1、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式特點(diǎn):)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xf)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問(wèn)題如何提高精度 ?如何估計(jì)誤差 ?xx 的一次多項(xiàng)式xy)(xfy O1. 求求 n 次近似多項(xiàng)式次近似多項(xiàng)式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令)(xpn則)(xpn )(x

2、pnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201)0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余項(xiàng)估計(jì)余項(xiàng)估計(jì))()()(xpxfxRnn令(稱(chēng)為余項(xiàng)) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nn

3、xnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn則有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn時(shí)的某鄰域內(nèi)當(dāng)在Mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn公式 稱(chēng)為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱(chēng)為n 階泰勒公式的拉格朗日余

4、項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 :內(nèi)具有的某開(kāi)區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時(shí), 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當(dāng))0(之間與在xx泰勒 公式 稱(chēng)為n 階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano) 余項(xiàng)余項(xiàng) .在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫(xiě)為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可

5、以證明: 階的導(dǎo)數(shù)有直到在點(diǎn)nxxf0)( 式成立特例特例:(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見(jiàn))(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx稱(chēng)為麥克勞林麥克勞林( Maclaurin

6、)公式公式 ., 00 x則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計(jì)式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 由此得近似公式, ) 10(x記二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式xxfe)() 1 (,e)()(

7、xkxf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn!) 1( n) 10(1nxxe)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麥克勞林公式麥克勞林公式 ) 10()sin(212mx)cos() 1(xm)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx!) 12(m)(xf)0(fxf)0( 1) 1

8、(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 麥克勞林公式麥克勞林公式 ! )2(2mxmxxfcos)()3(類(lèi)似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10() 1(,)1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1(

9、) 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n因此可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 三

10、、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用在近似計(jì)算中的應(yīng)用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問(wèn)題的類(lèi)型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(例例1. 計(jì)算無(wú)理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過(guò).106解解: 已知xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(!) 1(e!1!2111nn) 10

11、(由于,3ee0欲使) 1 (nR!) 1(3n610由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此e!91!21112.718282xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為說(shuō)明說(shuō)明: 注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則 各項(xiàng)舍入誤差之和不超過(guò),105 . 076總誤差限為6105 . 076106105這時(shí)得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過(guò).106因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .e!91!2111例例2. 用近似公式!21cos2xx計(jì)算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差)

12、cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即當(dāng)588. 0 x時(shí), 由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 0.005 .2. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必達(dá)法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項(xiàng),11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 3

13、29x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx+內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式其中余項(xiàng))(0nxxo當(dāng)00 x時(shí)為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)

14、(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P142 P144 ),ex, )1ln(x,sin x,cos x)1 (x3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計(jì)算(3) 其他應(yīng)用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù) xsin例如例如 泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysi

15、nxy xsin6422464224xyO泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsinxysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy642246Ox4224y思考與練習(xí)思考與練習(xí) 計(jì)算.3cos2elim402xxxx)(!211e4422xoxxx)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2e442xoxxx127)(lim4441270 xxoxx解解:原式第四節(jié) 作業(yè)作業(yè) P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8;*10 (

16、1), (2)泰勒泰勒 (1685 1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家, 他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(1719) 他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .他是有限差分理論的奠基人 .麥克勞林麥克勞林 (1698 1746)英國(guó)數(shù)學(xué)家, 著作有:流數(shù)論(1742)有機(jī)幾何學(xué)(1720)代數(shù)論(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .)(21之間與在其中x)()(21fxf221)( x)(!2121f 321)(!31 xf)(241f 24)( f), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)(