AC-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.024681012141618GDPD1PAC 例例6.4.3 中國(guó)支出法中國(guó)支出法GDP的的ARMA(p,q)模型估計(jì)。模型估計(jì)。 圖形：圖形：樣本自相關(guān)函數(shù)圖形呈正弦線型衰減波，而偏自相關(guān)函數(shù)圖形則在滯后兩期后迅速趨于0。因此可初步判斷該序列可初步判斷該序列滿足滿足2 2階自回歸過(guò)程階自回歸過(guò)程AR(2)AR(2)。表表 9.2.2 中國(guó)中國(guó) GDP一階差分序列的樣本自

49、相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)一階差分序列的樣本自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)kkr*krkkr*krkkr*kr10.8590.8597-0.034-0.25213-0.361-0.08620.622-0.4418-0.1120.01214-0.3630.07630.378-0.0659-0.1750.0415-0.3080.04340.1910.06610-0.228-0.11716-0.216-0.02250.0870.07711-0.282-0.19217-0.128-0.04860.036-0.05112-0.32-0.0218-0.059-0.002426. 0222|*kr 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函

50、數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)值：函數(shù)值： 相關(guān)函數(shù)具有明顯的拖尾性； 偏自相關(guān)函數(shù)值在k2以后，可認(rèn)為：可認(rèn)為：偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。再次驗(yàn)證了一階差分后的偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。再次驗(yàn)證了一階差分后的GDPGDP滿足滿足AR(2)AR(2)隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程。設(shè)序列GDPD1的模型形式為 ttttGDPDGDPDGDPD2211111有如下Yule Walker 方程： 622. 0859. 01859. 0859. 01121解為： 442. 0,239. 121用用OLSOLS法回歸的結(jié)果為：法回歸的結(jié)果為： ttttGDPDGDPDGDPD211653. 01593. 11 （7.

51、91) (-3.60) r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15 有時(shí)，在用回歸法時(shí)，也可加入常數(shù)項(xiàng)有時(shí)，在用回歸法時(shí)，也可加入常數(shù)項(xiàng)。 本例中加入常數(shù)項(xiàng)的回歸為： ttttGDPDGDPDGDPD211678. 01495. 159.9091 （1.99） （7.74） （-3.58） r2 =0.8758 R2 =0.8612 DW.=1.22 模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn) 下表列出三模型的殘差項(xiàng)的自相關(guān)系數(shù)及QLB檢驗(yàn)值。 模型1與模型3的殘差項(xiàng)接近于一白噪聲，但模型2存在4階滯后相關(guān)問(wèn)題，Q統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)也得出模型2拒絕所有自相關(guān)系數(shù)為零的假設(shè)。因此: 模型模型1 1與與3 3可作為描

52、述中國(guó)支出法可作為描述中國(guó)支出法GDPGDP一階差分序列的隨機(jī)生成過(guò)程。一階差分序列的隨機(jī)生成過(guò)程。表表 9.2.3 模模型型殘殘差差項(xiàng)項(xiàng)的的自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)及及 Q檢檢驗(yàn)驗(yàn)值值 模型1 模型2 模型3 K Resid-ACF Q Resid-ACF Q Resid-ACF Q 1 0.382 3.3846 0.258 1.5377 0.257 1.5263 2 0.014 3.3893 -0.139 2.0077 -0.040 1.5646 3 -0.132 3.8427 -0.246 3.5677 -0.059 1.6554 4 -0.341 7.0391 -0.529 11.267

53、-0.328 4.6210 5 -0.170 7.8910 -0.300 13.908 -0.151 5.2864 6 0.253 9.9097 0.271 16.207 0.345 9.0331 7 0.144 10.613 0.158 17.051 0.155 9.8458 8 0.057 10.730 0.116 17.541 0.076 10.059 9 -0.019 10.745 0.097 17.914 0.011 10.064 10 -0.146 11.685 -0.036 17.969 -0.123 10.728 11 -0.233 14.329 -0.136 18.878 -

54、0.230 13.319 12 -0.049 14.461 0.064 19.104 -0.012 13.328 用建立的用建立的AR(2)模型對(duì)中國(guó)支出法模型對(duì)中國(guó)支出法GDP進(jìn)行外推預(yù)測(cè)。進(jìn)行外推預(yù)測(cè)。 模型模型1可作如下展開(kāi)： )()(3222111ttttttGDPGDPGDPGDPGDPGDP3221211)()1 (ttttGDPGDPGDPGDP 于是，當(dāng)已知n-1、n-2、n-3期的GDP時(shí)，就可對(duì)第n期的GDP作出外推預(yù)測(cè)。 模型模型3的預(yù)測(cè)式與此相類似，只不過(guò)多出一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)。 對(duì)對(duì)20012001年中國(guó)支出法年中國(guó)支出法GDPGDP的預(yù)測(cè)結(jié)果（億元）的預(yù)測(cè)結(jié)果（億元） 預(yù)測(cè)

55、值預(yù)測(cè)值 實(shí)際值實(shí)際值 誤差誤差 模型模型1 95469 95933 -0.48%1 95469 95933 -0.48% 模型模型3 97160 95933 1.28%3 97160 95933 1.28% 由于由于中國(guó)人均居民消費(fèi)（CPC）與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）這兩時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，因此不宜直接建立它們的因果關(guān)系回歸方程。 但它們都是但它們都是I(2)I(2)時(shí)間序列時(shí)間序列，因此可以建立它們的ARIMA(p,d,q)模型。 下面只建立下面只建立中國(guó)人均居民消費(fèi)（中國(guó)人均居民消費(fèi)（CPCCPC）的隨機(jī)時(shí)間序列模的隨機(jī)時(shí)間序列模型。型。 中國(guó)人均居民消費(fèi)（CPC）經(jīng)過(guò)二次差分后的新序列記為CPCD2，其自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)及Q統(tǒng)計(jì)量的值列于下表： 例例9.2.4 中國(guó)人均居民消費(fèi)的中國(guó)人均居民消費(fèi)的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型模型